专题13 几何图形初步复习(解析版)(课堂学案及配套作业)

专题13 几何图形初步复习（解析版） 【知识点一】 立体图形与平面图形 区别：立体图形各部分不都在同一平面内；平面图形各部分都在同一平面内 联系：立体图形可以展开成平面图形，平面图形可以旋转成立体图形 考点：(1)从不同方向看立体图形(2)立体图形的平面展开图 例1 （2022 秋•即墨区校级月考）如图所示的几何体是由4 个相同的小正方体组成．从左面看到的几何体 的形状图为（ ） ． B． ． D． 思路引领：根据解答组合体三视图的画法画出该组合体从左面看到的图形即可． 解：从左面看这个几何体，所得到的图形为： 故选：D． 解题秘籍：本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答 的前提． 针对练习 1．（2020 秋•江门期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的 相对面上的字是 ． 思路引领：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“建”与“会”是相对面． 故答为：会． 解题秘籍：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析 及解答问题． 2．（2021•东明县二模）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ） ． B． ． D． 思路引领：将、B、、D 分别展开，能和原图相对应的即为正确答． 解：、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误； B、展开得到 ，能和原图相对，故本选项正确； 、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误； D、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误． 故选：B． 解题秘籍：本题考查了展开图折叠成几何体，熟悉其侧面展开图是解题的关键． 3．（2020 秋•秦淮区期末）如图，已知B 是圆柱底面的直径，B 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌 有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿B 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） ． B． ． D． 思路引领：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：． 解题秘籍：此题主要考查圆柱的侧面展开图，以及学生的立体思维能力． 4．（2021 秋•天台县期末）如图1，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线 最短？如果要爬行到顶点呢？请完成下列问题： （1）图2 是将立方体表面展开的一部分，请将图形补充完整；（画一种即可） （2）在图2 中画出点到点B 的最短爬行路线； （3）在图2 中标出点，并画出、两点的最短爬行路线（画一种即可）． 思路引领：（1）根据题意画出正方体的展开图即可； （2）根据线段的性质画出图形即可； （3）根据线段的性质画出图形即可． 解：（1）如图所示， （2）如图所示，连接B，线段B 的即为点到点B 的最短爬行路线； （3）如图所示，线段即为、两点的最短爬行路线． 解题秘籍：此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，几何体的展开图，线段的性质：两点之间线段最 短，正确的画出图形是解题的关键． 【知识点二】直线、射线、线段 1．直线、射线、线段的区别和联系： 区别：（1）端点个数不同：直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点 （2）延伸方向不同，直线向两方延伸，射线向一个方向延伸，线段无延伸 联系：（1）都可以用两个点的大写字母表示，直线是用任意两点字母，没有先后顺序；射线是用一个端点字母 和任一点字母，端点字母在前；线段只能用两端点字母，没有先后顺序（2）线段可以度量，直线和射线 不可度量 2．两个性质、一个中点： （1）直线的性质：两点确定一条直线 （2）线段的性质：两点之间，线段最短 （3）线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点 例2（2020 秋•永嘉县校级期末）如图，直线l 上有、B 两点，B＝24m，点是线段B 上的一点，＝2B． （1）＝ m，B＝ m． （2）若点是线段上一点，且满足＝+B，求的长． （3）若动点P、Q 分别从、B 同时出发，向右运动，点P 的速度为2m/s，点Q 的速度为1m/s，设运动 时间为t（s），当点P 与点Q 重合时，P、Q 两点停止运动． ①当t 为何值时，2P﹣Q＝8． ②当点P 经过点时，动点M 从点出发，以3m/s 的速度也向右运动．当点M 追上点Q 后立即返回，以同 样的速度向点P 运动，遇到点P 后立即返回，又以同样的速度向点Q 运动，如此往返，直到点P、Q 停 止时，点M 也停止运动．