模型21 勾股定理——直角三角形锐角平分线模型-解析版

勾股定理 模型（二十一）——直角三角形锐角平分线模型 ◎结论：如图，Rt△B，∠B=90°，＝6，B＝8，P 是∠B 的角平分线，求P 的长 解：如图， 在Rt△B 中，由勾股定理可知B＝10， 过P 作PD⊥B 于D，可知△P 与△DP 全等，得＝D＝6，DB＝B－D＝4， 在直角三角形PBD 中，，设P＝X,则PD＝X，PB＝8-X，由勾股定理得X＝3，所 以P＝4 角平分线的性质： 1 由角平分线可以得两个相等的角。 2 角平分线上的点到角两边的距离相等。 3 三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三 边的距离相等。 4 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 1．（2021·河南·南阳市第九中学校八年级阶段练习）如图， 中， ， 平分 ，把 沿 折叠使点落在 处，若 ， ，求 的长． 【答】 【分析】利用勾股定理列式求出 ，根据翻折变换的性质可得 ， ，然后求出 ，设 ， 表示出 ，然后利用勾股定理列方程求解即可求出 ． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， 由翻折变换的性质得， ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得 ，即 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 2．（2022·山东·宁津县第四实验中学八年级期中）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点 落在 边的 处， 是折痕．已知 ， ，求 的长． 【答】 【分析】根据矩形和折叠的性质可知 ， ， ．由勾股定理可求出 ，从而可求出 ．设 ，则 ，在 中，利用 勾股定理可列出关于x 的等式，解出x，即可求出结果． 【详解】解： 四边形 为长方形， ， ， ． 又 是由 折叠得到， ， ， ． 在 中， ， ． 设 ，则 ， 在 中， ，即 ， 解得 ， 即 ． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 3．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，长方形 ，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片， 为原点， 点 在 轴上，点 在 轴上， ，在B 上取一点M 使得△BM 沿M 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B′ 点， (1) 点的坐标； (2)求折痕 所在直线的表达式； (3)求折痕 上是否存在一点 ，使 最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 【答】(1) （8，0）； (2) (3)存在，最小值是 【分析】（1）在Rt△ 中，求出 即可得答； （2）在Rt△ 中，求出M 可得M 坐标，从而可以求M 所在直线的解析式； （3）连接B，B 与M 交点即为所求点P，连接PB'，根据△BM 沿M 翻折后，点B 落在B'点，知P+ ，，用股股定理即可求出 的最小值为 ． （1） 解：∵四边形B 是长方形，＝10， ∴B＝＝10， ∵△BM 沿M 翻折， ∴ ＝B＝10， 在Rt△B′中，B′＝10，＝6， ∴ ＝ ， ∴ （8，0）， 故答为：（8，0）； （2） 解：设M＝x，则BM＝B﹣M＝6﹣x， ∵＝10，B′＝8， ∴ ＝2， ∵△BM 沿M 翻折， ∴ M＝BM＝6﹣x， 在Rt△ M 中， ， ∴ ，解得x＝ ， ∴M（10， ）， 设M 所在直线的解析式为y＝kx+b，将（0，6）、M（10， ）代入得： ，解得k＝﹣ ，b＝6， ∴M 所在直线的解析式为y＝﹣ x+6； （3） 解：折痕M 上存在一点P，使P+PB'最小，连接B，B 与M 交点即为所求点P，连接PB'，如下图， ∵△BM 沿M 翻折后，点B 落在B'点， ∴PB=PB'， ∴P+ ， 当、P、B 共线时，P+PB'最小， ∵ ， ∴P+PB'的最小值为 ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、长方形中的折叠、最短距离等知识，掌握折叠的性质 以及熟练运用勾股定理是解题的关键． 1．（2022·北京·首都师大二附八年级期中）如图，在 中， ，现将它折叠，使点 与 重合，求折痕 的长． 【答】 【分析】由折叠的性质，可得： ，BD=D，由勾股定理可求得B=4，在Rt△D 中，由勾股 定理建立方程可求得D，再由勾股定理即可求得DE 的长． 【详解】解：由折叠的性质可得： ，BD=D， ， ∵ ， ∴ ， ∴D=B－BD=4－D； 在Rt△D 中，由勾股定理得： ， 解得： ， 在Rt△DE 中，由勾股定理得： ． 答：折痕 的长为 ． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系，关键是通过勾股定理建立方程 求得D 的长． 2．（2022·山东省平邑赛博中学八年级期中）在 中， ， ， ， ， 分别是 和 上的点，把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ． (1)如图1，如果点 恰好与顶点 重合，求 的长； (2)如图2，如果点 恰好落在直角边 的中点上，求 的长． 【答】(1) ； (2) ． 