九下专题02 反比例函数与一次函数综合（教师版）

专题02 反比例函数与一次函数综合 类型一、解不等式 例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DB 是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，若反比 例函数y= (x＞0)的图象经过线段的中点，交D 于点E，交B 于点F．设直线EF 的解析式 为y=k2x+b． (1)求反比例函数和直线EF 的解析式； (2)求△EF 的面积； (3)请直接写出不等式k2x+b﹣ ＜0 的解集． 【答】(1)直线EF 的解析式为y=- x+5 (2) (3) 或x>6 【解析】(1)∵四边形DB 是矩形，且D(0，4)，B(6，0)， ∴点坐标为(6，4)， ∵点为线段的中点， ∴点坐标为(3，2)， ∴k1=3×2=6， ∴反比例函数解析式为y= ； 把x=6 代入y= ，得y=1，则F 点的坐标为(6，1)， 把y=4 代入y= ，得x= ，则E 点坐标为( ，4)， 把F、E 的坐标代入y=k2x+b 得 ，解得 ， ∴直线EF 的解析式为y=- x+5； (2) 的面积=S 矩形BD-S△DE-S△BF-S△EF = = ． (3)结合函数图象，写出直线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围， 即可得到不等式k2x＋b－ <0 的解， 因为E 点坐标为( ，4)，F 点的坐标为(6，1)，则k2x＋b－ <0 解是： 或x>6． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴负半轴上， 且点 的坐标为 ， ，将 沿着 翻折得到 ，点 的对应点 恰好落在反比例函数 的图象上，一次函数 的图象经过点 ， ． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当 时，不等式 的解集． 【答】(1)反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 ；(2) 【解析】(1)解：如图，过点 作 轴于点 ， 在 中， ， ， ， 由翻折可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ， 将点 的坐标代入反比例函数的解析式可得 ，解得 ， 故反比例函数的解析式为 ； 将点 ， 的坐标代入一次函数的解析式可得 ，解得 ， 故一次函数的解析式为 ； (2) 解：联立得 ，解得 或 ， 点 的坐标为 ． 由图象可得当 时，不等式 的解集为 ． 【变式训练2】如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点 和 ，与 轴交于点 ． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)在 轴上求一点 ，当 的面积为3 时，则点 的坐标为______． (3)将直线 向下平移2 个单位后得到直线 ，当函数值 时，求 的取值范围． 【答】(1) ， ；(2) 或 ；(3) 或 【解析】解：∵ 过点 ， ∴ ， 即反比例函数解析式为 ， 当 时， ，即 ， ∵ 过 和 ， 可得 ，解得 ， ∴一次函数解析式为 ； (2)如下图，设点P 为一次函数 与x 轴的交点， 当 时，有 ， ∴点P 的坐标为(-1，0)， 设点的坐标为(，0)，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得 或 ， ∴点的坐标为 或 ．故答为： 或 ； (3)如图，设 与 的图像交于 、 两点， ∵ 向下平移两个单位得 ，且 ， ∴ ， 将直线 解析式与反比例函数解析式联立， 得 ，解得 或 ， ∴ ， ， 在、 两点之间或B、 两点之间时，存在 ， ∴当函数值 时， 的取值范围为 或 ． 类型二、交点问题 例1．已知：如图1，点 是反比例函数 图象上的一点． (1)求 的值和直线 的解析式； (2)如图2，将反比例函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后，与 轴交于点 ， 求线段 的长度； (3)如图3，将直线 绕原点 逆时针旋转 ，与反比例函数 的图象交于点 ， 求点 的坐标． 【答】(1) ； ；(2)4；(3) 【解析】解：把点(4，)代入 ，得 ； 设直线为 ，把 代入，得 4k=2,解得： ， ∴直线的解析式为 ； (2) 如图1，将y 轴顺时针旋转45°，交 的图象于点， 则M＝， 直线的解析式为y = x， 由 ，解得： 或 (舍去) ∴点( ) ∴M＝＝ ； (3) 解：如图2，作点关于直线B 的对称点1， 则=1，1⊥B， 作1⊥y 轴于点，作D⊥x 轴于点D， 易证 ， ∴=D，1=D， ∵的坐标为(4，2)， ∴ 的坐标为 ， ∴直线1的解析式为： ， ∴直线B 的解析式为： ， 由 ，解得 或 (负解舍去) ∴点 ． 