高考数学答题技巧题型01 不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）（解析版）Word（15页）

题型01 不等式相关解题技巧 （基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式） 技法01 基本不等式链的应用及解题技巧 例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y 满足 ，则（ ） A． B． 技法01 基本不等式链的应用及解题技巧 技法02 权方和不等式的应用及解题技巧 技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 技法04 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小 比较及其相关最值求解，常以小题形式考查. 知识迁移 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用 上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. C． D． 由基本不等式链: , 可得 （ R）， 对于AB 由 可变形为， ， 解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A 错误，B 正确； 对于C 【法一】由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取 等号，所以C 正确 【法二】由 ,得 , 又因为 ,所以 ,即 . 【法三】 , 又因为 ,所以 . 【答案】：BC． 1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若 ， ， ，则下列不等式中对一切满足条件的 ， 恒成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解. 【详解】解：对A 选项： ， ， ， ，即 （当且仅当 时等号成立），故A 选项正确； 对B 选项： ，而 成立， 成立，故B 选项正确； 对C 选项： ， （当且仅当 时等号成立），故C 选项正确； 对D 选项： ，（当且仅当 时等号成立）， ，故D 选项错误. 故选：ABC. 2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若 ，则下列不等式对一切满足条件 恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用 ，求出 ，结合 的范围，利用二次函数的性质即可求得. 【详解】对于A， ，即 ，当且仅当 时等号成立，所以A 正 确； 对于B， ， ， 又 ，则 ，当且仅当 时等号成立，所以B 错误； 对于C， ， ，所以 ， 则 ，并且 时等号成立.，所以C 正确； 对于D， ，所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以D 正确. 故选：ACD. 3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得 ，结合 进行求解即可判 断D. 【详解】对于A，由 当且仅当 时等号成立，即 ，故A 错误； 对于B，由 ，得 ， 即 ， 当且仅当 时等号成立，即 ，故B 正确； 对于C，由 ，得 ， 当且仅当 时等号成立，即 ，故C 正确； 对于D，由 ，得 ， 即 ，即 ，故D 正确. 故选：BCD. 技法02 权方和不等式的应用及解题技巧 例2．（2023·浙江模拟）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．1 B． C．9 D． 因为 ，所以 由权方和不等式 可得 当且仅当 ，即 时，等号成立． 【答案】C 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到 思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解， 常在小题中使用. 知识迁移 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y 满足 ，则 的最小值是 . 【答案】 【分析】将 转化为 ，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为 ，所以 ，即 ， 因为正实数 ，所以 ， ， 所以 ， 当且仅当 等号成立. 故答案为： . 2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设 且 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】结合已知条件并由乘“1”法将 变形为 ，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为 ，所以 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以由基本不等式得 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 综上所述： 的最小值是 . 故答案为： . 3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y 满足 ，若 恒成 立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果. 【详解】已知正数 满足 , 所以 ,所以: 则: ，当且仅当 时，取等号； 要使 恒成立, 只需满足 即可, 故 . 故答案为: . 技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C． D． 【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】 ，故B 正确； 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式 及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 知识迁移 1. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 因为 ，所以有 ，故A 错误； ，故C 正确； ，故D 正确． 【答案】BCD 例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【法一】 , 又 ， 用排除法, 选 A 。 【法二】 ， 若 , 但 , 综上所述， . 【法三】 由题意可知 、 、 ， ， ； 由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ； 由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 . 综上所述， . 【答案】A 1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖，（ ， ，且 ），若再添 加c 克糖 后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式： ，称之为“糖水 不等式”，则下列命题一定正确的是（ ） A．若 ， ，则 与 大小关系不随m 的变化而变化 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】ACD 【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；作差比较即可判断B；若 ，则 ，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D. 【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若 ，则 ，故A 正确； 对于B， ，因为 ， ， 所以 ，故 ，即 ，故B 错误； 对于C，若 ，则 ， 根据“糖水不等式”， ，即 ，故C 正确； 对于D，若 ，则 ， 所以 ， 所以 ，即 ，故D 正确. 故选：ACD 2. 若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小 【答案】 【解析】 ; 故 。 3. 证明: 中, 【解析】在 中, 根据正弦定理可知: 同理可得: , 技法04 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 例4．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【法一】对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 【法二】普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水 不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 知识迁移 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 1. 比较 的大小？ 【解析】根据对数型糖水不等式得 2. 比较大小: 与 ？ 【答案】 【法一】 。 【法二】 。 【法三】对数型糖水不等式直接可得 3．（2022·安徽黄山·统考一模）下列不等式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A 选项，用分析法证明，分析出即证 ，两边平方后得到 ，即证 ， A 正确； B 选项，两边取对数后，构造 ， ，求导得到其单调性，得证； C 选项，结合正弦二倍角公式，即证 ，构造 ， ，求导后得到其单调性， 从而得到 ，C 错误； D 选项，两边取对数后即证 ，构造 ， ，求导后得到其单调性，从而证明出 ，D 正确. 【详解】要证 ，即证 ，两边平方得： ，即证 ，即证 ，显然成立，故 ，A 正确； 要证 ，两边取对数得： ，即证 ， 构造 ， ， 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 所以 ，即 ，所以 ，B 正确； 因为 ， 其中 ，要证 ，即证 ，即 ， 构造 ， ， 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增 故 ，即 ，C 错误； D 选项， 两边取对数得： ， 构造 ， ， ， 令 ， 则 在 上恒成立，故 在 上单调递增， 故 ，即 ， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增， 故 ，结论得证，D 正确. 故选：C 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出 函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中BCD 三个选项比较大小，都需要变形后，构造出适当 函数进行比较大小.