重难点突破10 与四边形有关7种模型（垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、十字架模型、对角互补模型）（原卷版）

重难点突破10 与四边形有关7 种模型 （垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、 十字架模型、对角互补模型） 目 录 题型01 垂美模型 题型02 中点四边形 题型03 梯子模型 题型04 正方形半角模型 题型05 四边形翻折模型 题型06 十字架模型 题型07 对角互补模型 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称 菱形 对边平行且四条 边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 正方形 对边平行且四条 边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2) 两组对边分别相等 3) 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+ 一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂 直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等 的四边形 题型01 垂美模型 【模型介绍】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形 已知 图示 结论（性质） 证明过程 四边形中⊥BD S ① 垂美四边形BD= 1 2 •BD B ② 2+D2=D2+B2 如图，在矩形BD 中，P 为D 边上有一 点，连接P、BP DP2+BP2=P2+P2 ∵DP2+BP2 =DP2+B2+P2 P2+P2 =P2+DP2+D2 而D=B ∴DP2+BP2=P2+P2 如图，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意 一点，连接P、BP， P，DP P2+P2=DP2+BP2 过点P 分别作PE⊥B、PF⊥B、 PG⊥D、P⊥D 垂足分别为点E、 点F、点G、点 由已知条件可得F⊥EG ∴G2+EF2=E2+FG2(证明过程 略) 而P=E ，BP=EF ，P=FG ， DP=G ∴P2+P2=DP2+BP2 1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形ABCD，对角线AC 、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则A B 2+C D 2=¿ ． 2．（2022·安徽安庆·统考二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小 聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目： （1）如图2，在四边形BD 中，B=D，B=D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （2）试探索垂美四边形BD 两组对边B，D 与B，D 之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙 述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）． （3）如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E，BG，GE，已 知=2m，B=3m，则GE 长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程) 3．（2021·山东枣庄·统考中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：A B 2+C D 2与 A D 2+BC 2有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt △ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE，连结CE，BG，¿．已知AC=4，AB=5，求¿的长． 4．（2019·甘肃天水·统考中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请 说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC ⊥BD．试证明： A B 2+C D 2=A D 2+BC 2； (3)解决问题：如图3，分别以Rt △ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连结CE、BG、¿．已知AC=4，AB=5，求¿的长． 5．（2018·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫 做垂美四边形．垂美四边形有如下性质： 垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图1，四边形BD 是垂美四边形，对角线、BD 相交于点E． 求证：D2+B2=B2+D2 证明：∵四边形BD 是垂美四边形 BD ∴⊥ ， ED= EB= BE= ED=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， 由勾股定理得，D2+B2=E2+DE2+BE2+E2， B2+D2=E2+BE2+E2+DE2， D ∴ 2+B2=B2+D2． 拓展探究： （1）如图2，在四边形BD 中，B=D，B=D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （2）如图3，在Rt B △ 中，点F 为斜边B 的中点，分别以B，为底边，在Rt B △ 外部作等腰三角形BD 和 等腰三角形E，连接FD，FE，分别交B，于点M，．试猜想四边形FM 的形状，并说明理由； 问题解决： 如图4，分别以Rt B △ 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E，BG，GE，已知 =4，B=5．求GE 长． 