例2．如图，矩形BD 的顶点在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴，D 在第二象限，在第一象限， D 交y 轴于点M．△BD 沿直线BD 翻转，点恰好落在y 轴的点E 处，BE 交D 于点F．EM ＝3，DM＝4．双曲线过点． (1)分别求出直线BE 和双曲线的解析式； (2)把直线BE 向上平移个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求的值． 【答】(1) ； ；(2) 【解析】解：∵四边形BD 是矩形， ∴ ． ∵矩形BD 的顶点在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴，D 在第二象限，在第一象限，EM＝3， DM＝4，如图， ∴ 轴， ∴在 中， ． 由折叠的性质可得 ， ． ∵在矩形BD 中， ， 又 ， ∴四边形MD、四边形MB 都是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 设 ， 则 ． ∵在 中， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， ． 设直线BE 的解析式为 ， 把点 和点 的坐标代入得 ， 解得 ， ∴直线BE 解析式为： ； 设反比例函数解 ， 把点 代入得 ， ∴双曲线的解析式为： ； (2) 解：根据(1)得直线BE 向上平移个单位长度所得的直线为 ， 将它代入双曲线解析式得 ， 整理得 ． ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 解得 ， (不符合题意舍去)， 故的值为 ． 例3 在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x 与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点(2，)． (1)＝ ，k＝ ； (2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，)为射线上一点，过点P 作x 轴，y 轴的垂 线，分别交函数y＝ (x＞0)的图象于点B，．由线段PB，P 和函数y＝ (x＞0)的图象在点 B，之间的部分所围成的区域(不含边界)记为．利用函数图象解决下列问题： ①若P＝，则区域内有 个整点； ②若区域内恰有5 个整点，求m 的取值范围． 【答】(1)3；6；(2)①5 ② 或 【解析】解：∵直线l：y＝ x 与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点(2，)， ∴＝ ×2＝3， ∴点(2，3)， ∵反比例函数y＝ 过点， ∴k＝3×2＝6． 故答为：3；6． (2) ①∵点P 为射线上一点，且P＝， ∴为P 中点， ∵(2，3)， ∴点P 的坐标为(4，6)， 将x＝4 代入y＝ 中，得y＝ ， 将y＝6 代入y＝ 中，得x＝1， ∵PB，P 分别垂直于x 轴和y 轴， ∴B(4， )，(1，6)， 如图所示： 结合函数图象可知，区域内有5 个整点， 故答为：5； ②当点P 在点下方时，如图， 结合函数图象可知，当 ≤m＜1 时，区域内有5 个整点； 当点P 在点上方时，如图， 结合函数图象可知，当 ＜m≤4 时，区域内有5 个整点； 综上所述：当 ＜m≤4 或 ≤m＜1，区域内有5 个整点． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l 与反比例函数 的图像交于点(， 4－)点B(b，4－b)，其中 ，与坐标轴的交点分别是、D． (1)求 的值； (2)求直线l 的函数表达式 (3)若 ，过点 作平行于x 轴的直线与直线B 和反比例函数 的图象分别 交于点E、F． ①当 时，求t 的取值范围． ②若线段EF 上横坐标为整数的点只有1 个(不包括端点)，直接写出t 的取值范围． 【答】(1) ；(2) ；(3)① ；② 或 【解析】解： 直线与反比例函数 的图象交于点 ，点 ， ， ， ， ， ， ； (2) 设直线的解析式为 ，把 ，点 代入得， ， 解得， ， 直线的解析式为 ； (3) ①当 时， ， ， 反比例函数的解析式为： ， 令 ，解得 或 ， ． 