专题19.2 一次函数与正比例函数【七大题型】（解析版）

专题192 一次函数与正比例函数【七大题型】 【人版】 【题型1 一次函数、正比例函数的识别】.............................................................................................................1 【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】..........................................................................3 【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】.........................................................................................................5 【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】.....................................................................................................7 【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】.....................................................................................................8 【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】.......................................................................................................12 【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】....................................................................................................15 【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】 一般地，若两个变量x，y 间的关系可以表示成y=kx+b （k，b 为常数，k¿ 0）的 形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。 特别地，当一次函数y=kx+b 中的b=0 时（即y=kx ）（k 为常数，k¿ 0），称y 是x 的正比例函数。 【题型1 一次函数、正比例函数的识别】 【例1】（2022 春•麻城市校级月考）下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=−8 x ；（3）y＝ 2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k 是常数），其中一次函数的个数 是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】根据y＝kx+b（k，b 为常数，k≠0）是一次函数，判断即可． 【解答】解：下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=−8 x ；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣ x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k 是常数），其中一次函数的是：（1）y＝﹣2x； （4）y＝﹣x+1， 共有2 个， 故选：． 【变式1-1】（2022•市北区期中）下列语句中，y 与x 是一次函数关系的有（ ）个 （1）汽车以60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间 的关系 1 （2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50 厘米，每个月长高2 厘米，x 月后这棵树的高度为y 厘米，y 与x 的关系； （4）某种大米的单价是22 元/千克，当购买x 千克大米时，花费y 元，y 与x 的关系． ．1 B．4 ．3 D．2 【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：汽车以60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x （时）之间的关系，是一次函数； 圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数； 一棵树现在高50 厘米，每个月长高2 厘米，y 与x 的关系，是一次函数； 某种大米的单价是22 元/千克，当购买x 千克大米时，花费y 元，y 与x 的关系，是一次 函数， 所以共3 个一次函数， 故选：． 【变式1-2】（2015 春•盱眙县校级期末）下列问题中，是正比例函数的关系的是（ ） ．矩形面积一定，长与宽的关系 B．正方形面积和边长的关系 ．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系 D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 【分析】根据正比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、∵S＝b，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项错误； B、∵S＝2，∴正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误； 、∵S¿ 1 2，∴三角形的面积一定，底边和底边上的高是反比例关系，故本选项错误； D、∵S＝vt，∴速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确． 故选：D． 【变式1-3】（2022 春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10m， 水面面积是100m2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每 秒02m 的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度，注水量V 随对应的注水 时间t 的变化而变化，则与t，V 与t 满足的函数关系分别是（ ） 1 ．正比例函数关系，正比例函数关系 B．正比例函数关系，一次函数关系 ．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，正比例函数关系 【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函 数关系式，进而判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可 得到V 与t 满足的函数关系． 