题型02 中点四边形 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、分别为四边形BD 四条边B、B、D、D 的中点，则 ①四边形EFG 是平行四边形 ②EFG =+BD ③sEFG = 1 2sBD 证明： 模型 证明过程 ∵E 是△BD 的中位线 ∴E∥BD，E=1 2BD ∵FG 是△BD 的中位线 ∴FG∥BD，FG=1 2BD E∥FG E=FG ∴ ∴四边形EFG 是平行四边形 ∵EF 是△B 的中位线 ∴EF∥，EF=1 2 ∵G 是△D 的中位线 ∴G∥，G=1 2 EF∥G EF=G ∴ ∴四边形EFG 是平行四边形 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形 模型 证明过程 ∵E 是△BD 的中位线 ∴E=1 2BD ∵FG 是△BD 的中位线 ∴FG=1 2BD E = FG = ∴ 1 2BD 则E+FG= BD 同理EF = G =1 2 则EF+G= ∴四边形EFG 的周长=E+FG+EF+G=BD+ 证明：EFG =+BD 过点作⊥BD，垂足为点，与E 交于点M s▱PEQ=PQ•M= 1 2•1 2BD=1 2•(1 2•BD)= 1 2 S△BD 同理s▱PGFQ = 1 2S△BD ∴sEFG = 1 2sBD 证明：sEFG = 1 2sBD 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半 已知条件 模型 证明过程 特例 点E 、F 、 G、是任意四 边形BD 的中 点，⊥DB ， 垂足为点，则 四边形EFG 是矩形 根据已知条件可知四边形EFG 为平行四边形 ⊥DB ∠D=90° ∵ E ∵，F，G，分别是B，B，D，D 的中点， E∥BD∥GF ∴ ，G∥∥EF ∴∠EG=∠GF=∠GFE=∠FE=90 ° ∴四边形EFG 是矩形 点E 、F 、 G、是任意四 边形BD 的中 点，=DB，垂 足为点，则四 边形EFG 是 菱形 EF ∵ 是∆B 的中位线 ∴EF=1 2 AC G ∵ 是∆D 的中位线 ∴G=1 2 AC EF= ∴ HG=1 2 AC 同理E=FG=1 2 BC =DB EF=G=E=FG ∵ ∴ ∴四边形EFG 是 菱形 点E 、F 、 G、是任意四 边形BD 的中 点，⊥DB ， =DB 垂足为 点，则四边形 EFG 是正方 形 已知四边形EFG 是菱形（参考上述证明过 程） ⊥DB EF⊥E ∵ ∴ ∴四边形EFG 是正方形 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形 结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正 6．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD 各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ） ．4+2❑ √3 B．6+2❑ √3 ．4+4 ❑ √3 D．6+4 ❑ √3 7．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）如图，已知点E、F、G．分别是菱形BD 各边的中点，则四边形EFG 是（ ） ．正方形 B．矩形 ．菱形 D．平行四边形 8．（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任 务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E , F ,G , H分别是边AB ,BC ,CD，DA的中点，顺次连接 E , F ,G , H，得到的四边形EFGH是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁 (Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1 证明如下： 证明：如图2，连接AC，分别交EH , FG于点P ,Q，过点D作DM ⊥AC于点M，交HG于点N． ∵H ,G分别为AD ,CD的中点，∴HG∥AC , HG=1 2 AC．（依据1） ∴DN NM = DG GC ．∵DG=GC，∴DN=NM=1 2 DM． ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ． ∵HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG=HG⋅MN=1 2 HG⋅DM． ∵S△ADC=1 2 AC ⋅DM=HG⋅DM，∴S▱HPQG=1 2 S△ADC．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1 是指：_____________． 依据2 是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形 EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线） (3)在图1 中，分别连接AC ,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC ,BD长 度的关系，并证明你的结论． 9．（2017·吉林长春·中考真题）【再现】如图①，在△B 中，点D，E 分别是B，的中点，可以得到： DE∥B，且DE=1 2B．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形BD 中，点E，F，G，分别是B，B，D，D 的中点，判断四边形EFG 的形状， 并加以证明． 【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形BD 中，满足什么条件时，四边形EFG 是菱形？你添加的条 件是： ．（只添加一个条件） （2）如图③，在四边形BD 中，点E，F，G，分别是B，B，D，D 的中点，对角线，BD 相交于点．若=， 四边形BD 面积为5，则阴影部分图形的面积和为 ． 10．（2016·甘肃兰州·中考真题）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形BD 的四边中点E，F，G，依次连接 起来得到的四边形EFG 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1 中四边形BD 的形状（如图2），则四边形EFG 还是平行四边形吗？说明理由，参考小 敏思考问题的方法解决一下问题； （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，BD． ①当与BD 满足什么条件时，四边形EFG 是菱形，写出结论并证明； ②当与BD 满足什么条件时，四边形EFG 是矩形，直接写出结论． 11．（2016·山东德州·中考真题）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫 中点四边形． （1）如图1，四边形BD 中，点E，F，G，分别为边B，B，D，D 的中点．