专题18.7 四边形中的折叠问题专项训练（30道）（解析版）

专题187 四边形中的折叠问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，选择10 题，填空10 题，解答10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题 有深度，可加强学生对折叠问题的理解！ 一．选择题（共10 小题） 1．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片BD 中B＝4，B＝8，点E，F 分别在D，B 上， 将纸片BD 沿直线EF 折叠，点落在D 上的点处，点D 落在点G 处，连接E，．有以下 四个结论：①四边形FE 是菱形；②E 平分∠D；③线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；④当 点与点重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】①先判断出四边形FE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得F＝F，然后根据 邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； ②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠B＝∠E，然后求出只有∠DE＝30°时E 平分 ∠D，判断出②错误； ③点与点重合时，设BF＝x，表示出F＝F＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，F＝D，求出BF＝4，然后写出BF 的取值范围，判断出 ③正确； ④过点F 作FM⊥D 于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④错误． 【解答】解：①∵F 与EG，E 与F 都是原来矩形BD 的对边D、B 的一部分， ∴F∥G，E∥F， ∴四边形FE 是平行四边形， 由翻折的性质得，F＝F， ∴四边形FE 是菱形，故①正确； ②∵四边形FE 是菱形， ∴∠B＝∠E， ∴只有∠DE＝30°时E 平分∠D，故②错误； 1 ③点与点重合时，设BF＝x，则F＝F＝8﹣x， 在Rt△BF 中，B2+BF2＝F2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 点G 与点D 重合时，F＝D＝4， ∴BF＝4， ∴线段BF 的取值范围为3≤BF≤4，故③正确； ④如图，过点F 作FM⊥D 于M， 则ME＝（8 3 ﹣）﹣3＝2， 由勾股定理得， EF¿ ❑ √M F 2+M E 2= ❑ √4 2+2 2=¿2❑ √5，故④错误． 综上所述，结论正确的有①③，共2 个． 故选：B． 2．（2022•沿河县二模）如图，已知一个矩形纸片B，将该纸片放置在平面直角坐标系中， 点（10，0），点B（0，6），点P 为B 边上的动点，将△BP 沿P 折叠得到△PD，连接 D、D．则下列结论中：①当∠BP＝45°时，四边形BPD 为正方形；②当∠BP＝30°时， △D 的面积为15；③当P 在运动过程中，D 的最小值为2❑ √34−¿6；④当D⊥D 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】①由矩形的性质得到∠B＝90°，根据折叠的性质得到B＝D，∠PD＝∠BP＝ 90°，∠BP＝∠DP，推出四边形BPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 BPD 为正方形；故①正确； ②过D 作D⊥于，得到＝10，B＝6，根据直角三角形的性质得到D¿ 1 2 OD=¿3，根据 1 三角形的面积公式得到△D 的面积为1 2•D¿ 1 2 ×3×10＝15，故②正确； ③连接，于是得到D+D≥，即当D+D＝时，D 取最小值，根据勾股定理得到D 的最小值 为2❑ √34−¿6；故③正确； ④根据已知条件推出P，D，三点共线，根据平行线的性质得到∠PB＝∠P，等量代换得 到∠P＝∠P，求得P＝＝10，根据勾股定理得到BP＝B﹣P＝10 8 ﹣＝2，故④正确． 