专题09 一次函数实际应用的三种考法（原卷版）

专题09 一次函数实际应用的三种考法 类型一、方问题问题 例．为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知 两城分别有水泥200 吨和300 吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20 元/吨 和25 元/吨；从 城往 两乡运送水泥的费用分别为15 元/吨和24 元/吨，现 乡需要水 泥240 吨， 乡需要水泥260 吨． (1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少 总运费． (2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往 乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【变式训练1】哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248 吨物资从 伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20 辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、 小两种货车的载重量分别是每辆16 吨和10 吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9 量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为辆，且运往绥化 的物资不少于120 吨，那么一共有多少种运送方？其中那种方运费最省钱？ 【变式训练2】某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10 张纸，其 中4 张彩色页，6 张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版 费与印数无关，价格为2200 元，印刷费与印数的关系见表． 印数（千册） 彩色（元/张） 21 2 黑白（元/张） 08 05 （1）若印制2 千册，则共需多少元？ （2）该校先印制了x 千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（ ）千册纪念册，且补 印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x 的代数式表示y． ②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？ 【变式训练3】某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下 面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数 （人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿 车 4 （1）如果单程租赁2 辆商务车和3 辆轿车共需付租金1320 元，求一辆轿车的单程租金为 多少元？ （2）某公司准备组织34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前 往．在不超载的情况下，怎样设计租车方才能使所付租金最少？ 类型二、利润问题 例．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度． 某体育用品商店抓住商机，计划购进300 套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓 球拍的套数不超过150 套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 丘乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2 套乒乓球拍和1 套羽毛球拍需花费110 元，购进4 套乒乓球拍和3 套羽毛球拍需 花费260 元． (1)求出，b 的值； (2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购 进乒乓球拍x 套，售完这批体育用品获利y 元． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元（ ）， 羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才 能获利最大？ 【变式训练1】为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙 两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8 元/kg；乙种产品的进货总金 额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种 产品的售价分别为12 元/kg 和18 元/kg． (1)求出0≤x≤2000 和x＞2000 时，y 与x 之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低 于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为元（利润＝销售额一 成本），请求出（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为 该经销商设计出获得最大利润的进货方； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的 进货方下，甲、乙两种产品售价分别降低元/kg 和2 元/kg，全部售出后所获总利润不低于 15000 元，求的最大值． 【变式训练2】某电脑经销商，今年二，三月份 型和 型电脑的销售情况，如下表所示： 型（台） 型（台） 利润（元） 二月 份 15 20 4500 三月 份 20 10 3500 （1）直接写出每台 型电脑和 型电脑的销售利润分别为____________； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100 台，其中 型电脑的进货量不超过 型电 脑的2 倍．设购进 型电脑 台，这100 台电脑的销售总利润为 元． ①求 与 的关系式； ②该商店购进 型、 型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 型 电脑60 台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使 这100 台电脑销售总利润最大的进货方． 【变式训练3】今年两会，李克强总理点赞“地摊经济”称，地摊经济、小店经济是就业 岗位的重要来源，鼓励通过线上线下一体销售．据统计，武汉王家湾夜市和虎泉夜市等多 家夜市自五一假期以来，人流量、经济流通收入同比增长 ，服装行业的增长最为迅 速．