重难点突破10 与四边形有关7种模型（垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、十字架模型、对角互补模型）（解析版）

重难点10 与四边形有关7 种模型 （垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、 十字架模型、对角互补模型） 目 录 题型01 垂美模型 题型02 中点四边形 题型03 梯子模型 题型04 正方形半角模型 题型05 四边形翻折模型 题型06 十字架模型 题型07 对角互补模型 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称 菱形 对边平行且四条 边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 正方形 对边平行且四条 边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2) 两组对边分别相等 3) 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+ 一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂 直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等 的四边形 题型01 垂美模型 【模型介绍】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形 已知 图示 结论（性质） 证明过程 四边形中⊥BD S ① 垂美四边形BD= 1 2 •BD B ② 2+D2=D2+B2 如图，在矩形BD 中，P 为D 边上有一 点，连接P、BP DP2+BP2=P2+P2 ∵DP2+BP2 =DP2+B2+P2 P2+P2 =P2+DP2+D2 而D=B ∴DP2+BP2=P2+P2 如图，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意 一点，连接P、BP， P，DP P2+P2=DP2+BP2 过点 P 分 别作PE⊥B、PF⊥B、PG⊥D、 P⊥D 垂足分别为点E、点F、点 G、点 由已知条件可得F⊥EG ∴G2+EF2=E2+FG2(证明过程 略) 而P=E ，BP=EF ，P=FG ， DP=G ∴P2+P2=DP2+BP2 1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形ABCD，对角线AC 、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则A B 2+C D 2=¿ ． 【答】20 【分析】由垂美四边形的定义可得⊥BD，再利用勾股定理得到D2+B2=B2+D2，从而求解 【详解】∵四边形BD 是垂美四边形， BD ∴⊥ ， D= B= B= D=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， 由勾股定理得，D2+B2=2+D2+B2+2， B2+D2=2+B2+2+D2， D ∴ 2+B2=B2+D2， D=2 ∵ ，B=4， ∴A B 2+C D 2=¿D2+B2=22+42=20， 故答为：20 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理 2．（2022·安徽安庆·统考二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小 聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目： （1）如图2，在四边形BD 中，B=D，B=D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （2）试探索垂美四边形BD 两组对边B，D 与B，D 之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙 述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）． （3）如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E，BG，GE，已 知=2m，B=3m，则GE 长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程) 【答】（1）四边形BD 是垂美四边形，证明见解析；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相 等，证明过程见解析；（3）❑ √21m 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质即可求解； （2）根据垂直的定义和勾股定理即可解答； （3）连接G、BE，BG 与E 交于点，B、E 交于M 点，先证明△BG≌△E，继而得到∠BG=∠E，根据 ∠E+∠ME=90°，∠ME=∠BM，即有∠BG+∠∠BM=90°，则∠BM=90°，即E⊥BG，可知四边形GEB 是垂美四 边形，根据（2）结论即可求解． 【详解】（1）四边形BD 是垂美四边形． 证明：连接、BD， ∵B=D， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∵B=D， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线是线段BD 的垂直平分线， ∴⊥BD，即四边形BD 是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图，已知四边形BD 中，⊥BD，垂足为E， 求证：D2+B2=B2+D2 证明：∵⊥BD， ∴∠ED=∠EB=∠BE=∠ED=90°， 由勾股定理得，D2+B2=E2+DE2+BE2+E2， B2+D2=E2+BE2+E2+DE2， ∴D2+B2=B2+D2； （3）❑ √21m； 理由： 连接G、BE，BG 与E 交于点，B、E 交于M 点，如图， ∵∠G=∠BE=90°， ∴∠G+∠B=∠BE+∠B，即∠BG=∠E， = ∵G，B=E， ∴△BG≌△E， ∴∠BG=∠E， ∵∠E+∠ME=90°，∠ME=∠BM， ∴∠BG+∠∠BM=90°， ∴∠BM=90°，即E⊥BG， ∴四边形GEB 是垂美四边形， ∴由（2）的结论可知BC 2+G E 2=GC 2+B E 2， ∵正方形的性质有BE=❑ √2B，G=❑ √2， ∴BE=3❑ √2，G=2❑ √2， ∵在Rt△B 中，B=3，=2， ∴理由勾股定理有BC= ❑ √A B 2−A C 2= ❑ √3 2−2 2=❑ √5， ∴G E 2=GC 2+B E 2−BC 2=(2❑ √2) 2+(3 ❑ √2) 2−(❑ √5) 2=21， ∴¿=❑ √21（m）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的定义、勾股定 理等知识，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解答本题的关键． 