模型22 瓜豆原理之曲线型（解析版）

O P Q M A 运动轨迹为圆 问题1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ Q P O A M 解析：Q 点轨迹是一个圆 理由：Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P， ． 问题2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=2Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 模型介绍 解析：Q 点轨迹是一个圆 理由：∵P⊥Q，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 又∵P：Q=2：1，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足：M=2：1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为2． 模型总结 R 条件：两个定量 （1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； （2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P:Q 是定值）． R 结论 （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PQ=∠M； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：P:Q=:M，也等于两圆 半径之比． 【例1】．如图，是⊙B 上任意一点，点在⊙B 外，已知B＝2，B＝4，△D 是等边三角形， 则 的面积的最大值为 解：以B 为边作等边△BM，连接DM． ∵∠D＝∠MB＝60°，∴∠DM＝∠B， ∵D＝，M＝B∴△DM≌△B（SS），∴DM＝B＝2 为定值， 即点D 在以M 为圆心，半径为2 的圆上运动， 当点D 运动至B 的中垂线与圆的交点时， B 边上的高取最大值为2 +2，此时面积为4 +4． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，线段B 为⊙的直径，点在B 的延长线上，B＝4，B＝2，点P 是⊙上 一动点，连接P，以P 为斜边在P 的上方作Rt△PD，且使∠DP＝60°，连接D，则D 长 的最大值为（ ） ． B．2 ．2 D．4 解：如图，作△E，使得∠E＝90°，∠E＝60°，连接P，则 ＝2E，E＝2 ，∠P＝∠ED， ∵∠DP＝90°，∠DP＝60°， ∴P＝2D， ∴ ＝ ＝2 ∴△P∽△ED， ∴ ＝ ＝2， 即 ED＝ P＝1（ 定长 ）， ∵点 E 是定点，DE 是定长， ∴点D 在半径为1 的⊙E 上， ∵D⩽E+DE， ∴D≤ +1， ∴D 的最大值为 +1， 故选：． 【变式1-2】．如图，已知正方形BD 的边长为4，以点为圆心，2 为半径作圆，P 是⊙上 的任意一点，将点P 绕点D 按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ 的最大 值是（ ） ．6 B． ． D． 解：连接Q，P， ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝D，∠D＝90°， 由旋转得： DP＝DQ，∠QDP＝90°， ∴∠D﹣∠QD＝∠QDP﹣∠QD， ∴∠DQ＝∠DP， ∴△DQ≌△DP（SS）， ∴Q＝P＝2， ∴点Q 的轨迹是以点为圆心，半径为2 的圆上， ∴当点Q 在B 的延长线时，BQ 的值最大，如图所示： ∴BQ 的最大值＝B+Q＝4+2＝6，故选：． 【例2】．四边形BD 是边长为4 的正方形，点P 是平面内一点．且满足BP⊥P，现将点P 绕点D 顺时针旋转90 度，则Q 的最大值＝ 2+2 ． 解：如图，∵BP⊥P， ∴∠BP＝90°， ∴点P 的运动轨迹是以B 为直径的圆， ∵PD⊥DQ，PD＝QD， ∴点Q 的运动轨迹是圆，且和点P 的运动轨迹是等圆，圆心在B 的延长线上， （可以利用旋转法证明：取B 的中点E，连接DE，PE，将△DE 绕点D 顺时针旋转90° 得到△D，连接Q，只要证明△DEP≌△DQ 即可，推出Q＝PE＝的值） 在Rt△B 中，＝ ＝ ＝2 ， ∴当点Q1在的延长线上时，Q1的长最大，最大值为2+2 ， 故答为2+2 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，线段B＝4，M 为B 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB，线 段 PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段P，连接，则线段长度的最大值是 3 ． 