【分析】（1）利用勾股定理求出B 的长，再利用翻折得到E=BE，在 中利用勾股定理即可求出 的长； （2）点 是直角边 的中点，可以得到 的长度，再利用翻折得到 =BE，在 中利用勾股定理即 可求出 的长． （1） 解：在 中， ， ， ∴ 根据折叠的性质， ∴ ∴E=BE 设 为x，则：E=BE =8-x 在 中： 解得：x= 即 的长为： ． （2） 解：∵点 是直角边 的中点 ∴ = 根据折叠的性质， ∴ ∴ =BE 设 为x，则： =BE =8-x 在 中： 解得：x= 即 的长为： ． 【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键； 在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题． 3．（2022·湖北·来凤县实验中学八年级期中）如图， 为矩形纸片 的 边上一点，将纸片沿 向上折叠， 使点 落在 边上的 点处．若 ， ，求 的长． 【答】 【分析】根据折叠的性质可以得到EF＝BE，F＝B＝10，根据勾股定理可得DF＝8，求得F＝2，再在Rt△EF 中， 根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：∵将矩形BD 沿E 向上折叠，使点B 落在D 边上的F 点处，B＝10， ∴EF＝BE，F＝B＝10， 在矩形BD 中，D＝B＝10，B＝D＝6，∠D＝∠＝90°， ∴在Rt△DF 中，DF＝ ， ∴F＝2， 在Rt△EF 中， ， ∵EF＝BE＝6－E， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对 称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 4．（2022·河南·延津县清华学校八年级阶段练习）如图，在长方形纸片BD 中，B=3，D=9，将其折叠，使点D 与 点B 重合，折痕为EF， (1)求证：BE=BF； (2)求BE 的长． 【答】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得 ，根据等角对等边即可得出结论； （2）在Rt△BE 中， ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． （1） 在长方形BD 中， ， ∴ ， 由折叠可知， ， ∴ ， ∴ ； （2） 在长方形BD 中， ，由折叠知 ， 设 ，那么 ， 在Rt△BE 中， ， 即 ． 解得 ，即 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 1．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片 折叠，使点B 与点D 重合，点落在点P 处，折痕为 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)证明见解析 (2) m 【分析】（1）利用S 证明即可； （2）过点E 作EG⊥B 交于点G，求出FG 的长，设E=xm，用x 表示出DE 的长，在Rt△PED 中，由勾股定理求得 答． （1） ∵四边形BD 是矩形， ∴B=D，∠=∠B=∠D= =90° ∠ ， 由折叠知，B=PD，∠=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=D，∠P=∠，∠PDF =∠D， ∴∠PDF-∠EDF=∠D-∠EDF, ∴∠PDE=∠DF， 在△PDE 和△DF 中， , ∴ （S）； （2） 如图，过点E 作EG⊥B 交于点G， ∵四边形BD 是矩形, ∴B=D=EG=4m， 又∵EF=5m，∴ m, 设E=xm， ∴EP=xm， 由 知，EP=F=xm， ∴DE=G=GF+F=3+x， 在Rt△PED 中， , 即 ， 解得， ， ∴B=BG+G= (m）． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题 转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键． 2．（2015·湖南湘潭·中考真题）如图，在Rt B △ 中，∠=90°，△D 沿D 折叠，使得点落在斜边B 上的点E 处． （1）求证：△BDE B ∽△； （2）已知=6，B=8，求线段D 的长度． 【答】（1）证明见试题解析；（2） ． 【分析】（1）由折叠的性质可知∠=∠ED=90°，因为∠DEB=∠，∠B=∠B 证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知D=DE，=E．在Rt△BDE 中运用勾股定理求DE，进而得出D 即可． 【详解】（1）∵∠=90°，△D 沿D 折叠， = ∴∠∠ED=90°， ∴∠DEB= =90° ∠ ， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△B； （2）由勾股定理得，B=10， 由折叠的性质知，E==6，DE=D，∠ED= =90° ∠ ， ∴BE=B﹣E=10 6=4 ﹣ ， 在Rt△BDE 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得：D=3， 在Rt△D 中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得：D= ． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键