模型28 勾股定理——垂美四边形模型-解析版

勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 【结论】如图，四边形BD 的对角线⊥BD， 则①B²＋D²＝D²＋B2 S ② 四BD＝ 1 2 ·BD 【证明】 B² ①∵ ＝²＋b2² D²＝²＋d2² B² ∴ ＋D²＝²＋b²＋²＋d2² B² ∵ ＝2＋ d2² D²＝ b²＋2² B² ∴ ＋D²＝2＋b²＋²＋ d2² B² ∴ ＋D²＝D²＋B2² S ② 四BD＝ 1 2 BD·＋ 1 2 BD·＝ 1 2 BD(＋)＝1 2 ·BD 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形， 在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形BD 的两对角线交于点，试探究B，D，B，D 之间有怎样的数量关系？写 出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E， BG，GE 已知＝8，B＝10，求GE 长． 【答】（1）③④；（2）是，理由见解析；（3）D2+B2＝B2+D2，理由见解析； （4） 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答； （4）证明△GB △ ≌E，进而得出E⊥BG，根据（3）的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱 形，④正方形， ∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形， 故答为：③④； （2）四边形BD 是垂美四边形， 理由如下：如图2，∵B＝D， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∵B＝D， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线是线段BD 的垂直平分线， ⊥ ∴ BD，即四边形BD 是垂美四边形； （3）D2+B2＝B2+D2， 证明如下：如图①，∵⊥BD， ∠ ∴ D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得，D2+B2＝2+D2+B2+2， B2+D2＝2+B2+2+D2， ∴D2+B2＝B2+D2； （4）如图3，连接BE、G，设B 与E 交于点M， ∠ ∵ G＝∠BE＝90°， ∠ ∴ G+∠B＝∠BE+∠B，即∠GB＝∠E， 在△GB 和△E 中， ， △ ∴GB △ ≌E（SS）， ∠ ∴ BG＝∠E， ∠ ∵ E+∠ME＝90°， ∠ ∴ BG+∠BM＝90°，即E⊥BG， ∴四边形GEB 是垂美四边形， ∴G2+BE2＝B2+GE2， ∵B＝10，＝8， ∴B2＝B2﹣2＝36，G2＝2+G2＝128，BE2＝B2+E2＝200， ∴GE2＝128+200﹣36＝292， 则GE＝2 ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理 的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 1．（2021·湖南永州·八年级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： （填写 序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 中，⊥BD，垂足为，试猜想：两组对边B，D 与B，D 之间的数量关系， 并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E，BG， GE，已知B=6，B=10，求GE 长． 【答】（1）①③；（2）结论：D2+B2=B2+D2．证明见解析；（3） 【分析】（1）根据垂美四边形的定义判断即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理得出D2+B2=2+D2+B2+2，B2+D2=2+B2+2+D2，即可得出结论； （3）先由SS 证明△GB≌△E，得出∠BG=∠E，进而证出E⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得 出结果． 【详解】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形， 故答为：①③． （2）结论：D2+B2=B2+D2． 理由：∵四边形BD 是垂美四边形， ∴⊥BD， ∴∠D=∠B=∠B=∠D=90°， 由勾股定理得，D2+B2=2+D2+B2+2， B2+D2=2+B2+2+D2， ∴D2+B2=B2+D2． （3）连接G、BE， ∵∠G=∠BE=90°， ∴∠G+∠B=∠BE+∠B，即∠GB=∠E， ∵G=，∠GB=∠E，B=E， ∴△GB≌△E（SS）， ∴∠BG=∠E， 又∠E+∠ME=90°， ∴∠BG+∠ME=90°，即E⊥BG， ∴四边形GEB 是垂美四边形， ∴G2+BE2=B2+GE2， ∵B=6，B=10，∠B=90°， = ∴ =8， ∴G= ，BE= ， ∴GE2=G2+BE2-B2=292， ∴GE= ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，垂美四边形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新 定义，并熟练运用及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的判定等知识点． 2．