【解答】解：设容器内的水面高度为，注水时间为t，根据题意得： ＝02t+10， ∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关 系． V＝100×02t＝20t， ∴注水量V 与对应的注水时间t 满足的函数关系是正比例函数关系． 故选：D． 【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】 【例2】（2022•平川区校级月考）当m，为何值时，y＝（m 1 ﹣）x m 2 +¿． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【分析】（1）根据形如y＝kx+b（k≠0，k 是常数）是一次函数可得； （2）根据形如y＝kx+b（k≠0，k 是常数，b＝0）是正比例函数可得． 【解答】解：（1）当m2＝1 且m 1≠0 ﹣ 时，y＝（m 1 ﹣）x m 2 +¿是一次函数， 即：m＝﹣1． 答：当m＝﹣1 时，y＝（m 1 ﹣）x m 2 +¿是一次函数； （2）当m2＝1 且m 1≠0 ﹣ ，且＝0 时，y＝（m 1 ﹣）x m 2 +¿是正比例函数， 即：m＝﹣1 且＝0 时，y＝（m 1 ﹣）x m 2 +¿是正比例函数． 【变式2-1】（2022 春•新抚区期末）已知函数y＝（m+1）x2 | ﹣m|+4，y 是x 的一次函数，则 m 的值是（ ） ．1 B．﹣1 ．1 或﹣1 D．任意实数 1 【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k，b 为常数且k≠0），可得2 | ﹣m|＝1 且 m+1≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2 | ﹣m|＝1 且m+1≠0， ∴m＝±1 且m≠ 1 ﹣， ∴m＝1， 故选：． 【变式2-2】（2021 春•萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2 4 ﹣是关于x 的正比例函数，则常 数m＝ 2 ． 【分析】依据正比例函数的定义求解即可． 【解答】解：∵y＝（m+2）x+m2 4 ﹣是关于x 的正比例函数， ∴m+2≠0，m2 4 ﹣＝0， 解得：m＝2．故答为：2． 【变式2-3】（2022•金牛区校级期中）当m，为何值时，y＝（m 3 ﹣）x|m| 2 ﹣+ 2 ﹣． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【分析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可； （2）根据正比例函数的是特殊的一次函数解答． 【解答】解：（1）由|m| 2 ﹣＝1 得，m＝±3， ∵（m 3 ﹣）≠0， ∴m≠3， 所以，m＝﹣3 时是一次函数； （2）由|m| 2 ﹣＝1 得，m＝±3， ∵（m 3 ﹣）≠0，﹣2＝0， ∴m≠3，＝2， 所以，m＝﹣3，＝2 时是正比例函数． 【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx （k¿ 0）中的常数k。确 定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b （k¿ 0）中的常数k 和b。解这类 问题的一般方法是待定系数法。 【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】 【例3】（2021 春•雄县期末）已知y 是z 的一次函数，z 是x 的正比例函数，问： （1）y 是x 的一次函数吗？ （2）若当x＝5 时，y＝﹣2；当x＝﹣3 时，y＝6．则当x＝1 时，y 的值是什么？ 1 【分析】（1）由一次函数、正比例函数解析式可以求得y 与x 的函数关系式，根据关系 式作出判断； （2）把相应的x、y 的值代入（1）中的函数关系式，列出关于km、b 的方程组，通过 解方程组可以求得它们的值；然后把x＝1 代入解析式，即可求得相应的y 值． 【解答】解：（1）依题意，可设y＝kz+b、z＝mx（k≠0，m≠0）． 则y＝kmx+b， 所以y 是x 的一次函数； （2）由题意，得{ −2=5km+b 6=−3km+b， 解得{ km=−1 b=3 ， 所以，y＝﹣x+3． 当x＝1 时，y＝﹣1+3＝2．即y＝2． 【变式3-1】（2022 春•柳州期末）已知一次函数图象经过点（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3 时，y 的值． 【分析】（1）直线y＝kx+b（k≠0）经过（1，3）和B（2，5）两点，代入可求出函数 关系式； （2）把x＝﹣3 代入（1）中的函数解析式，即可求得相应的y 值． 【解答】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则 { k+b=3 2k+b=5， 解得 { k=2 b=1． 故该一次函数解析式为：y＝2x+1； （2）把x＝﹣3 代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得 y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5． 即：y 的值为﹣5． 【变式3-2】（2022•广陵区校级期末）已知y 1 ﹣与x+2 成正比例，且x＝﹣1 时，y＝3． （1）求y 与x 之间的关系式； （2）它的图象经过点（m 1 ﹣，m+1），求m 的值． 【分析】（1）根据y 1 ﹣与x+2 成正比例，设y 1 ﹣＝k（x+2），把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式； （2）把点（m 1 ﹣，m+1）代入一次函数解析式求出m 的值即可． 1 【解答】解：（1）根据题意：设y 1 ﹣＝k（x+2）， 把x＝﹣1，y＝3 代入得：3 1 ﹣＝k（﹣1+2）， 解得：k＝2． 则y 与x 函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（m 1 ﹣，m+1）代入y＝2x+5 得：m+1＝2（m 1 ﹣）+5 解得m＝﹣2． 【变式3-3】（2022•宜兴市校级月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x 成正比例，y2与x 2 ﹣成 正比例．当x＝﹣1 时，y＝2；当x＝3 时，y＝﹣2．求y 与x 的函数关系式，并画出该 函数的图象． 【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对 值代入求出k 与b 的值，确定出解析式． 【解答】解：根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x 2 ﹣），即y＝y1+y2＝k1x+k2（x 2 ﹣）， 将x＝﹣1 时，y＝2；x＝3 时，y＝﹣2 分别代入得：{ −k1−3k2=2 3k1+k2=−2 ， 解得：k1¿−1 2，k2¿−1 2， 则y¿−1 2x−1 2 （x 2 ﹣）＝﹣x+1． 