21 费马点中的对称模型与最值问题

费马点中的对称模型与最值问题 【专题说明】 利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。 【精典例题】 1、如图，在△B 中，∠B=90°，B==1，P 是△B 内一点，求P+PB+P 的最小值． A B C P 【分析】如图，以D 为边构造等边△D，连接BD，BD 的长即为P+PB+P 的最小值． 至于点P 的位置？这不重要！ A B C D 如何求BD？考虑到△B 和△D 都是特殊的三角形，过点D 作D⊥B 交B 的延长线于 点，根据勾股定理， 即可得出结果． H D C B A 2、如图，已知矩形BD，B=4，B=6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上任意一点，则 M+MD+ME 的最小值为______． A B C D M E 【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以D、M 为边构造等边△DF、等边△MG，连接FG， F G E M D C B A 易证△MD≌△GF，∴MD=GF ∴ME+M+MD=ME+EG+GF 过F 作F⊥B 交B 于点，线段F 的长即为所求的最小值． H F G E M D C B A 3、如图， 是 内一定点，点 ， 分别在边 ， 上运动，若 ， ，则 的周长的最小值为___________ 【答】3 【详解】 如图，作P 关于，B 的对称点，D．连接，D．则当M，是D 与，B 的交点时，△PM 的周 长最短，最短的值是D 的长． ∵点P 关于的对称点为， PM=M ∴ ，P=，∠= P ∠； ∵点P 关于B 的对称点为D， P=D ∴ ，P=D，∠DB= PB ∠ ， =D=P=3 ∴ ，∠D= + P+ PB+ DB=2 P+2 PB=2 B=60° ∠∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ， D ∴△ 是等边三角形， D==D=3 ∴ ． PM ∴△ 的周长的最小值=PM+M+P=M+M+D≥D=3． 4、如图，点 都在双曲线 上，点 ，分别是 轴， 轴上的动点， 则四边形 周长的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【解析】 试题解析：分别把点（，3）、B（b，1）代入双曲线y= 得：=1，b=3， 则点的坐标为（1，3）、B 点坐标为（3，1）， 作点关于y 轴的对称点P，B 点关于x 轴的对称点Q， 所以点P 坐标为（﹣1，3），Q 点坐标为（3，﹣1）， 连结PQ 分别交x 轴、y 轴于点、D 点，此时四边形BD 的周长最小， 四边形BD 周长=D+D+B+B =DP+D+Q+B =PQ+B = =4 +2 =6 ， 故选B． 5、如图所示， ，点 为 内一点， ，点 分别在 上，求 周长的最小值． 【答】 周长的最小值为8 【详解】 如图，作P 关于、B 的对称点 ，连结 、 ， 交、B 于M、，此时 周长最小，根据轴对称性质可知 ， ， ，且 ， ， ， ， 为等边三角形， 即 周长的最小值为8 6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x﹣ 与x 轴交于、B 两点（点 在点B 的左侧），与y 轴交于点，对称轴与x 轴交于点D，点E（4，）在抛物线上． （1）求直线E 的解析式； （2）点P 为直线E 下方抛物线上的一点，连接P，PE．当△PE 的面积最大时，连接D， B，点K 是线段B 的中点，点M 是P 上的一点，点是D 上的一点，求KM+M+K 的最小值； （3）点G 是线段E 的中点，将抛物线y= x2﹣ x﹣ 沿x 轴正方向平移得到新抛 物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得 △FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）y= x+ ．（2）3，（3）点Q 的坐标为（3， ），Q′（3， ）或（3，2 ）或（3，﹣ ）． 【详解】 试题解析：（1）∵y= x2﹣ x﹣， y= ∴ （x+1）（x 3 ﹣）． ∴（﹣1，0），B（3，0）． 当x=4 时，y= ． E ∴（4， ）． 设直线E 的解析式为y=kx+b，将点和点E 的坐标代入得： ， 解得：k= ，b= ． ∴直线E 的解析式为y= x+ ． （2）设直线E 的解析式为y=mx﹣ ，将点E 的坐标代入得：4m﹣ = ，解得： m= ． ∴直线E 的解析式为y= x﹣ ． 过点P 作PF y ∥轴，交E 与点F． 设点P 的坐标为（x， x2﹣ x﹣ ），则点F（x， x﹣ ）， 则FP=（ x﹣ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）= x2+ x． EP ∴△ 的面积= ×（ x2+ x）×4=﹣ x2+ x． ∴当x=2 时，△EP 的面积最大． P ∴（2，﹣ ）． 如图2 所示：作点K 关于D 和P 的对称点G、，连接G、交D 和P 与、M． K ∵ 是B 的中点， k ∴（ ，﹣ ）． ∵点与点K 关于P 对称， ∴点的坐标为（ ，﹣ ）． ∵点G 与点K 关于D 对称， ∴点G（0，0）． KM+M+K=M+M+G ∴ ． 当点、、M、在条直线上时，KM+M+K 有最小值，最小值=G． G= ∴ =3． KM+M+K ∴ 的最小值为3． （3）如图3 所示： y′ ∵经过点D，y′的顶点为点F， ∴点F（3，﹣ ）． ∵点G 为E 的中点， G ∴（2， ）． FG= ∴ ． ∴当FG=FQ 时，点Q（3， ），Q′（3， ）． 当GF=GQ 时，点F 与点Q″关于y= 对称， ∴点Q″（3，2 ）． 当QG=QF 时，设点Q1的坐标为（3，）． 由两点间的距离公式可知：+ = ，解得：=﹣ ． ∴点Q1的坐标为（3，﹣ ）． 综上所述，点Q 的坐标为（3， ），Q′（3， ）或（3，2 ） 或（3，﹣ ）． 7、已知，如图，二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于 、 两点( 点在 点右侧)，点 、 关于直线： 对称 (1)求 、 两点的坐标，并证明点 在直线上； (2)求二次函数解析式； (3)过点B 作直线 交直线于K 点，M、分别为直线和直线上的两个动点，连结、 M、MK，求+M+MK 的最小值 【答】 (1) 点坐标为 , 点坐标为 (2) (3)8 【详解】 (1)依题意,得x2+2x−3=0(≠0)， 两边都除以得： 即x2+2x−3=0， 解得x1=−3,x2=1， ∵B 点在点右侧， ∴点坐标为(−3,0),B 点坐标为(1,0)， 答： B 两点坐标分别是(−3,0),(1,0) 证明： ∵直线l:y= ， 当x=−3 时,y= ， ∴点在直线l 上． (2)∵点、B 关于过点的直线l:y= 对称, = ∴B=4， 过顶点作⊥B 交B 于点， 则= ， ∴顶点 ， 代入二次函数解析式,解得= ， ∴二次函数解析式为 ， 答：二次函数解析式为 (3)直线的解析式为 ， 直线BK 的解析式为 ， 由 解得 ， 即K(3,2 )， 则BK=4， ∵点、B 关于直线K 对称,K(3,2 )， + ∴M 的最小值是MB， 过K 作KD⊥x 轴于D，作点K 关于直线的对称点Q，连接QK，交直线于E， 则QM=MK,QE=EK=2 ，E⊥QK， ∴根据两点之间线段最短得出BM+MK 的最小值是BQ，即BQ 的长是+M+MK 的最小值， ∵BK∥， ∴∠BKQ=∠EQ=90∘， 由勾股定理得QB= + ∴M+MK 的最小值为8， 答：+M+MK 和的最小值是8