模型28 勾股定理——垂美四边形模型-原卷版

勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 【结论】如图，四边形BD 的对角线⊥BD， 则①B²＋D²＝D²＋B2 S ② 四BD＝ 1 2 ·BD 【证明】 B ①∵²＝²＋b2² D²＝²＋d2² B ∴²＋D²＝²＋b²＋²＋d2² B ∵²＝2＋ d2² D²＝ b²＋2² B ∴²＋D²＝2＋b²＋²＋ d2² B ∴²＋D²＝D²＋B2² S ② 四BD＝ 1 2 BD·＋ 1 2 BD·＝ 1 2 BD(＋)＝1 2 ·BD 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四 边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形BD 的两对角线交于点，试探究B，D，B，D 之间有怎样的数量关 系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接 E，BG，GE 已知＝8，B＝10，求GE 长． 1．（2021·湖南永州·八年级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： （填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 中，⊥BD，垂足为，试猜想：两组对边B，D 与B，D 之间的数 量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E， BG，GE，已知B=6，B=10，求GE 长． 2．（2021·江西赣州·八年级期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请 说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形 两组对边 ， 与 ， 之间的数量关系，写出证明过程 （先画出图形） （3）问题解决：如图，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ， 连接 ， ， 已知 ， ，求 的长． 1．（2020·浙江宁波·八年级期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ． （2）如图1，在3×3 方格纸中，，B，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，BD 是 对角线，点D 在格点上． （3）如图2，在正方形BD 中，点E，F，G 分别在D，B，B 上，E＝F＝G 且∠DG＝∠DEG，求证：四边 形DEFG 是垂等四边形． （4）如图3，已知Rt△B，∠B＝90°，∠＝30°，B＝2，以为边在的右上方作等腰三角形，使四边形BD 是垂 等四边形，请直接写出四边形BD 的面积． 2．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形 ，对角线 交于点 ．若 ，则 __________．