【解答】解：①∵四边形B 是矩形， ∴∠B＝90°， ∵将△BP 沿P 折叠得到△PD， ∴B＝D，∠PD＝∠BP＝90°，∠BP＝∠DP， ∵∠BP＝45°， ∴∠DP＝∠BP＝45°， ∴∠BD＝90°， ∴∠BD＝∠BP＝∠DP＝90°， ∴四边形BPD 是矩形， ∵B＝D， ∴四边形BPD 为正方形；故①正确； ②过D 作D⊥于， ∵点（10，0），点B（0，6）， ∴＝10，B＝6， ∴D＝B＝6，∠BP＝∠DP＝30°， ∴∠D＝30°， ∴D¿ 1 2 OD=¿3， ∴△D 的面积为1 2•D¿ 1 2 ×3×10＝15，故②正确； ③连接， 则D+D≥， 即当D+D＝时，D 取最小值， ∵＝B＝6，＝10， ∴¿ ❑ √O A 2+ A C 2= ❑ √10 2+6 2=¿2❑ √34， ∴D＝﹣D＝2❑ √34−¿6， 即D 的最小值为2❑ √34−¿6；故③正确； ④∵D⊥D， 1 ∴∠D＝90°， ∵∠DP＝∠BP＝90°， ∴∠DP＝180°， ∴P，D，三点共线， ∵∥B， ∴∠PB＝∠P， ∵∠PB＝∠PD， ∴∠P＝∠P， ∴P＝＝10， ∵＝6， ∴P¿ ❑ √10 2−6 2=¿8， ∴BP＝B﹣P＝10 8 ﹣＝2，故④正确； 故选：D． 3．（2022 春•溧阳市期末）如图，把正方形纸片BD 沿对边中点所在直线折叠后展开，折 痕为M；再过点D 折叠，使得点落在M 上的点F 处，折痕为DE，则EM FN 的值是（ ） ．❑ √3 B．❑ √3−¿1 ．2−❑ √3 D．3−❑ √3 【分析】设正方形纸片BD 的边长为2，由折叠的性质与正方形的性质可得M＝BM＝D ＝＝，D＝DF＝M＝2，E＝EF，∠EMF＝∠DF＝90°，由勾股定理可求F 的长，进而可 求FM 的长，设E＝EF＝x，再利用勾股定理可求x，得到EM 的长，代入EM FN ，计算即 可． 【解答】解：设正方形纸片BD 的边长为2． 1 由题意可知：M＝BM＝D＝＝，D＝DF＝M＝2，E＝EF，∠EMF＝∠DF＝90°， ∴F¿ ❑ √D F 2−D N 2= ❑ √(2a) 2−a 2=❑ √3， ∴FM＝M﹣F＝（2−❑ √3）． 设E＝EF＝x，则EM＝M﹣E＝﹣x． 在Rt△EMF 中，∵EM2+MF2＝EF2， ∴（﹣x）2+[（2−❑ √3）]2＝x2， ∴x＝（4 2 ﹣❑ √3）， ∴EM＝﹣（4 2 ﹣❑ √3）＝（2❑ √3−¿3）， ∴EM FN =(2❑ √3−3)a ❑ √3a =¿2−❑ √3． 故选：． 4．（2022•衢州模拟）如图矩形BD 纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点的直线为折 痕，折叠纸片，使点B 落在D 上，折痕与B 交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠 纸片，以过点E 所在的直线为折痕，使点落在B 或B 的延长线上，折痕EF 交直线D 或 直线B 于F，则∠FE 的值为（ ） ．225° B．675° ．225°或675° D．45°或135° 【分析】可动手操作，观察折叠得到的图形及展开图，确定折线的位置，然后进一步求 解． 【解答】解：以过点的直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在D 上，折痕与B 交于点E， 实际上是折成一个正方形； ①将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E 所在的直线为折痕，使点落在B 或B 的延长 线上，折痕EF 交直线D 于F，∠E＝45°+90°＝135°． 