求证：中点四边形EFG 是平 行四边形； （2）如图2，点P 是四边形BD 内一点，且满足P=PB，P=PD，∠PB=∠PD，点E，F，G，分别为边B， B，D，D 的中点，猜想中点四边形EFG 的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠PB=∠PD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFG 的形状．（不 必证明） 12．（2023·陕西宝鸡·校考一模）问题提出 如图1，在△ABC中，AB=12, AC=9, DE∥BC．若AD=4，则AE的值为__________． 问题探究 如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的 中点，连接EF、FG、GH、HE．若AC=14 ,BD=16,∠AOB=60°，求四边形EFGH的面积． 问题解决 如图3，某市有一块五边形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90° , AB=600米， BC=800米，AE=650米，DC=400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花MNGH，使点M、 N、G、H分别在边AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN , AM=CG ,tan∠BNM= 3 4 ,请问，是否存 在符合设计要求的面积最大的四边形花MNGH？若存在，求四边形MNGH面积的最大值；若不存在，请 说明理由． 题型03 梯子模型 【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如 中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型 【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题 模型一：如图所示，线段的两个端点在坐标轴上滑动，∠B= =90° ∠ ， 的中点为P，连接P、BP、B，则当、 P 、 B 三点共线 时，此时线段B 最大值 思路：∵P+BP ≥ B （三点共线时，取相等） B ∴≤ P+BP ∴当、P、B 三点共线时，此时线段B 取最大值 B= P+BP =1 2+❑ √BC 2+PC 2= 1 2+❑ √BC 2+( 1 2 A C ) 2 即已知Rt∆B 中、B 的长，就可求出梯子模型中B 的最值 模型二：如图所示，矩形BD 的顶点、B 分别在边M、上，当点在 边M 上运动时，点B 随之在上运动，且运动的过程中矩形BD 形状保 持不变，B 的中点为P，连接P、PD、D，则当、 P 、 D 三点共线 时，此时 线段D 取最大值 思路：∵P+PD ≥ D （三点共线时，取相等） D ∴≤ P+PD ∴当、P、D 三点共线时，此时线段D 取最大值 D= P+DP =1 2B+❑ √AP 2+ AD 2= 1 2B+❑ √( 1 2 A B) 2 + AD 2 即已知矩形BD 中B、D 的长，就可求出梯子模型中D 的最值 13．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6，AB两 端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．则OC 的最大值为（ ） ．6+3 ❑ √5 B．8 ．3+3 ❑ √5 D．9 14．（2023·山东济南·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2， 点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列 结论： ①若C，O两点关于AB对称，则OA=2❑ √3；②若AB平分CO，则AB⊥CO； ③四边形ACBO面积的最大值为4+2❑ √3；④AB的中点D运动路径的长为1 2 π． 其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）． 15．（2022·四川绵阳·统考一模）如图，边长为2 的菱形BD 的顶点，D 分别在直角∠M 的边M，上滑动． 若∠B＝120°，则线段的最大值为 ． 16．（2022·湖北随州·统考一模）在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三 角形”来解决问题．“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角 形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形”不复存在（即三顶点共线）． 例：如图1，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点，B 分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，随 之在边OM上运动，矩形的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点的最大距离是多 少？ 分析：如图1，取AB的中点E，连接DE、E，则△ODE中，OD为待求线段，DE，OE的长是可求的， 即△ODE为待求线段OD的“关联三角形”，在△ODE中利用三角形三边关系定理可以得到OD的不等式， 当点，E，D 三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到OD的最值． (1)根据上面的分析，完成下列填空： 解：如图1，取AB的中点E，连接DE，E． 在Rt △OAB中，OE=1 2 AB=1， 在Rt △ADE中，DE=❑ √1+1=❑ √2， 在△ODE中，OD<OE+DE，即OD______❑ √2+1， 如图2，当点，E，D 三点共线时，OD_________❑ √2+1， 综上所述：OD≤❑ √2+1，即点D 到点的最大距离是________． (2)如图3，点P 在第一象限，△ABP是边长为2 的等边三角形，当点在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之 在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________． (3)如图4，点E，F 是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接 BE交AG于点．若正方形的边长为2，试求DH长度的最小值． 17．（2019·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xy 中，矩形BD 的边B＝4，B＝6．若不改 变矩形BD 的形状和大小，当矩形顶点在