解：以B 为斜边向上作等腰直角△B，连接，B． ∵M＝BM， ∴M＝M＝MB， ∴△MB 是等腰直角三角形， △PB 是等腰直角三角形， ∴B＝ BM，B＝ PB，∠MB＝∠PB＝45°， ∴∠MBP＝∠B， ∵ ＝ ， ∴△B∽△MBP， ∴ ＝ ＝ ， ∵PM＝1， ∴＝ ， ∴点的运动轨迹是以为圆心， 为半径的圆， ∵＝ B＝2 ， ≤+ ∴ ＝3 故线段长度的最大值为3 ． 【变式2-2】．如图，B＝4，为B 的中点，⊙的半径为1，点P 是⊙上一动点，以PB 为直 角边的等腰直角三角形PB（点P、B、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为 ≤≤ 3 ． 解：如图，作K⊥B，在K 上截取K＝＝B，连接K、BK、K、P． ∵K＝＝B，K⊥B， ∴K＝KB，∠KB＝90°， ∴△KB 是等腰直角三角形， ∵∠BK＝∠PB， ∴∠BP＝∠KB， ∵ ＝ ＝ ， ∴△BP∽△KB， ∴ ＝ ＝ ，∵P＝1， ∴K＝ ， ∴点的运动轨迹是以点K 为圆心，K 为半径的圆， K＝ ＝2 ， ∴的最大值为3 ，的最小值 ， ∴ ≤≤3 ． 故答为 ≤≤ ． 1．如图，点是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以B 为斜边作等腰Rt△B，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终 在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ） ．y＝﹣ x B．y＝﹣ x ．y＝﹣ D．y＝﹣ 解：作D⊥x 轴与点D，连接，作E⊥y 轴于点E， ∵△B 为等腰直角三角形，点是B 的中点， ∴＝，⊥， ∴∠E＝∠D， ∵∠E＝∠D＝90°， ∴△E≌△D（S）， ∴D＝E，D＝E， 设点的坐标为（x，y），则点为（y，﹣x）， ∵点是双曲线y＝ 上， ∴﹣yx＝4， ∴xy＝﹣4， ∴点所在的函数解析式为：y＝ ， 故选：． 2．在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D 是以点为圆心，2 为半径的圆上一点，连接 BD，M 为BD 的中点，则线段M 长度的最大值为（ ） ．7 B．35 ．45 D．3 解：取B 的中点E，连接D、EM、E．在直角△B 中， ． ∵E 是直角△B 斜边B 上的中点， ∴E＝ B＝25． ∵M 是BD 的中点，E 是B 的中点， ∴ME＝ D＝1． 25 1≤ ∵ ﹣ M≤25+1， 即15≤M≤35． ∴最大值为35， 故选：B． 3．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝4，B＝3，点是B 的三等分点，半圆与相切，M，分别 是B 与半圆弧上的动点，则M 的最小值和最大值之和是（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 解：如图，设⊙与相切于点D，连接D，作P⊥B 垂足为P 交⊙于F， 此时垂线段P 最短，PF 最小值为P﹣F， ∵＝4，B＝3， ∴B＝5 ∵∠PB＝90°， ∴P∥ ∵点是B 的三等分点， ∴B＝ ×5＝ ， ＝ ＝ ， ∴P＝ ， ∵⊙与相切于点D， ∴D⊥， ∴D∥B， ∴ ＝ ＝ ， ∴D＝1， ∴M 最小值为P﹣F＝ ﹣1＝ ， 如图，当在B 边上时，M 与B 重合时，M 经过圆心，经过圆心的弦最长， M 最大值＝ +1＝ ， ∴M 长的最大值与最小值的和是6． 故选：B． 4．如图，一次函数y＝2x 与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于，B 两点，点P 在以 （﹣2，0）为圆心，1 为半径的⊙上，Q 是P 的中点，已知Q 长的最大值为 ，则k 的 值为（ ） ． B． ． D． 解：连接BP， 由对称性得：＝B， ∵Q 是P 的中点， ∴Q＝ BP， ∵Q 长的最大值为 ， ∴BP 长的最大值为 ×2＝3， 如图，当BP 过圆心时，BP 最长，过B 作BD⊥x 轴于D， ∵P＝1， ∴B＝2， ∵B 在直线y＝2x 上， 设B（t，2t），则D＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：B2＝D2+BD2， 2 ∴2＝（t+2）2+（﹣2t）2， t＝0（舍）或﹣ ， ∴B（﹣ ，﹣ ）， ∵点B 在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上， ∴k＝﹣ ＝ ； 故选：． 5．如图，在矩形纸片BD 中，B＝2，D＝3，点E 是B 的中点，点F 是D 边上的一个动点， 将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△′EF，则′的长的最小值是（ ） ． B．3 ． ﹣1 D． ﹣1 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点′在线段E 上时，′的长取最小值， 如图所示． 根据折叠可知：′E＝E＝ B＝1． