专题08 整式中规律性探索的三种考法（原卷版）

专题08 整式中规律探索的三种考法 类型一、数字类规律探索问题 例1．将一列有理数 ，2，3，4， ，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规 律可知，“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数4，那么，“峰6”中的位置是有理数___ _，2022 应排在、B、、D、E 中____的位置．正确的选项是（ ） ． ， B．30，D ．29，B D． ， 例2．一组按规律排列的式子： ， ， ， 那么第 个式子是 （ ） ． B． ． D． 【变式训练1】找规律：观察算式 ； ； ； ； … (1)按规律填空 ； ． (2)由上面的规律计算： （要求：写出计算过程） 【变式训练2】观察下列等式： ， ， ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出 ______． (2)计算下列各式的计算结果： ． (3)探究并计算： ． 【变式训练3】对于实数 ，规定 ，例如 ， ，那么计算 的结果是 ． 类型二、图表类规律探索问题 例1．为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L 的读书长廊，并准备 用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图 所示的规律拼成图铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为06 ． （1）按图示规律，第一个图的长度 ，第二个图的长度 ． （2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数 与走廊的长度 之间的关系 ． 例2．如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1 幅图中“ ”的个数为 ，第2 幅图中“ ”的个数为 ，第3 幅图中“ ”的个数为 ， ，以 此类推，若 （ 为正整数），则 的值为 ． 【变式训练1】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6 个图形中共有个 ★． 【变式训练2】观察与思考：我们知道 ，那么 结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下 列问题： ； ； ； ； (1)规律观察： ； (2)推算概括：用含的式子表示出 的值； (3)拓展应用：求 的值． 【变式训练1】我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”， 数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面 图： 用含的式子表示第个图的钢管总数． 【分析思路】 图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成 几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律． 如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用 表示第个图形钢管总数）． 【解决问题】 (1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像 的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律． ， ___________． (2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给 图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发 现的规律： ___________， ___________， ___________， ___________． (3)用含的式子列式，并计算第个图的钢管总数为___________． 【变式训练2】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放： (1)第5 个图有 张黑色小正方形纸片； (2)第个图有 张黑色小正方形纸片； (3)第几个图中白色纸片和黑色纸片共有81 张？ 类型二、程序类问题 例．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是1，可发现第一次输出的结果是 4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2023 次输出的结果是 ． 【变式训练1】按下面的程序计算： 若输入=100，输出结果是501；若输入=25，输出结果是631，若开始输入的值为正整数， 最后输出的结果为656，则开始输入的值可能有（ ） ．1 种 B．2 种 ．3 种 D．4 种 【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11 的是（ ） ．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 ．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝15 【变式训练3】按图示的程序计算，若开始输入的x 为正整数，最后输出的结果为67，则x 的值是（ ） ．2 或7 B．2 或22 ．2 或22 或7 D．2 或12 或22 课后训练 1．定义一种对正整数 的“ ”运算：①当 为奇数时，结果为 ；②当 为偶数时， 结果为 其中 是使 为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取 ， 则：若 ，则第 次“ 运算”的结果是( ) ． B． ． D． 2．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x 的值为 ，我们发现第一次输出的结果为 ，第二次输出的结果为2，…，则第2023 次输出的结果为（ ） ． B．2 ． D． 3．将正整数1 至1050 按一定规律排列如图所示，从表中任取一个 的方框，方框中九 个数的和可能是（ ）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 1 3 14 15 1 6 17 1 8 19 2 0 21 22 2 3 24 2 5 26 2 7 28 … … … … … … … ．2025 B．2018 ．2016 D．2007 4．如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1 个图形有3 个菱形，第2 个图形有7 个 菱形，第3 个图形有13 个菱形，按此规律排列下去，第9 个图形的菱形个数为（ ） ．73 B．81 ．91 D．109 5．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1， 5，12，22…为五边形数，则第7 个五边形数是（ ） ．62 B．70 ．84 D．108 6．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3 个正方形， 图②中共有7 个正方形，图③中共有15 个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正 方形的个数是（ ） ．31 B．32 ．63 D．64 7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1 个小正 方形，第②个图形中有5 个小正方形，第③个图形中有11 个小正方形，…，按此规律排列 下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（ ）个 ．40 B．49 ．55 D．71 8．如图1， 是 的直径，点B、、D 将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号 1、2、3、4、5 按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5 号同学调出，站到2 号和3 号 两位同学之间，再把最右边的4 号同学调出，站到1 号和2 号两位同学之间，得到图2，称 为“1 次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3 号同学调出，站到4 号和2 号两位同学 之间，再把最右边的5 号同学调出，站到1 号和4 号两位同学之间，得到图3，称为“2 次 换序”．以此类推……；若从图1 开始，经过“次换序”后，得到的顺序与图1 相同，则的 值可以是（ ） ．11 B．12 ．13 D．14