3．（2021·山东枣庄·统考中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：A B 2+C D 2与 A D 2+BC 2有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt △ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE，连结CE，BG，¿．已知AC=4，AB=5，求¿的长． 【答】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；（2）A B 2+C D 2=A D 2+BC 2，证明见解析； （3）¿=❑ √73． 【分析】（1）连接AC ,BD，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线AC是线段BD的垂直平分线， 再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得AC ⊥BD，再利用勾股定理解答即可； （3）设CE分别交AB于点M，交BG于点N，连接BE ,CG，先证明△GAB≅△CAE，得到 ∠ABG=∠AEC，再根据角的和差可证∠BNM=90°，即CE⊥BG，从而可得四边形CGEB是垂美四 边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】证明：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下： 如图，连接AC ,BD， ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线，即AC ⊥BD， ∴四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想A B 2+C D 2=A D 2+BC 2，证明如下： ∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC ⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得：A D 2+BC 2=O A 2+O D 2+O B 2+OC 2， A B 2+C D 2=O A 2+O B 2+OC 2+O D 2， ∴A B 2+C D 2=A D 2+BC 2； （3）如图，设CE分别交AB于点M，交BG于点N，连接BE ,CG， ∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形， ∴∠CAG=∠BAE=90° , AG=AC , AB=AE， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中，¿， ∴△GAB≅△CAE (SAS )， ∴∠ABG=∠AEC， 又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN， ∴∠ABG+∠BMN=90°， ∴∠BNM=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得：C G 2+B E 2=C B 2+G E 2， ∵AB是Rt △ACB的斜边，且AC=4，AB=5， ∴BC 2=A B 2−A C 2=9，AG=AC=4 , AE=AB=5， 在Rt △ACG中，C G 2=A C 2+ A G 2=32， 在Rt △ABE中，B E 2=A B 2+ A E 2=50， ∴9+G E 2=32+50， 解得¿=❑ √73或¿=−❑ √73（不符题意，舍去）， 故¿的长为❑ √73． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等 知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 4．（2019·甘肃天水·统考中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请 说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC ⊥BD．试证明： A B 2+C D 2=A D 2+BC 2； (3)解决问题：如图3，分别以Rt △ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连结CE、BG、¿．已知AC=4，AB=5，求¿的长． 【答】(1) 四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) ¿=❑ √73 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线AC是线段BD的垂直平分线，结合“垂美四边形” 的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）连接CG、BE，先证明△GAB≌△CAE，得到∠ABG=∠AEC，可证∠ABG+∠AME=90°， 即CE⊥BG，从而四边形CGEB是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计 算即可． 【详解】(1)四边形ABCD是垂美四边形． 证明：连接，BD， ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC ⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； (2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC ⊥BD，垂足为E， 求证：A D 2+BC 2=A B 2+C D 2 证明：∵AC ⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，A D 2+BC 2=A E 2+D E 2+B E 2+C E 2， A B 2+C D 2=A E 2+B E 2+C E 2+D E 2， ∴A D 2+BC 2=A B 2+C D 2； 故答为A D 2+BC 2=A B 2+C D 2． (3)连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中，¿， ∴△GAB≌△CAE (SAS )， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由(2)得，C G 2+B E 2=C B 2+G E 2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=4 ❑ √2，BE=5 ❑ √2， ∴G E 2=C G 2+B E 2−C B 2=73， ∴¿=❑ √73． