模型35 垂美四边形模型（原卷版）(1)

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD 中，⊥BD，若B＝5 ，D＝5 ，D＝12，则B＝ ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，D，BE 分别是B，边上的中线，且D⊥BE，垂足为点F， 设B＝，＝b，B＝，则下列关系式中成立的是（ ） ．2+b2＝52 B．2+b2＝42 ．2+b2＝32 D．2+b2＝22 【变式1-2】．如图，四边形BD 是圆的内接四边形，请回答下列问题： （1）若B∥D，求证：弧BD＝弧 （2）若⊥BD，D＝4，圆的半径为3，求B 的长； （3）在（2）的条件下求P2+PB2+P2+PD2的值． 【例2】．已知点P 是矩形BD 内的一点，且P＝2，PB＝3，P＝4，则PD＝ ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ ． 【变式2-2】．如图，在△B 中，＝3，B＝4，若，B 边上的中线BE，D 垂直相交于点，则 B＝ ． 1．两个矩形，小矩形绕着公共点任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2 的 值． 2．如图，在四边形BD 中，对角线分别为，BD，且⊥BD 于点，若D＝2，B＝6，则B2+D2 ＝ ． 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，M、是B 边上的点，BM＝M＝，如果M＝4，＝3，则M ＝ ． 4．如图，在边长为2 的正方形BD 中，点E、F 分别是边B，B 的中点，连接E，FD，点 G、分别是E，FD 的中点，连接G，则G 的长度为 ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方 形BDE，连结E，BG，GE．已知＝4，B＝5，求GE 的长． 6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形BD 中，⊥BD．垂足为，求证：B2+D2＝D2+B2． （2）解决问题：已知B＝5 ．B＝4 ，分别以△B 的边B 和B 向外作等腰Rt△BE 和 等腰Rt△BD； ①如图2，当∠B＝90°，连接DE，求DE 的长； ②如图3．当∠B≠90°，点G、分别是D、中点，连接G．若G＝2 ，则S△B＝ ． 7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中 是垂美四边形的是 ． （2）性质探究：如图2，已知四边形BD 是垂美四边形，试探究其两组对边B，D 与 B，D 之间的数量关系，并写出证明过程． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方 形BDE，连接E，BG，GE，E 交B 于点M，已知＝4，B＝5，求GE 的长． 8．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图1，在四边形BD 中，D∥B，⊥BD，过点D 作BD 垂线交B 的延长 线于点E，且∠DB＝45°，证明：四边形BD 是垂等四边形． （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用： 在图2 中，面积为24 的垂等四边形BD 内接于⊙中，∠BD＝60°．求⊙的半径． 9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的 中心． （1）写出一种你学过的和美四边形 ； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是 ． ．矩形 B．菱形 ．正方形 D．无法确定 （3）如图1，点是和美四边形BD 的中心，E、F、G、分别是边B、B、D、D 的中点， 连接E、F、G、，记四边形E、BEF、GF、DG 的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示 S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由） （4）如图2，四边形BD 是和美四边形，若B＝3，B＝2，D＝4，求D 的长． 10．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）写出2 个所学的特殊四边形是垂美四边形： ， ． （2）性质探究： 已知：如图1，四边形BD 是垂美四边形，对角线、BD 相交于点．猜想：B2+D2 与 D2+B2有什么关系？并证明你的猜想． （3）问题解决： 如图2，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作等腰Rt△G（∠G＝90°）和等腰 Rt△BE（∠BE＝90°），连接GE，GB，E，已知＝2，B＝5．求GE 的长． 11．如图1，分别以直角三角形B 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表 示，则不难证明S1＝S2+S3． （1）如图2，分别以直角三角形B 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、 S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明） （2）如图3，分别以直角三角形B 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明． （3）四边形BD 的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积 分别为S1、S2、S3、S4．则S1、S2、S3和S4之间的关系是 ． 12．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 ； （2）如图1，在等腰Rt△B 中，∠B＝90°，经过点、B 的圆交边于点D，交B 边于点E， 连结DE．若四边形BED 为圆美四边形，求 的值； （3）如图2，在△B 中，经过、B 的圆交边于点D，交B 于点E，连结E，BD 交于点 F．若在四边形BED 的内部存在一点P，使得∠PB＝∠DP，连结PE 交BD 于点G，连结 P，若P⊥PD，PB⊥PE．求证：四边形BED 为圆美四边形． 13．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：经探究发现，垂美四边形BD 两组对边B，D 与B，D 之间有这样的数 量关系：B2+D2＝D2+B2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证） （3）问题解决：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方 形BDE，连接E，BG 和GE．已知＝4，B＝5，求GE 长． 14．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ； （2）如图2，垂美四边形BD 两组对边B、D 与B、D 之间有怎样的数量关系？写出你 的猜想，并给出证明； （3）如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连 接E，BG，GE，E 与BG 交于点，已知＝3，B＝5，求△GE 的中线的长． 15．数学活动：图形的变化 问题情境：如图（1），△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，E 是边上的一个动点（点E 与，不重合），以E 为边在△B 外作等腰直角△ED，∠ED＝90°，连接BE，D．猜想线段 BE，D 之间的关系． （1）独立思考：请直接写出线段BE，D 之间的关系； （2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ED 绕着点 顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE 交于点，交D 于点．（1）中的结论是否仍然 成立，请说明理由． （3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角△B 改为Rt△B，∠B＝90°，＝8，B ＝6，将等腰直角△ED 改为Rt△ED，∠ED＝90°，D＝4，E＝3．试猜想BD2+E2是否为定 值，结合图（3）说明理由． 16．【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形BD 中，对角线与BD 交于点E，若B⊥D，B＝4m， s∠BD＝ ，求的长度． 【数学理解】 （2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法： 如图2，在⊙中，已知B 是⊙的弦，只需作D⊥、⊥B，分别交⊙于点D 和点，即可得到 垂等四边形BD，请你写出证明过程． 【问题解决】 （3）如图3，已知是⊙上一定点，B 为⊙上一动点，以B 为一边作出⊙的内接垂等四边 形（、B 不重合且、B、三点不共线），对角线与BD 交于点E，⊙的半径为2 ，当点 E 到D 的距离为 时，求弦B 的长度．