专题09 分式方程实际应用的三种考法（教师版）

专题09 分式方程实际应用的三种考法 类型一、销售利润问题 例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料 每瓶售价的 倍．4 月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000 瓶，桔子味饮科销售额为 250000 元，荔枝味饮料销售额为280000 元． (1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？ (2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000 瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因 此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的 ；不多于枯子味饮料的2 倍．桔子味 饮料每瓶7 折销售，荔枝味饮料每瓶降价2 元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使 得总销售额最大？最大销售额是多少元？ 【答】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10 元，每瓶荔枝味饮料的售价为8 元； (2)当m＝7200 时，销售额最大，最大值是76800 元 【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x 元，则每瓶桔子味饮料的售价为 元， 依题意，得： ，解得：x＝8， 经检验，x＝8 是原方程的解，且符合题意，∴ ＝10(元)， 答：每瓶桔子味饮料的售价为10 元，每瓶荔枝味饮料的售价为8 元． (2)解：设销售荔枝味饮料m 瓶， 则销售桔子味饮料(12000﹣m)瓶，依题意，得： ，解得： 7200≤m≤8000， 设总销售额元，则 ∵是m 的一次函数，且k＝﹣1＜0，∴当m＝7200 时，销售额最大，最大值是76800 元 【变式训练1】某超市销售、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比款保温杯多10 元，用600 元购买B 款保温杯的数量与用480 元购买款保温杯的数量相同． (1)、B 两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，，B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120 个， 且款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价 均为30 元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答】(1)款保温杯销售单价为40 元，B 款保温杯销售单价为50 元 (2)购进款40 个，B 款80 个能使销售利润最大，最大利润2000 元 【解析】(1)解：设款销售单价为x 元，则B 款销售单价为( )元， 根据题意得： ，解得 ，经检验， 是原方程的解且符合题意， ∴ ， 答：款保温杯销售单价为40 元，B 款保温杯销售单价为50 元； (2)解：设购进款保温杯m 个，则购进B 款保温杯(120－m)个，总利润为元， ∵ ，∴ ， 根据题意得： ， ∵ ， ∴随m 的增大而减小， ∴ 时，最大，且 ，此时 ， 答：购进款40 个，B 款80 个能使销售利润最大，最大利润2000 元 【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽 车经销商购进，B 两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价 多2 万元；花50 万元购进型汽车的数量与花40 万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求，B 两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：型汽车的每周销售量y(台)与售价x(万元台)满足函数关系y＝﹣x+18； B 型汽车的每周销售量yB(台)与售价xB(万元/台)满足函数关系yB＝﹣xB+14．若型汽车的 售价比B 型汽车的售价高1 万元/台，设每周销售这两种车的总利润为万元． ①当型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？ ②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少 万元？ 【答】(1)种型号汽车的进货单价为10 万元、B 两种型号汽车的进货单价为8 万元 (2)①B 型汽车的最低售价为 万元/台，②、B 两种型号的汽车售价各为13 万元、12 万元 时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23 万元 【解析】(1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得： ＝ ， 解得x＝8，经检验x＝8 是原分式方程的根，8+2＝10(万元)， 答：种型号汽车的进货单价为10 万元、B 两种型号汽车的进货单价为8 万元； (2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则型汽车的售价为(t+1)万元/台， ①根据题意，得：(t+1 10)[ ( ﹣ ﹣t+1)+18]≥(t 8)( ﹣ ﹣t+14)，解得：t≥ ， ∴t 的最小值为 ，即B 型汽车的最低售价为 万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为 万元/台； ②根据题意，得：＝(t+1 10)[ ( ﹣ ﹣t+1)+18]+(t 8)( ﹣ ﹣t+14) ＝﹣2t2+48t 265 ﹣ ＝﹣2(t 12) ﹣ 2+23， 2 ∵﹣＜0，当t＝12 时，有最大值为23． 答：、B 两种型号的汽车售价各为13 万元、12 万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大， 最大利润是23 万元． 【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 元，空调的销售价为每台 元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 元，商场用 元购进电冰箱的数量与 用 元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商场准备一次购进这两种家电共 台，设购进电冰箱 台，这 台家电的销售总 利润 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 倍，且购进电冰箱不多于 台，请确 定获利最大的方以及最大利润． (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价 不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这 台家电销售总利润最大的进货方． 【答】(1)每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元；(2)当购进电冰箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元；(3)当 时，购进电冰箱 台， 空调 台销售总利润最大；当 时， ，各种方利润相同；当 时， 购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大 【解析】解： 设每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元， 根据题意得： ，解得： ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元． 