所以，∠FE＝∠FE¿ 1 2∠E＝675°； ②交B 的延长线交于一点F1时， ∠BEF＝∠ME＝675°， ∴∠FE＝90°﹣∠BEF＝225°， 故选：． 1 5．（2022•嘉兴二模）如图，矩形纸片BD 中，D＝6，E 是D 上一点，连结E，△DE 沿直 线E 翻折后点D 落到点F，过点F 作FG⊥D，垂足为G．若D＝3GD，则DE 的值为（ ） ．❑ √5 B．5 2 ．6 ❑ √5 5 D．5 ❑ √3 3 【分析】过点E 作E⊥FG，易得四边形GED 为矩形，则G＝DE，E＝GD；由已知可得： GD＝2，G＝4，利用勾股定理可求FG＝2❑ √5；设DE＝x，则G＝EF＝x，F＝2❑ √5−¿ x，在Rt△EF 中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE． 【解答】解：过点E 作E⊥FG，交FG 于点，如图， 由题意：△EF≌△ED，则F＝D＝6，DE＝EF． ∵D＝6，D＝3GD， ∴GD＝2． ∴G＝D﹣DG＝6 2 ﹣＝4． ∵FG⊥D， ∴FG¿ ❑ √A F 2−A G 2= ❑ √6 2−4 2=2❑ √5． ∵四边形BD 是矩形， 1 ∴∠D＝90°， ∵FG⊥D，E⊥FG， ∴四边形GED 为矩形． ∴G＝DE，E＝GD＝2． 设DE＝x，则G＝EF＝x，F＝2❑ √5−¿x， 在Rt△EF 中， ∵F2+E2＝EF2， ∴(2❑ √5−x) 2+2 2=x 2． 解得：x¿ 6 ❑ √5 5 ． ∴DE¿ 6 ❑ √5 5 ． 故选：． 6．（2022 春•宝安区期末）如图，在长方形BD 中，D∥B，B∥D，E 在D 上．D＝m，E＝ （m＞＞0）．将长方形沿着BE 折叠，落在′处，'E 交B 于点G，再将∠′ED 对折，点D 落在直线′E 上的D′处，落在′处，折痕EF，F 在B 上，若D、F、D′三点共线，则BF＝ （ ） ．m+1 2 B．m−n 2 ．m+n 2 D．m﹣ 【分析】连接DD′，证明∠EFD 是直角，然后证明△BEF 和△EFE 全等即可得出结论． 【解答】解：如图， 连接DD′， ∵D、F、D′三点共线，四边形EF′D′是由四边形EFD 翻折得到， 1 ∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF， ∴∠EFD＝90°， ∵四边形BD 是矩形， ∴D∥B， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵∠EB＝∠′EB， ∴∠BEF＝90°， 在△BEF 和△DFE 中， { ∠≝¿∠BFE， EF=EF ∠BEF=∠EFD ， ∴△BEF≌△DFE（S）， ∴BF＝ED， ∵D＝m，E＝， ∴BF＝ED＝m﹣． 故选：D． 7．（2022 春•普洱期末）有一张长方形纸片BD，按下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，点E 在边B 上，沿E 折叠，点B 落在点B'处； 第二步：如图②，沿EB'折叠，使点落在B 延长线上的点'处，折痕为EF． 下列结论中错误的是（ ） ．△EF 是等边三角形 B．EF 垂直平分' ．'＝FD D．E'＝F 【分析】根据翻折性质和矩形性质可得∠BE＝∠EF＝∠EF＝60°，由此判断选项；根据翻 折性质可判断 选项D；根据菱形的判定与性质可判断选项B；由于B、B 的长度不确定， 可判断选项． 【解答】解：∵∠BE＝∠EF＝∠′EF，∠BE+∠EF+ ′ ∠EF＝180°， ∴∠BE＝∠EF＝∠′EF＝60°， ∵B∥D， 1 ∴∠BE＝∠EF＝60°， ∴∠BE＝∠EF＝∠EF＝60°， ∴△EF 是等边三角形，故正确， ∴△EF′是等边三角形， ∴E＝E′＝′F＝F，故D 正确， ∴四边形E′F 是菱形， ∴EF 垂直平分′，故B 正确， 由于B、B 的长度不确定，所以不一定等于DF，故错误． 