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝1，B＝3，∠B＝90°， ∴E＝ ＝ ， ′ ∴的最小值＝E ′ ﹣E＝ ﹣1． 故选：D． 6．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 分别 是边D、B 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 解：如图1，连接BD， Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ， ∴B＝2，＝4， ∵△D 与△B 关于对称， ∴B＝D，∠D＝∠B＝30°， ∴∠BD＝60°， ∴△BD 是等边三角形， ∴BD＝D，∠BD＝∠BD＝60°， ∵DE＝F， ∴△BDE≌△DF， ∴∠BED＝∠DF， ∵∠BED+∠PE＝180°， ∴∠PE+∠DF＝180°， ∴∠DF+∠EPF＝∠DF+∠BPD＝180°， ∵∠DF＝60°， ∴∠BPD＝120°， 由于点P 在运动中保持∠BPD＝120°， 如图2，∴点P 的运动路径为：以为圆心，B 为半径的120°的弧， 连接与圆弧的交点即为点P，此时P 的长度最小， ∴P＝﹣P＝4 2 ﹣＝2， 则线段P 的最小值为2； 故选：D． 7．如图，⊙的直径B＝4，P 为⊙上的动点，连结P，Q 为P 的中点，若点P 在圆上运动一 周，则点Q 经过的路径长是 2 π ． 解：如图，连接Q， ∵B＝4， ∴＝2， ∵Q 为P 的中点， ∴Q⊥P， ∴∠Q＝90°， ∴点Q 在以为直径的圆上运动， ∴点Q 经过的路径长为2π， 故答为：2π． 8．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点P 是以为圆心，2 个单位长为半径的圆上 的一个动点，连接P，以P 为边向P 右侧作等边三角形PB．当点P 在⊙上运动一周时， 点B 运动的路径长是 ． 解：如图，连接、P，将绕点逆时针旋转60°，得线段'，连接'B、'， ∵＝'，∠'＝60°， ' ∴△为正三角形， ∵△PB 为正三角形， ∴∠PB＝60°，P＝B， ∴∠PB﹣∠B＝∠'﹣∠B， ∴∠P＝∠B， 在△P 与△B′中， { AO=AO' ∠PAO=∠BAO' PA=BA ， ∴△P≌△B′， ∴P＝'B＝2， ∴⊙'即为动点B 运动的路径， ∴当点P 在⊙上运动一周时，点B 运动的路径长是4π 9．如图，⊙的半径为3，B 为圆上一动弦，以B 为边作正方形BD，求D 的最大值 3+3 ． 解：如图，连接，B，将绕点顺时针旋转90°，可得'，连接'，'D， ∴＝'＝3，∠'＝90°， ' ∴＝3 ， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝D，∠BD＝90°， ∴∠BD＝∠'＝90°， ∴∠B＝∠'D，且＝'，B＝D， ∴△B ' ≌△D（SS） ' ∴D＝B＝3， 在△'D 中，D≤'+'D＝3 +3， ∴点'，点，点D 共线时，D 有最大值为3 +3， 故答为：3 +3． 10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），（3，0），⊙的半径为2，P 为⊙上任意一 点，是BP 的中点，则的最大值是 35 ． 解：如图，连接B，取B 的中点，连接，． ∵B＝P，B＝， ∴＝ P＝1， ∴点的运动轨迹是以为圆心半径为1 的圆， ∵B（0，4），（3，0）， ∴（15，2）， ∴＝ ＝25， ∴的最大值＝+＝25+1＝35， 故答为：35． 11．如图，点是半圆 上一动点，以B 为边作正方形BDE（使 在正方形内），连E，若 B＝4m，则E 的最大值为 （ 2 +2 ） m． 解：如图，连接D，E，，E，设D 与⊙交于点M，连接M，BM， ∵四边形BDE 是正方形， ∴∠BD＝∠BE＝90°，D＝B＝BE＝DE， ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∴∠BD+∠B＝∠BE+∠B，即∠D＝∠BE， ∴△D≌△BE（SS）， ∴E＝D， 过点作M⊥B，交⊙于点M，连接M，BM， 则∠BM＝ ∠BM＝45°， ∵四边形BDE 是正方形， ∴∠BE＝45°， ∴、M、E 三点共线，即点M 在正方形BDE 的对角线E 上， ∴DM＝BM 为定值， ∴点D 在以M 为圆心BM 为半径的圆上，当D 过圆心M 时最长，即E 最长， ∵∠MB＝ ∠MB＝ ×90°＝45°， ∴∠DM＝∠BM＝45°， ∵四边形BDE 是正方形， ∴、M、E 共线，∠DEM＝∠BEM， 在△EMD 和△EMB 中， ， ∴△EMD≌△EMB（SS）， ∴DM＝BM＝ ＝ ＝2 （m）， ∴D 的最大值＝（2 +2）m，即E 的最大值＝（2 +2）m； 故答为：（2 +2）． 12．如图，点为坐标原点，⊙的半径为1，点（2，0），动点B 在⊙上，连接B，作等边△B （，B，为顺时针顺序），求的最大值与最小值． 