设购进电冰箱 台，这 台家电的销售总利润为 元， 则 ， 根据题意得： ，解得： ， 为正整数， ， ， ， ， ， ， ， 合理的方共有种， 即 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； ， ， 随 的增大而减小， 当 时， 有最大值，最大值为： 元， 答：当购进电冰箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元． 当厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价不变， 则利润 ， 当 ，即 时， 随 的增大而增大， ， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调 台； 当 时， ，各种方利润相同； 当 ，即 时， 随 的增大而减小， ， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调 台； 答：当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大； 当 时， ，各种方利润相同； 当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大． 【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫， 其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表： 衬衫价格 甲 乙 进价(元件) 售价(元件) 260 180 若用3000 元购进甲种衬衫的数量与用2700 元购进乙种衬衫的数量相同． (1)求甲、乙两种衬衫每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种衬衫共300 件的总利润不少于34000 元，且不超过34700 元，问 该专卖店有几种进货方； (3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠 元 出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答】(1)甲种衬衫每件进价100 元，乙种衬衫每件进价90 元；(2)共有11 种进货方；(3)当 时，应购进甲种衬衫110 件，乙种衬衫190 件；当 时，所有方获利都一样； 当 时，购进甲种衬衫100 件，乙种衬衫200 件． 【详解】解：(1)依题意得： ，整理，得： ， 解得： ，经检验， 是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100 元，乙种衬 衫每件进价90 元； (2)设购进甲种衬衫 件，乙种衬衫 件， 根据题意得： ，解得： ， 为整数， ，答：共有11 种进货方； (3)设总利润为 ，则 ， ①当 时， ， 随 的增大而增大， 当 时， 最大， 此时应购进甲种衬衫110 件，乙种衬衫190 件；②当 时， ， ， (2)中所有方获利都一样； ③当 时， ， 随 的增大而减小， 当 时， 最大， 此时应购进甲种衬衫100 件，乙种衬衫200 件． 综上：当 时，应购进甲种衬衫110 件，乙种衬衫190 件；当 时，(2)中所 有方获利都一样；当 时，购进甲种衬衫100 件，乙种衬衫200 件． 类型二、方问题 例．某商店决定购进、B 两种纪念品．已知每件种纪念品的价格比每件B 种纪念品的价格 多5 元，用800 元购进种纪念品的数量与用400 元购进B 种纪念品的数量相同． (1)求购进、B 两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品的资金不少于800 元，且不超过850 元，那么该商店共有几种进货方？ (3)已知商家出售一件种纪念品可获利m 元，出售一件B 种纪念品可获利(6﹣m)元，试问在 (2)的条件下，商家采用哪种方可获利最多？(商家出售的纪念品均不低于成本价) 【答】(1)购进 种纪念品每件需要10 元， 种纪念品每件需要5 元；(2)共有11 种进货方； (3)当 ； 种70 件， 种30 件时可获利最多；当 ， 种60 件， 种40 件时 可获利最多 【详解】解：(1)设购进 种纪念品每件价格为 元， 种纪念币每件价格为 元，根据 题意可知： ，解得： ， ． 答：购进 种纪念品每件需要10 元， 种纪念品每件需要5 元． (2)设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品 件，根据题意可得： ，解得： ， 只能取正整数， ，共有11 种情况， 故该商店共有11 种进货方分别为： 种70 件， 种30 件； 种69 件， 种31 件； 种 68 件， 种32 件； 种67 件， 种33 件； 种66 件， 种34 件； 种65 件， 种35 件； 种64 件， 种36 件； 种63 件， 种37 件； 种62 件， 种38 件； 种61 件， 种39 件； 种60 件， 种40 件． (3)销售总利润为 ， 商家出售的纪念品均不低于成本价， ， 根据一次函数的性质，当 时，即 ， 随着 增大而增大， 当 时， 取到最大值；即方为： 种70 件， 种30 件时可获利最多； 当 时，即 ， 随着 增大而减小， 当 时， 取到最大值；即方为： 种60 件， 种40 件时可获利最多． 【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩 和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100 只，每盒水银体温计有10 支，每盒口 罩价格比每盒水银体温计价格多150 元．用1200 元购买口罩盒数与用300 元购买水银体温 计所得盒数相同． (1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ (2)如果给每位学生发放2 只口罩和1 支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设 购买口罩m 盒(m 为正整数)，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代 数式表示． (3)在民联药店累计购医用品超过1800 元后，超出1800 元的部分可享受8 折优惠．该校按 (2)中的配套方购买，共支付总费用元； ①当总费用不超过1800 元时，求m 的取值范围；并求关于m 的函数关系式． ②若该校有900 名学生，按(2)中的配套方购买，求所需总费用为多少元？ 【答】(1)每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200 元、50 元；(2)购买水银体温计5m 盒 能和口罩刚好配套；(3)①＝ ；②购买口罩和水银体温计各18 盒、90 盒， 所需总费用为6840 元 【解析】解：(1)设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是 元， 元， 根据题意，得 ，解得 ， 经检验， 是原方程的解， ，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200 元、50 元； (2)设购买水银体温计 盒能和口罩刚好配套， 根据题意，得 ，则 ， 答：购买水银体温计 盒能和口罩刚好配套； (3)①由题意得： ， ， ，此时， ； 若 ，则 ，综上所述： ； ②若该校九年级有900 名学生，需要购买口罩： (支， 水银体温计： (支， 此时 (盒， (盒，则 (元． 