故选：． 8．（2022•槐荫区二模）如图，菱形BD 的边B＝8，∠B＝60°，P 是B 上一点，BP＝3，Q 是D 边上一动点，将四边形PQD 沿直线PQ 折叠，的对应点′．当′的长度最小时，Q 的 长为（ ） ．5 B．7 ．8 D．65 【分析】作⊥B 于，如图，根据菱形的性质可判断△B 为等边三角形，则¿ ❑ √3 2 B＝4❑ √3， ＝B＝4，在Rt△P 中，利用勾股定理计算出P＝7，再根据折叠的性质得点′在以P 点为 圆心，P 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点′在P 上时，′的值最小，然后 证明Q＝P 即可． 【解答】解：作⊥B 于，如图， ∵菱形BD 的边B＝8，∠B＝60°， ∴△B 为等边三角形， ∴¿ ❑ √3 2 B＝4❑ √3，＝B＝4， ∵PB＝3， ∴P＝1， 在Rt△P 中，P¿ ❑ √CH ❑ 2+HP❑ 2=❑ √48+1=¿7， 1 ∵梯形PQD 沿直线PQ 折叠，的对应点′， ∴点′在以P 点为圆心，P 为半径的弧上， ∴当点′在P 上时，′的值最小， ∴∠PQ＝∠PQ，而D∥B， ∴∠PQ＝∠QP， ∴∠QP＝∠PQ， ∴Q＝P＝7． 故选：B． 9．（2022 春•泰兴市月考）如图，将菱形纸片BD 折叠，使点恰好落在菱形的对称中心处， 折痕为EF．若菱形BD 的边长为8，∠B＝120°，则EF 的值是（ ） ．2❑ √3 B．4 ．4❑ √3 D．6 【分析】连接，BD．证明△BD 是等边三角形，推出BD＝B＝8，再证明EF 是△BD 的中 位线，可得结论． 【解答】解：如图所示，连接，BD． ∵四边形BD 是菱形， ∴B＝D＝D＝B，⊥BD，∠BD＝∠BD¿ 1 2∠B＝60°， ∴△BD 是等边三角形， ∴BD＝B＝8， ∵沿EF 折叠与重合， ∴EF⊥，EF 平分， ∵⊥BD， ∴EF∥BD， ∴E、F 分别为B、D 的中点， ∴EF 为△BD 的中位线， ∴EF¿ 1 2BD¿ 1 2 ×8=¿4， 故选：B． 1 10．（2022•资阳）如图，矩形BD 与菱形EFG 的对角线均交于点，且EG∥B，将矩形折叠， 使点与点重合，折痕M 恰好过点G 若B¿ ❑ √6，EF＝2，∠＝120°，则D 的长为（ ） ． ❑ √3 2 B． ❑ √6+❑ √3 2 ．❑ √6−❑ √3 D．2❑ √3−❑ √6 【分析】延长EG 交D 于P 点，连接G、F，则△GP 为直角三角形，证明四边形GM 为 菱形，则可证G＝M＝M＝G¿ ❑ √3，由勾股定理求得GP 的值，再由梯形的中位线定理 M+D＝2GP，即可得出答． 【解答】解：延长EG 交D 于P 点，连接G、F；如图所示： 则P＝DP¿ 1 2D¿ ❑ √6 2 ，△GP 为直角三角形， ∵四边形EFG 是菱形，∠EG＝120°， ∴G＝EF＝2，∠G＝60°，EG⊥F， ∴G＝G•s60°＝2× ❑ √3 2 =❑ √3， 由折叠的性质得：G＝G¿ ❑ √3，M＝M，∠MG＝∠MG， ∴PG¿ ❑ √C G 2−C P 2= ❑ √6 2 ， ∵G∥M， ∴∠MG+∠M＝180°， ∴∠MG+∠M＝180°， ∴M∥G， ∴四边形GM 为平行四边形， ∵M＝M， 1 ∴四边形GM 为菱形， ∴M＝G¿ ❑ √3， 根据题意得：PG 是梯形MD 的中位线， ∴D+M＝2PG¿ ❑ √6， ∴D¿ ❑ √6−❑ √3； 故选：． 二．填空题（共10 小题） 11．（2022•成华区模拟）如图，在矩形纸片BD 中，B＝8，B＝6，点E 是D 的中点，点F 是B 上一动点．将△EF 沿直线EF 折叠，点落在点'处．在EF 上任取一点G，连接G， G'，′，则△G'的周长的最小值为 7 +❑ √73 ． 【分析】如图，当点F 固定时，连接交EF 于G，连接′G，此时△G′的周长最小，最小值 ＝′G+G+′＝G+G+′＝+′．