即y 与x 的函数关系式为y＝﹣x+1； 画出该函数的图象为 【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】 【例4】（2022•嘉定区期末）正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（，4），求这个函数 的解析式和的值． 【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k 的值， 进而得出正比例函数的解析式，把点（，4）代入正比例函数的解析式，求出的值即可． 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0） ∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4） 4 ∴﹣＝2×k，即k＝﹣2 1 ∴正比例函数解析式为y＝﹣2x ∵正比例函数的图象经过点（，4） 4 ∴＝﹣2×，即＝﹣2． 【变式4-1】（2022•泰兴市期末）已知一个函数的图象是经过原点的直线，并且经过点 （﹣3，9 4 ），求此函数的关系式． 【分析】由于一个函数的图象是经过原点的直线，故函数为正比例函数，设函数解析式 为y＝kx，将点（﹣3，9 4 ）代入求解即可． 【解答】解：设函数解析式为y＝kx， 将点（﹣3，9 4 ）代入解析式得， 3 ﹣k¿ 9 4 ， 解得，k¿−3 4 ， 则函数解析式为y¿−3 4 x． 【变式4-2】（2022 春•衡阳县期中）已知y 是x 的正比例函数，且函数图象经过点（﹣3， 6）． （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x＝﹣6 时，求对应的函数值y； （3）当x 取何值时，y¿ 2 3． 【分析】（1）设正比例函数解析式为y＝kx，把点的坐标代入计算即可得解； （2）把x＝﹣6 代入解析式解答即可； （3）把y¿ 2 3代入解析式解答即可． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx， ∵图象经过点（﹣3，6）， 3 ∴﹣k＝6， 解得k＝﹣2， 所以，此函数的关系式是y＝﹣2x； （2）把x＝﹣6 代入解析式可得：y＝12； （3）把y¿ 2 3代入解析式可得：x¿−1 3． 1 【变式4-3】（2022•黄浦区期中）若正比例函数图象上一点到y 轴与到x 轴距离之比是3： 1，则此函数的解析式为 y ¿± 1 3x ． 【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设 为（3，）或（3，﹣），然后把它们分别代入y＝kx 可计算出对应的k 的值，从而可确 定正比例函数解析式． 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx， ∵正比例函数图象上一点到y 轴与到x 轴距离之比是3：1， ∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（3，）或（3，﹣）， ∴k•3＝或k•3＝﹣ ∴k¿ 1 3或−1 3 ， ∴正比例函数解析式为y¿ 1 3x 或y¿−1 3x． 故答为y¿± 1 3x． 【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】 【例5】（2022 春•江夏区校级月考）已知一次函数y＝kx+b 的图象交x 轴于点（4，0）， 交y 轴于点B（0，2）． （1）求这个函数的解析式； （2）若在第一象限有一点（2，m），且△B 的面积为4，求m 的值． 【分析】（1）把与B 的坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，即可确定出解析式； （2）把x＝2 代入一次函数解析式求出y 的值，根据三角形面积公式表示出三角形B 面 积，由已知面积求出m 的值即可． 【解答】解：（1）把（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b 得：{ 4 k+b=0 b=2 ， 解得：{ k=−1 2 b=2 ， 则一次函数解析式为y¿−1 2x+2； （2）把x＝2 代入一次函数解析式得：y＝﹣1+2＝1， ∵S△B＝4， ∴1 2 ×4×|m 1| ﹣＝4，即|m 1| ﹣＝2， 解得：m＝3 或m＝﹣1（舍去）， 1 则m 的值为3． 【变式5-1】（2022 春•鞍山期末）如图，一次函数y＝x+2 与x 轴，y 轴分别交于点，B， 点M（1，m）是直线B 上一点，直线M 交x 轴于点（5 2，0）； （1）求直线M 的函数解析式； （2）若点P 是线段上一动点，连接BP，MP，若△BP 的面积是△MP 面积的2 倍，求P 点坐标． 【分析】（1）求出M 点的坐标，由待定系数法可求出答； （2）设P（，0），得出P＝+2，P¿ 5 2−¿，根据面积关系列出方程可得出答． 【解答】解：（1）∵点M（1，m）是直线B 上一点， 1+2 ∴ ＝m， ∴m＝3， ∴M（1，3）， 设直线M 的解析式为y＝kx+b， ∴{ 5 2 k+b=0 k+b=3 ， 解得{ k=−2 b=5 ， ∴直线M 的函数解析式为y＝﹣2x+5； （2）设P（，0）， ∵一次函数y＝x+2 与x 轴，y 轴分别交于点，B， ∴当x＝0 时，y＝2，当y＝0 时，x＝﹣2， ∴（﹣2，0），B（0，2）， ∴P＝+2，P¿ 5 2−¿， ∴S△BP¿ 1 2P•B¿ 1 2 ×（+2）×2＝+2，S△MP¿ 1 2P×3¿ 15 4 −3 2， ∵△BP 的面积是△MP 面积的2 倍， 1 +2 ∴ ＝2×（15 4 −3 2）， 解得¿ 11 8 ， ∴P（11 8 ，0）． 【变式5-2】（2022 春•凤庆县期末）如图，直线B 过点（﹣1，5），P（2，），B（4，﹣ 5）． （1）求直线B 的函数解析式和的值； （2）求△P 的面积． 【分析】（1）根据点，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线B 的解析式，再利用 一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值； （2）设直线B 与y 轴交于点D，连接，P，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 D 的坐标，根据三角形的面积公式及S△P＝S△D+S△PD可求出△P 的面积． 【解答】解：（1）设直线B 的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（﹣1，5），B（4，﹣5）代入y＝kx+b，得：{ −k+b=5 4 k+b=−5， 解得：{ k=−2 b=3 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣2x+3． 当x＝2 时，y＝﹣2x+3＝﹣1， ∴点P 的坐标为（2，﹣1）， 即的值为﹣1． （2）设直线B 与y 轴交于点D，连接，P，如图所示． 当x＝0 时，y＝﹣2x+3＝3， ∴点D 的坐标为（0，3）． ∴S△P＝S△D+S△PD¿ 1 2D•|x|+1 2 D•|xP|¿ 1 2 ×3×1+1 2 ×3×2¿ 9 2． 1 【变式5-3】（2022•肃州区校级期中）如图，直线y＝kx+6 与x 轴、y 轴分别交于点E、 F，点E 的坐标为（﹣8，0），点的坐标为（﹣6，0）． （1）求直线EF 的关系式； （2）求△EF 的面积； （3）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，当点P