（2021·江西赣州·八年级期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形 两组对边 ， 与 ， 之间的数量关系，写出证明过程（先画 出图形） （3）问题解决：如图，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ， ， 已知 ， ，求 的长． 【答】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）先判断出△GB E ≌△，得出∠BG＝∠E，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】解：（1）四边形 是垂美四边形． 证明：连接、BD 交于点E ， ∵ ， ∴点 在线段 的垂直平分线上， ∵ ， ∴点 在线段 的垂直平分线上， ∴直线 是线段 的垂直平分线， ∴ ，即四边形 是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形 中， ，垂足为 ， 求证： 证明：∵ ， ∴ ， 由勾股定理得， ， ， ∴ ； （3）连接 、 ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是垂美四边形， 由（2）得， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理 的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 1．（2020·浙江宁波·八年级期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ． （2）如图1，在3×3 方格纸中，，B，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，BD 是对角线， 点D 在格点上． （3）如图2，在正方形BD 中，点E，F，G 分别在D，B，B 上，E＝F＝G 且∠DG＝∠DEG，求证：四边形DEFG 是垂等四边形． （4）如图3，已知Rt△B，∠B＝90°，∠＝30°，B＝2，以为边在的右上方作等腰三角形，使四边形BD 是垂等四边 形，请直接写出四边形BD 的面积． 【答】（1）正方形，矩形；（2）见解析；（3）见解析；（4）2 ． 【分析】（1）根据垂等四边形的定义判断即可． （2）根据垂等四边形的定义画出图形即可． （3）想办法证明∠EFG＝90°，EG＝DF 即可． （4）分三种情形：①如图4 1 ﹣中，当D＝时，连接BD，过点D 作D⊥B 于．②如图4 2 ﹣中，当＝D 时，连接 BD，过点D 作D⊥B 交B 的延长线于，DT⊥B 于T．③如图4 3 ﹣中，当D＝D 时，取的中点，连接D，B，过点D 作DT⊥B 交B 的延长线于T．分别求解即可． 【详解】解：（1）正方形，矩形是垂等四边形． 故答为正方形，矩形． （2）如图1 中，四边形BD 即为所求． （3）在正方形BD 中， ∵F＝G，B＝B， ∴FB＝BG， ∴∠EF＝∠FE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°， ∴∠EFG＝90°， ∵∠＝∠＝90°，D＝D，F＝G， ∴△DF≌△DG（SS）， ∴DF＝DG， ∵D∥B， ∴∠EDG＝∠DG， ∵∠DG＝∠DEG， ∴∠GDE＝∠GED， ∴DG＝EG， ∴DF＝EG， ∴四边形DEFG 是垂等四边形． （4）①如图4 1 ﹣中，当D＝时，连接BD，过点D 作D⊥B 于． ∵∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2， ∴＝2B＝4，B＝ B＝2 ， ∵四边形BD 是垂等四边形， ∴BD＝＝4， ∴D＝BD＝4，＝B＝1， ∴D＝ ＝ ， ∴S 四边形BD＝S△DB+S△BD＝ ×2× + ×2 ×1＝ + ． ②如图4 2 ﹣中，当＝D 时，连接BD，过点D 作D⊥B 交B 的延长线于，DT⊥B 于T． 同法可得，S 四边形BD＝S△DB+S△BD＝ ×2 × + ×2× ＝ + ． ③如图4 3 ﹣中，当D＝D 时，取的中点，连接D，B，过点D 作DT⊥B 交B 的延长线于T． 设D＝y， ∵B＝＝B＝2， ∴∠T＝∠B＝60°， ∵D＝D，＝， ∴D⊥， ∴∠D＝90°， ∴∠DT＝30°， ∴DT＝ D＝ y，T＝ DT＝ y， 在Rt△BDT 中，∵BD＝＝4， 4 ∴ 2＝（ y）2+（2+ y）2， 解得y＝ ﹣ ， ∴S 四边形BD＝S△B+S△D＝ ×2×2 + ×4×（ ﹣ ）＝2 ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了垂等四边形的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 点睛：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四 边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 2．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ，则 __________． 【答】20 【分析】由垂美四边形的定义可得⊥BD，再利用勾股定理得到D2+B2=B2+D2，从而求解 【详解】∵四边形BD 是垂美四边形， BD ∴⊥ ， D= B= B= D=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， 由勾股定理得，D2+B2=2+D2+B2+2， B2+D2=2+B2+2+D2， D ∴ 2+B2=B2+D2， D=2 ∵ ，B=4， ∴ D2+B2=22+42=20， 故答为：20 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理