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理 解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 5．（2018·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫 做垂美四边形．垂美四边形有如下性质： 垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图1，四边形BD 是垂美四边形，对角线、BD 相交于点E． 求证：D2+B2=B2+D2 证明：∵四边形BD 是垂美四边形 BD ∴⊥ ， ED= EB= BE= ED=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， 由勾股定理得，D2+B2=E2+DE2+BE2+E2， B2+D2=E2+BE2+E2+DE2， D ∴ 2+B2=B2+D2． 拓展探究： （1）如图2，在四边形BD 中，B=D，B=D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （2）如图3，在Rt B △ 中，点F 为斜边B 的中点，分别以B，为底边，在Rt B △ 外部作等腰三角形BD 和 等腰三角形E，连接FD，FE，分别交B，于点M，．试猜想四边形FM 的形状，并说明理由； 问题解决： 如图4，分别以Rt B △ 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连接E，BG，GE，已知 =4，B=5．求GE 长． 【答】拓展探究：（1）四边形BD 是垂美四边形，理由详见解析；（2）四边形FM 是矩形，理由详见解 析；问题解决：❑ √73 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理可得直线是线段BD 的垂直平分线，进而得证； （2）首先猜想出结论，根据垂直的定义可得∠D= B= B= D=90° ∠ ∠ ∠ ，由勾股定理得D2+B2=2+D2+B2+2，进 而证得猜想，将已知代入即可求得D； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可 【详解】拓展探究：（1）四边形BD 是垂美四边形， 理由如下： B=D ∵ ， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， B=D ∵ ， ∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线是线段BD 的垂直平分线， BD ∴⊥ ，即四边形BD 是垂美四边形． （2）四边形FM 是矩形， 理由：如图3，连接F， Rt ∵ △B 中，点F 为斜边B 的中点， F=F=BF ∴ ， 又∵等腰三角形BD 和等腰三角形E， D=DB ∴ 、E=E， ∴由（1）可得，DF B ⊥，EF⊥， 又∵∠B=90°， MF= M= F=90° ∴∠ ∠ ∠ ， ∴四边形MF 是矩形； 问题解决： 连接G、BE， G= BE=90° ∵∠ ∠ ， G+ B= BE+ B ∴∠ ∠ ∠ ∠，即∠GB= E ∠， ∵在△GB 和△E 中，G=，∠GB= E ∠，B=E， GB E ∴△ △ ≌ ， BG= E ∴∠ ∠， 又∠E+ ME=90° ∠ ， BG+ ME=90° ∴∠ ∠ ，即E BG ⊥ ， ∴四边形GEB 是垂美四边形， G ∴ 2+BE2=B2+GE2， =4 ∵ ，B=5， B=3 ∴ ，G=4 ❑ √2，BE=5 ❑ √2， GE ∴ 2=G2+BE2 B ﹣ 2=73， GE= ∴ ❑ √73. 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理 解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键； 题型02 中点四边形 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、分别为四边形BD 四条边B、B、D、D 的中点，则 ①四边形EFG 是平行四边形 ②EFG =+BD ③sEFG = 1 2sBD 证明： 模型 证明过程 ∵E 是△BD 的中位线 ∴E∥BD，E=1 2BD ∵FG 是△BD 的中位线 ∴FG∥BD，FG=1 2BD E∥FG E=FG ∴ ∴四边形EFG 是平行四边形 ∵EF 是△B 的中位线 ∴EF∥，EF=1 2 ∵G 是△D 的中位线 ∴G∥，G=1 2 EF∥G EF=G ∴ ∴四边形EFG 是平行四边形 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形 模型 证明过程 ∵E 是△BD 的中位线 ∴E=1 2BD ∵FG 是△BD 的中位线 ∴FG=1 2BD E = FG = ∴ 1 2BD 则E+FG= BD 同理EF = G =1 2 则EF+G= ∴四边形EFG 的周长=E+FG+EF+G=BD+ 证明：EFG =+BD 过点作⊥BD，垂足为点，与E 交于点M s▱PEQ=PQ•M= 1 2• 1 2BD= 1 2•( 1 2•BD)= 1 2 S△BD 同理s▱PGFQ = 1 2S△BD ∴sEFG = 1 2sBD 证明：sEFG = 1 2sBD 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半 已知条件 模型 证明过程 特例 点E 、F 、 G、是任意四 边形BD 的中 点，⊥DB ， 垂足为点，则 四边形EFG 是矩形 根据已知条件可知四边形EFG 为平行四边形 ⊥DB ∠D=90° ∵ E ∵，F，G，分别是B，B，D，D 的中点， E∥BD∥GF ∴ ，G∥∥EF ∴∠EG=∠GF=∠GFE=∠FE=90 ° ∴四边形EFG 是矩形 点E 、F 、 G、是任意四 边形BD 的中 点，=DB，垂 足为点，则四 边形EFG 是 菱形 EF ∵ 是∆B 的中位线 ∴EF=1 2 AC G ∵ 是∆D 的中位线 ∴G=1 2 AC EF= ∴ HG=1 2 AC 同理E=FG=1 2 BC =DB EF=G=E=FG ∵ ∴ ∴四边形EFG 是 菱形 点E 、F 、 G、是任意四 边形BD 的中 点，⊥DB ， =DB 垂足为 点，则四边形 EFG 是正方 形 已知四边形EFG 是菱形（参考上述证明过 程） ⊥DB EF⊥E ∵ ∴ ∴四边形EFG 是正方形 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成