在此过程中，点M 行驶的总路程为 48 m． 思路引领：（1）由＝2B，+B＝24 即可求出、B． （2）设＝x，则＝16﹣x，B＝8+x，根据＝+B 列出方程即可解决． （3）①分两种情形①当点P 在点左边时，2（16 2 ﹣t）﹣（8+t）＝8，当点P 在点右边时，2（2t﹣ 16）﹣（8+x）＝8，解方程即可． ②点M 运动的时间就是点P 从点开始到追到点Q 的时间，设点M 运动的时间为ts 由题意得：t（2﹣ 1）＝16 由此即可解决． 解：（1）∵B＝24，＝2B， 20 ∴ B+B＝24， ∴B＝8，0＝16， 故答分别为16，8． （2）设＝x，则＝16﹣x，B＝8+x， ∵＝+B， 16 ∴ ﹣x＝x+8+x， ∴x¿ 8 3， ∴¿ 8 3． （3）①当点P 在点左边时，2（16 2 ﹣t）﹣（8+t）＝8，t¿ 16 5 ， 当点P 在点右边时，2（2t 16 ﹣ ）﹣（8+t）＝8，t＝16， ∴t¿ 16 5 或16s 时，2P﹣Q＝8． ②设点M 运动的时间为ts，由题意：t（2 1 ﹣）＝16，t＝16， ∴点M 运动的路程为16×3＝48m． 故答为48m． 解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关 键，属于中考常考题型． 针对练习 1．（ 南充模拟）已知线段B＝8m，在直线B 上画线段B，使B＝3m，则线段＝ ． 思路引领：由于点的位置不能确定，故要分两种情况考虑的长，注意不要漏解． 解：由于点的位置不确定，故要分两种情况讨论： 当点在B 点右侧时，如图所示： ＝B+B＝8+3＝11m； 当点在B 点左侧时，如图所示： ＝B﹣B＝8 3 ﹣＝5m； 所以线段等于11m 或5m， 故答为：11m 或5m． 解题秘籍：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 2．（2019 秋•鄞州区期末）已知点是线段B 的中点，点D 是线段B 上一点，下列条件不能确定点D 是线段 B 的中点的是（ ） ．D＝DB B．BD¿ 1 3D ．2D＝3B D．3D＝4B 思路引领：根据线段中点的定义，结合图形判断即可． 解：如图， ∵D＝DB， ∴点D 是线段B 的中点，不合题意； ∵点是线段B 的中点， ∴＝B， 又∵BD¿ 1 3D， ∴点D 是线段B 的中点，B 不合题意； ∵点是线段B 的中点， ∴＝B，2D＝3B， 2 ∴（B+D）＝3B， ∴B＝2D， ∴点D 是线段B 的中点，不合题意； 3D＝4B，不能确定点D 是线段B 的中点，D 符合题意． 故选：D． 解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的 关键． 3．（2021 秋•德江县期末）如图，是线段B 上的一点，M 是线段的中点，若B＝8m，B＝2m，则M 的长是 （ ） ．2m B．3m ．4m D．6m 思路引领：由图形可知＝B﹣B，依此求出的长，再根据中点的定义可得M 的长． 解：由图形可知＝B﹣B＝8 2 ﹣＝6m， ∵M 是线段的中点， ∴M¿ 1 2＝3m． 故M 的长为3m． 故选：B． 解题秘籍：考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段的长是解决本题的突破点． 4．（2021 秋•长乐区期末）如图，把原来弯曲的河道改直，，B 两地间的河道长度变短，这样做的道理是 （ ） ．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 ．两点之间直线最短 D．垂线段最短 思路引领：根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答． 解：把原来弯曲的河道改直，，B 两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短， 故选：B． 解题秘籍：此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内容． 5．如图，在四边形BD 内找一点，使它到四边形四个顶点的距离和+B++D 最小，并说出你的理由，由本 题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用． 思路引领：连接、BD 相交于点，则点就是所要找的点；取不同于点的任意一点P，连接P、PB、P、 PD，根据两点之间，线段最短，即可得到P+PB+P+PD＞+B++D，从而可得点就是所要找的四边形BD 内符合要求的点． 解：要使+B++D 最小，则点是线段、BD 的交点． 理由如下：如果存在不同于点的交点P，连接P、PB、P、PD， 因为点P 有可能在上， 所以P+P 也有可能等于，即P+P≥， 同理，PB+PD≥BD， 但因为点P 不同于点， 所以点P 不可能同时在、BD 上， 所以“P+P＝“与“PB+PD＝BD“不可能同时出现， 所以P+PB+P+PD＞+B++D， 由本题得到：两点之间，线段最短． 实际应用：把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 解题秘籍：本题考查了两点之间，线段最短，作出图形更助于问题的解决，把问题转化为求两条线段的 和是解决问题的关键． 