答：购买口罩和水银体温计各18 盒、90 盒，所需总费用为6840 元． 【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶 的进价每件少5 元，其用90 元购进甲种牛奶的数量与用100 元购进乙种牛奶的数量相同． (1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？ (2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3 倍少5 件，两种牛奶的总数不超过95 件， 该商场甲种牛奶的销售价格为49 元，乙种牛奶的销售价格为每件55 元，则购进的甲、乙 两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润(利润＝售价﹣进价)超过371 元，请通过计算求出 该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方？ 【答】(1)甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45 元、50 元；(2)商场购进甲种牛奶64 件， 乙种牛奶23 件；或商场购进甲种牛奶67 件，乙种牛奶24 件；或商场购进甲种牛奶70 件， 乙种牛奶25 件； 【详解】(1)设甲种牛奶进价为x 元，则乙种牛奶进价为： 元 根据题意，得： ，∴ 当 时， ，且 ∴ 是方程 的解，∴ ∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45 元、50 元； (2)设该商场购进乙种牛奶数量为m 件，则该商场购进甲种牛奶数量为 件 ∵两种牛奶的总数不超过95 件，∴ ，∴ ∵销售的总利润(利润＝售价﹣进价)超过371 元，∴ ∴ ，∴ ，∴ ∴商场购进甲种牛奶64 件，乙种牛奶23 件；或商场购进甲种牛奶67 件，乙种牛奶24 件； 或商场购进甲种牛奶70 件，乙种牛奶25 件． 【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年 的售价比去年同期每件降价 元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为 万元，今 年销售额只有万元． (1)今年这种产品每件售价多少元？ (2)为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为 元；产 品乙每件进价为 元，售价 元，公司预计用不多于万元且不少于 万元的资金 购进这两种产品共 件，分别列出具体方，并说明哪种方获利更高． 【答】(1)今年这种产品每件售价为 元；(2)有三种方：方①：甲产品进货件，乙产品 进货件；方②：甲产品进货件，乙产品进货件；方③：甲产品进货 件，乙产品进货 件；方①的利润更高． 【详解】解： 设今年这种产品每件售价为 元， 依题意得： ，解得： ． 经检验： 是原分式方程的解． 答：今年这种产品每件售价为 元． 设甲产品进货 件，则乙产品进货 件． 依题意得： ， 解得： ， 因此有三种方： 方①：甲产品进货件，乙产品进货件； 方②：甲产品进货件，乙产品进货件； 方③：甲产品进货 件，乙产品进货件 方①利润： ， 方②利润： ， 方③利润： ， ， 方①的利润更高 类型三、工程问题 例．为稳步推进 络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与 基站建设工程． (1)已知乙队的工作效率是甲队的 倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用 天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ (2)当甲队施工 天完成 基站建设工程的 时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工 提前 天完成了剩余的工程． ①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ ②若乙队参与该项工程施工的时间不超过 天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需 要多少天？ 【答】(1)乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程．(2)①36 天，②至少40 天 【详解】解：(1)设乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程，题意，得 ，解方 程，得 ， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程． (2)①由题意得，甲队单独施工 天完成该项工程的 ， 所以甲队单独施工 天完成该项工程 甲队单独施工完成剩余 的工程的时间为 (天)， 于是甲、乙两队共同施工的时间为 (天)． 设乙队单独施工需要 天才能完成该项工程， 则 ，解方程，得 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意． 答：若乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程． ②设甲队从开始施工到完成该工程需要天， 依题意列不等式，得 ， 解得： 【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工 队前去修筑，要求在规定时间内完成． (1)已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32 天，第六施工队单独完成这 项工程所需时间比规定时间多12 天，如果第五、六施工队先合作20 天，剩下的由第五施 工队单独施工，则要误期2 天完成那么规定时间是多少天？ (2)实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的 时，公司又承包了更大的工程，需要 调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？ 【答】(1)规定的时间是28 天；(2)留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的 工程，见解析． 【详解】解：(1)设规定的时间是x 天，根据题意，得 ，解得 ， 经检验， 是原分式方程的解且符合实际意义． 答：规定的时间是28 天； (2)设第五、六施工队合作完成这项工程的 用了y 天， 根据题意，得 ，解得 ， 由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为： (天)， (天)， 因为 ， 所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程． 答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程． 【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场 施工，计划用 天时间完成整个工程．当一号施工队工作 天后，承包单位接到通知，有 一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣 二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． (1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 【答】(1)若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要 天；(2)若由一、二号施工队同 时进场施工，完成整个工程需要 天 【详解】(1)设二号施工队单独施