解：如图，以为边，在的下方作等边△D，连接BD，，B， ∵△B 和△D 都是等边三角形， ∴＝B，＝D，∠B＝∠D， ∴∠＝∠BD， ∴△≌△DB（SS）， ∴＝BD， ∵B＝1，＝D＝2， 2 1≤ ∴﹣ BD≤2+1， 1≤ ∴ BD≤3， 1≤≤3 ∴ ， ∴的最小值为1，最大值为3． 13．如图，点在线段B 上，＝1，B＝2，以点为圆心、长为半径的圆为⊙，在⊙上取动点 P，以PB 为边作△PB，使∠PB＝90°，t∠PB＝ ，P、B、三点为逆时针顺序，连接，求 的取值范围． 解：如图，作BM⊥B，使得BM＝2B＝4，连接P，M，M． 在Rt△BM 中，∵B＝+B＝1＝2＝3，BM＝4， ∴M＝ ＝ ＝5， t ∵∠PB＝ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠BM＝∠PB＝90°， ∴∠BP＝∠MB， ∴△BP∽△MB， ∴ ＝ ＝ ， ∵P＝1， ∴M＝2， ∵M﹣M≤≤M+M， 3≤≤7 ∴ ． 14．已知：如图，B 是⊙的直径，是⊙上一点，D⊥于点D，过点作⊙的切线，交D 的延长 线于点E，连接E． （1）求证：E 与⊙相切； （2）连接BD，若ED：D＝3：1，＝9，求E 的长； （3）若B＝10，＝8，点F 是⊙任意一点，点M 是弦F 的中点，当点F 在⊙上运动一周， 则点M 运动的路径长为 ． （1）证明：如图1 中，连接． ∵D⊥， ∴D＝D， ∴E＝E， 在△E 和△E 中， { OE=OE OC=OA EA=EC ， ∴△E≌△E， ∴∠E＝∠E， ∵E 是⊙切线， ∴E⊥， ∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠E＝90°， ∴⊥E， ∴E 是⊙的切线． （2）如图1 中，设D＝，则DE＝3， ∵∠D＝∠E，∠D＝∠E， ∴△D∽△E， ∴OA OE =OD OA ， 4 ∴2＝81， ∵＞0， ∴¿ 9 2， ∴E＝18， 在Rt△E 中，E¿ ❑ √O E 2−O A 2= ❑ √18 2−9 2=¿9❑ √3． （3）如图2 中，连接M，取的中点′，连接′M． ∵M＝MF， ∴M⊥F， ′ ∵＝′，＝B＝5， ′ ∴M¿ 1 2＝定长¿ 5 2， ∴当点F 在⊙上运动一周，则点M 运动的路径是以′为圆心5 2为半径的圆， ∴点M 运动的路径长为2π•5 2=¿5π． 故答为5π． 15．若＝4，以点为圆心，2 为半径作圆，点P 为该圆上的动点，连接P． （1）如图1，取点B，使△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，将点P 绕点顺时针旋转90° 得到P′． ①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）； ②P′的最小值是 ； （2）如图2，以P 为边作等边△PQ（点、P、Q 按照顺时针方向排列），在点P 运动过 程中，求Q 的最大值． （3）如图3，将点绕点P 逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则M 的最小值为 ． 解：（1）①连接P、BP'，如图1 所示： ∵△B 是等腰直角三角形，∠B＝90°， ∴＝B，由旋转的性质得：P＝P'，∠PP'＝90°， ∴∠P＝∠P'B， 在△BP'和△P 中，{ AP'=AP ∠P' AB=∠PAC AB=AC ， ∴△BP'≌△P（SS）， ∴BP'＝P＝2，即点P'到点B 的距离等于定长， ∴点P'的轨迹是以B 为圆心，2 为半径的圆； 故答为：圆； ②∵△B 是等腰直角三角形，＝4， ∴B¿ ❑ √2＝4❑ √2， 当点P'在线段B 上时，P'最小＝B﹣BP'＝4❑ √2−¿2； 故答为：4❑ √2−¿2； （2）以为边长作等边△D，连接DQ、P，如图2 所示： ∵△PQ 和△D 是等边三角形， ∴P＝Q，＝D＝D＝4，∠PQ＝∠D＝60°， ∴∠DQ＝∠P， 在△DQ 和△P 中，{ AD=AC ∠DAQ=∠CAP AQ=AP ， ∴△DQ≌△P（SS）， ∴DQ＝P＝2， 当、D、Q 三点共线时，Q 有最大值＝D+DQ＝4+2＝6； （3）如图3 所示：M 点的轨迹是以MM'为直径的一个圆'， 则PM＝P＝2，PM'＝P＝4+2＝6， 则'是梯形PMM'P'的中位线， ' ∴¿ 1 2（2+6）＝4， 连接MM'''， 则∠MM'''M'＝90°， ∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4， ∴M'M'''＝6 2 ﹣＝4＝MM'''， ∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'¿ ❑ √2 MM'''＝4❑ √2， ' ∴M''＝2❑ √2， ∴M＝' ' ﹣M''＝4 2 ﹣❑ √2； 故答为：4 2 ﹣❑ √2． 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5 与x 轴，y 轴分别交于、两点，抛物线 y＝x2+bx+经过、两点，与x 轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△BM 的面积等于 △B 面积的3 5，求此时点M