6．点是线段B＝28m 的中点，而点P 将线段B 分为两部分，P：PB¿ 2 3：4 15，求线段P 的长． 思路引领：根据线段的比例的性质，可得P：PB＝10：4，根据按比例分配，可得P 的长，根据线段中 点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答． 解：由比例的性质，得 P：PB＝10：4． 按比例分配，得 P：28× 10 10+4 =¿20（m）． 由线段中点的性质，得 ¿ 1 2B＝14（m）． P＝P﹣ ＝20 14 ﹣ ＝6（m）． 解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了比例的性质，线段中点的性质，线段的和差． 7．（2017 春•太谷县校级期末）如图，已知，D 两点在线段B 上，B＝10m，D＝6m，M，分别是线段， BD 的中点，则M＝ m． 思路引领：结合图形，得M＝M+D+D，根据线段的中点，得M¿ 1 2，D¿ 1 2DB，然后代入，结合已知的 数据进行求解． 解：∵M、分别是、BD 的中点， ∴M＝M+D+D¿ 1 2+D+1 2 DB¿ 1 2（+DB）+D¿ 1 2（B﹣D）+D¿ 1 2 ×（10 6 ﹣）+6＝8． 故答为：8． 解题秘籍：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是利用线段的中点结合图形，把要求的线段用已知 的线段表示． 8．（2019 秋•北仑区期末）如图，为射线B 上一点，B＝30，比B 的1 4 多5，P、Q 两点分别从、B 两点同 时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度在射线B 上沿B 方向运动，当点P 运动到点B 时，两 点同时停止运动，运动时间为t（s），M 为BP 的中点，为MQ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 4Q；③当BP¿ 1 2BQ 时，t＝12；④M，两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 解：∵B＝30，比B 的1 4 多5， ∴B＝20，＝10， ∴B＝2；故①正确； ∵P，Q 两点分别从，B 两点同时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度， ∴BP＝30 2 ﹣t，BQ＝t， ∵M 为BP 的中点，为MQ 的中点， ∴PM¿ 1 2BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，Q¿ 1 2MQ＝75， ∴B＝4Q；故②正确； ∵BP=30−2t ，BQ=t ，BP=1 2 BQ， ∴30−2t= t 2，解得：t＝12，故③正确， ∵BP＝30 2 ﹣t，BQ＝t， ∴BM¿ 1 2PB＝15﹣t， ∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15， ∴M¿ 1 2MQ¿ 15 2 ， ∴M 的值与t 无关是定值， 故答为：①②③④． 解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P 到达B 点时的时间，以及点P 与Q 重合时的 时间，涉及分类讨论的思想． 9．（2021 秋•易县期末）如图，在数轴上有，B 两点，且B＝8，点表示的数为6；动点P 从点出发，以每 秒2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴正方向运 动，设运动时间为t 秒． （1）写出数轴上点B 表示的数是 ； （2）当t＝2 时，线段PQ 的长是 ； （3）当0＜t＜3 时，则线段P＝ ；（用含t 的式子表示） （4）当PQ¿ 1 4 B 时，求t 的值． 思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点B 表示的数； （2）先求出当t＝2 时，P 点对应的有理数为2×2＝4，Q 点对应的有理数为6+1×2＝8，再根据两点间的 距离公式即可求出PQ 的长； （3）先求出当0＜t＜3 时，P 点对应的有理数为2t＜6，再根据两点间的距离公式即可求出P 的长； （4）由于t 秒时，P 点对应的有理数为2t，Q 点对应的有理数为6+t，根据两点间的距离公式得出PQ ＝|2t﹣（6+t）|＝|t 6| ﹣，根据PQ¿ 1 4 B 列出方程，解方程即可求解． 解：（1）6+8＝14． 故 数轴上点B 表示的数是14； （2）当t＝2 时，P 点对应的有理数为2×2＝4，Q 点对应的有理数为6+1×2＝8， 8 4 ﹣＝4． 故线段PQ 的长是4； （3）当0＜t＜3 时，P 点对应的有理数为2t＜6， 故P＝6 2 ﹣t； （4）根据题意可得： |t 6| ﹣¿ 1 4 ×8， 解得：t＝4 或t＝8． 故t 的值是4 或8． 故答为：14；4；6 2 ﹣t． 解题秘籍：此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的 关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论． 