记者了解到，两家夜市主要服装进货来源是佛山和广州两家服装批发厂，其中某种服 装的进货价格如下： 佛山服装批发 厂 广州服装批发厂 虎泉夜市 15 元/件 24 元/件 王家湾夜市 18 元/件 30 元/件 虎泉夜市现需服装 件，王家湾夜市需 件，最多可从佛山服装批发厂调进 件， 剩余的则从广州服装批发厂进货，若虎泉夜市从佛山进货 件，两家夜市的进货总费用为 元． （1） (括号内写出 的取值范围)； （2）请你设计一种进货方使两家夜市的进货总费用最少，并计算此时的最少费用； （3）六月份开始，广州服装厂与两家夜市签订长期协议，对虎泉夜市进货单价统一降低 元，对王家湾夜市进货单价统一降低 元，其中 ，试求此时两家夜市最少进货总 费用 关于 的函数关系式． 类型三、行程问题 例．数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道 上有，B，三个站点，，B 两站点之间的距离是90 米（图1）．甲、乙两个机器人分别从， B 两站点同时出发，向终点行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2 是两机器人距 离站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中 为折线段． 请结合图像回答下列问题： (1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟； (2)在 时，甲的速度变为与乙的速度相同，6 分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时 的速度． ①图2 中m 的值为___________． ②请求出在 时，甲、乙两机器人之间的距离为60 米时时间t 的值． 【变式训练1】有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有、B、三点顺次在 同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、B 两点同时同向出发，历时7 分钟同时到达 点，乙机器人始终以60 米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与 他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、B 两点之间的距离是______米，甲机器人前2 分钟的速度是______米/分钟； (2)已知线段 轴，前3 分钟甲机器人的速度不变． ①求甲机器人在3～4 分钟的这段时间的速度是多少米/分？ ②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m 时x 的值______． 【变式训练2】．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所 示，队伍走了08 小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一 段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18 分钟 到达基地．如图，线段D 表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函 数关系，折线B 表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请 你根据图象信息，解答下列问题： (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米；(2) ________，B 点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3 千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通 讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 【变式训练3】， 两地相距200 千米．早上8：00 货车甲从地出发将一批物资运往 地， 行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 地联系． 地收到消息后立即派货车乙从 地出 发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上， 随后以相同的速度返回B 地，两辆货车离开各自出发地的路程 （千米）与时间 （小 时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 货车甲离开 地的时间/ 01 08 16 3 货车甲离开 地的距离/ 5 ________ 80 ________ (2)填空： ①事故地点到 地的距离为________千米；②货车乙出发时的速度是________千米/小时； ③货车乙赶到事故地点时，为____时__分；④货车乙从事故地点返回 地时间为__时__分． (3)请直接写出货车乙在整个运输过程中的路程 关于时间 的函数解析式． 课后训练 1．为了落实党的“精准扶贫”政策，、B 两城决定向、D 两乡运送肥料以支持农村生产， 已知、B 两城共有肥料500 吨，其中城肥料比B 城少100 吨，从、B 城往、D 两乡运肥料的 平均费用如下表 现乡需要肥料240 吨，D 乡需要肥料260 吨 城(出) B 城(出) 乡(人) 20 元/吨 15 元/吨 D 乡(人) 25 元/吨 30 元/吨 （1）城和B 城各多少吨肥料？ （2）设从B 城运往D 乡肥料x 吨，总运费为y 元，求y 与x 之间的函数关系，并写出自变 量x 的取值范围； （3）由于更换车型，使B 城运往D 乡的运费每吨减少元(＞0)，其余路线运费不变，若、D 两乡的总运费最小值不少于10040 元，求的最大整数值 2．武胜县白坪—飞龙乡村旅游度假村橙海阳光景点组织 辆汽车装运完 三种脐橙 共 吨到外地销售按计划， 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须 装满根据下表提供的信息，解答以下问题： 脐橙品种 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获得（元） 设装运 种脐橙的车辆数为 ，装运 种脐橙的车辆数为 ，求 与 之间的函数关系 式； 如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 辆，那么车辆的安排方有几种？ 设销售利润为 （元），求 与 之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应 采用哪种安排方？并求出最大利润的值 3．甲、乙两地相距200 千米，货车从甲地出发，行驶1 小时后在途中的丙地出现故障，技 术人员乘轿车以100 千米/小时的速度从甲地赶来维修（沟通时间忽略不计）．到达丙地修 好车后以原速原路返回，同时货车改变速度前往乙地．两车距乙地的路程 （千米）与货 车驶时间 （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题． （1）货车出现故障前后的速度分别为______、______千米/小时； （2）货车在丙地停留了______小时； （3）求图中线段 的函数关系式： （4）轿车出发后，又过了______小时，两车相距路程为40 千米．