当′最小时，△G′的周长最小，求出′的最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，当点F 固定时，连接交EF 于G，连接′G，此时△′G 的周长最小， 最小值＝′G+G+′＝G+G+′＝+′． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠D＝90°，D＝B＝6，D＝B＝8， ∴¿ ❑ √A D 2+DC 2= ❑ √6 2+8 2=¿10， ′ ∴△G 的周长的最小值＝10+′， 当′最小时，△G′的周长最小， ∵E＝DE＝E′＝3， 1 ∴E¿ ❑ √D E 2+C D 2= ❑ √3 2+8 2=❑ √73， ′≥ ∵E﹣E′， ′ ∴≥❑ √73−¿3， ′ ∴的最小值为❑ √73−¿3， ∴△G′的周长的最小值为7+❑ √73， 故答为：7+❑ √73． 12．（2022•安徽二模）如图（1），四边形BD 是正方形，点E 是边D 上的点，将△DE 沿 着直线E 折叠，使得点D 落在上，对应点为F． （1）CD EF =¿ ❑ √2+¿1 ； （2）如图（2），点G 是B 上的点，将△BG 沿着直线G 折叠，使得点B 落在上，对应 点为，连接FG，E，则S正方形ABCD S四边形EFGH =¿ 4+3 ❑ √2 2 ． 【分析】（1）由正方形的性质得到∠D＝90°，再由翻折的性质得到△DE≌△FE，∠FE＝ 90°，进而证明△FE 为等腰直角三角形，设F＝EF＝x，解得正方形的边长为（❑ √2+¿1） x，继而求解； （2）由折叠的性质可得△DE≌△FE≌△BG≌G，设F＝EF＝G＝＝x，由（1）可知，B＝（ ❑ √2+¿1）x，继而证明四边形EFG 是平行四边形，分别解得S 正方形BD，S 四边形EFG的值即 可解题． 【解答】解：（1）∵四边形BD 是正方形，是对角线， ∴∠D＝90°，∠D＝90°， 由折叠的性质得：△DE≌△FE，∠FE＝90°， ∴△FE 为等腰直角三角形，EF＝F， 设F＝EF＝x，则E¿ ❑ √2x，DE＝EF＝x， ∴D＝D＝E+DE＝（❑ √2+¿1）x， ∴CD EF =(❑ √2+1)x x =❑ √2+¿1； 1 故答为：❑ √2+¿1； （2）由折叠的性质得：△DE≌△FE，△BG≌G，∠DE＝∠EF，∠GB＝∠G， ∵∠D＝∠B＝45°， ∴∠DE＝∠GB＝225°， ∵B＝D，∠ED＝∠GB＝90°， ∴△DE≌△BG≌△G≌△FE， ∴EF＝G， ∵∠EF＝∠G＝90°，∠EF＝∠G， ∴△EF≌△G（S），且△EF 和△G 都为等腰直角三角形， ∴EF＝F＝＝G， 设EF＝F＝＝G＝x，由（1）可知，B＝（❑ √2+¿1）x， ∴¿ ❑ √2B＝（2+❑ √2）x， ∴F＝﹣2F¿ ❑ √2x， ∵△G≌△FE， ∴∠EF＝∠G， ∴EF∥G， ∵EF＝G， ∴四边形EFG 是平行四边形， ∴S 四边形EFG＝F•G¿ ❑ √2x2， S 正方形BD＝[（❑ √2+¿1）x]2＝（❑ √2+¿1）2x2， ∴S 正方形ABCD S四边形EFGH =(2+1) 2 x 2 ❑ √2 x 2 = 4+3 ❑ √2 2 ， 故答为：4+3 ❑ √2 2 ． 13．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠＝135°，B¿ ❑ √3+¿1，点E 为 B 边上一动点．如图（2），将纸片沿E 翻折，点B 的对应点为B'；如图（3），将纸片 再沿B'折叠，点E 的对应点为E'．当E'与菱形的边垂直时，BE 的长为 ❑ √6 3 或❑ √2 ． 1 【分析】分两种情况讨论：①当E′⊥B 时，设E′，B 交于点F，②当E'⊥B 时，过点E 作 EG⊥B 于点G，设BG＝x，则EG＝BG＝x，然后利用含30 度角的直角三角形即可解决 问题． 【解答】解：∵B∥D，∠DB＝13