【知识点三】 角的比较与运算 1．比较角大小的方法：度量法、叠合法 2．互余、互补反映两角的特殊数量关系 3．方位角中经常涉及两角的互余 4．计算两角的和、差时要分清两角的位置关系 例3（2020 秋•和平区期末）如图：∠B：∠B：∠D＝2：3：4，射线M、，分别平分∠B 与∠D，又∠M＝ 84°，则∠B 为（ ） ．28° B．30° ．32° D．38° 思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠B 的度数． 解：设∠B＝2x°，则∠B＝3x°，∠D＝4x°， ∵射线M、分别平分∠B 与∠D， ∴∠BM¿ 1 2∠B＝x°， ∠¿ 1 2∠D＝2x°， 又∵∠M＝84°， ∴x+3x+2x＝84， x＝14， ∴∠B＝14°×2＝28°． 故选：． 解题秘籍：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程， 求出角的度数． 例4（2021 秋•北辰区期末）如图所示，∠＝90°，点B，，D 在同一直线上，若∠1＝26°，则∠2 的度数为 ． 思路引领：由图示可得，∠1 与∠B 互余，结合已知可求∠B，又因为∠2 与∠B 互补，即可求出∠2 的度数． 解：∵∠1＝26°，∠＝90°， ∴∠B＝64°， 2+ ∵∠ ∠B＝180°， 2 ∴∠＝116°． 故答为：116°． 解题秘籍：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两 角之和为180°． 针对练习 1．（2019•隆化县二模）如图，直线B、D 交于点，射线M 平分∠，若∠BD＝76°，则∠BM 等于（ ） ．38° B．104° ．142° D．144° 思路引领：根据对顶角相等求出∠的度数，再根据角平分线的定义求出∠M 的度数，然后根据平角等于 180°列式计算即可得解． 解：∵∠BD＝76°， ∴∠＝∠BD＝76°， ∵射线M 平分∠， ∴∠M¿ 1 2∠¿ 1 2 ×76°＝38°， ∴∠BM＝180°﹣∠M＝180° 38° ﹣ ＝142°． 故选：． 解题秘籍：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键． 2．（通辽中考）4 点10 分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ） ．55° B．65° ．70° D．以上结论都不对 思路引领：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12 等份，每一份是30°，找出4 点10 分时针和分 针分别转动角度即可求出． 解：∵4 点10 分时，分针在指在2 时位置处，时针指在4 时过10 分钟处，由于一大格是30°，10 分钟转 过的角度为10 60 ×30°=¿5°，因此4 点10 分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°＝65°． 故选：B． 解题秘籍：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12 个数字，每相邻两个数字之 间的夹角为30°． 3．（渝北区期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，则∠1+ 2 ∠＝（ ） ．60° B．90° ．110° D．180° 思路引领：由三角板的直角顶点在直线l 上，根据平角的定义可知∠1 与∠2 互余，从而求解． 解：如图，三角板的直角顶点在直线l 上， 则∠1+ 2 ∠＝180° 90° ﹣ ＝90°． 故选：B． 解题秘籍：本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1 与∠2 互余是解题的关键． 4．（2021 春•未央区月考）如图，要测量两堵围墙形成的∠B 的度数，但人不能进入围墙，可先延长B 得 到∠，然后测量∠的度数，再计算出∠B 的度数．其中依据的原理是（ ） ．对顶角相等 B．同角的余角相等 ．等角的余角相等 D．同角的补角相等 思路引领：根据邻补角的定义以及同角的补角相等得出答． 解：如图，由题意得， + ∠∠B＝180°， 即∠与∠B 互补， 因此量出∠的度数，即可求出∠的补角， 根据同角的补角相等得出∠B 的度数， 故选：D． 解题秘籍：本题考查邻补角的定义、同角的补角相等，理解同角的补角相等是正确判断的前提． 5．（2015 秋•庆云县期末）计算：①33°52′+21°54′＝ ；②36°27′×3＝ ． 思路引领：①利用度加度，分加分，再进位即可；②利用度和分分别乘以3，再进位． 解：①33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′； ②36°27′×3＝108°81′＝109°21′； 故答为：55°46′；109°21′． 解题秘籍：此题主要考查了度分秒的计算，关键是掌握在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位 的方法． 6．如图，将一副三