过点 ， 作平行于 轴的直线与直线 和反比例函数 的图象分别交于点 、 ， ， ， ， 当 时，点 在点 的左侧， ，整理得 ，方程恒成立； 当 或 时， ， 重合，则 ； 当 或 时， ， 整理得， ，解得 ， 或 ， 综上，当 时，的取值范围为： ． ②如图，作直线 ， ， ， ，分别与反比例函数交于点 ， ， ， ， ， ， ， ． 由图可知，若线段 上横坐标为整数的点只有1 个(不包括端点)，则的取值范围为： 或 ． 类型三、定值、最值问题 例1．如图1，在平面直角坐标系中，点 绕原点顺时针旋转 至点B，恰好落在 反比例函数 的图像上，连接，B，过点B 作 轴交于点，点 是第一象限 内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若 ，求P 的坐标； (3)如图2，连接P 并延长交双曲线于 ，平面内有一点 ，PQ 与G 的 延长线交于点； ①若 ，求点的坐标； ②当 时，记的坐标为 ，试判断 是否为定值？若为定值，求出该值； 若不为定值，说明理由． 【答】(1) ；(2)点P 的坐标为(1，2)或 (3)①点(0，5)；②(+2)(b-4)=2，为定值． 【解析】解：过点作⊥x 轴于点，如图所示： 则∠=90°， ∠ ∴ +∠=90°， ∵B⊥x 轴， ∠ ∴ B=90°， ∠ ∴ =∠B， ∵点(-1，2)绕原点顺时针旋转90°至点B， ∴=B，∠B=90°，=2，=1， ∠ ∴ +∠B=90°， ∠ ∴ =∠B， △△ ∴≌B(S)， ∴==2，B==1， ∴点B 坐标为(2，1)， 将点B 坐标代入反比例函数 ， 得k=2×1=2， ∴反比例函数解析式： ； (2) 设点P 坐标为(p， )， 则S△P＝ ×2× = ， 当点P 在点B 左侧的双曲线上， S△PB＝ ×1×(2−p) ， ∵S△P=4S△PB， ∴ =4× ， 解得p1=p2=1， ∴点P 坐标为(1，2)； 当点P 在点B 右侧的双曲线上， S△PB＝ ×1×(p−2)= ， ∵S△P=4S△PB， ∴ =4× ， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴点P 坐标为 ， ∴符合条件的点P 坐标为(1，2)或 ； (3) ①当m=2 时， 根据题意，可得m=2， 即2=2， ∴=1， ∴点P 坐标为(2，1)，点G 坐标为(-2，-1)，点Q 坐标为(1，3)， 设直线G 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将点和点G 坐标代入解析式， 得 ， 解得 ， ∴直线G 的解析式为y=3x+5， 设直线PQ 的解析式为 ， 将点P 和点Q 坐标代入解析式， 得 ， 解得 ， ∴直线PQ 的解析式为y=-2x+5， 联立 ， 解得 ， ∴点坐标为(0，5)； ②(+2)(b-4)是定值， ∵P(m，)，G(-m，-)，(-1，2)，Q(m-1，+2)， 设直线G 的解析式为y=dx+(d≠0)， 代入点和点G 的坐标，得 ，解得 ，∴直线G 的解析式为 ， 设直线PQ 的解析式为y=ex+f(e≠0)， 代入点P 和点Q 坐标，得 ，解得 ，∴直线PQ 的解析式为 y=-2x+2m+， 联立 ，解得 ，∴点(m-2，+4)， ∵记的坐标为(，b)，∴=m-2，b=+4，∴(+2)(b-4)=m， ∵点P(m，)是第一象限内双曲线上一动点，∴m=2， ∴(+2)(b-4)=2． 例2．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称 点为点 ． (1)点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接 、 ，若四边形 为正方形． ①求 、 的值； ②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标． 【答】(1)点 在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)① ， ；②点 的坐标为 【解析】解：点 在这个反比例函数的图像上． 理由如下： 一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ， 设点 的坐标为 ， 点 关于直线 的对称点为点 ， ， 平分 ， 连接 交 于 ，如图所示： ， 轴于 ， 轴， ， ， ， ， 在Rt 中， ， ， 为 边 上的中线，即 ， ， ， ， 点 在这个反比例函数的图像上； (2) 解：① 四边形 为正方形， ， 垂直平分 ， ， 设点 的坐标为 ， ， ， ， (负值舍去)， ， ， 把 ， 代入 得 ， ； ②延长 交 轴于 ，如图所示： ， ， 点 与点 关于 轴对称， ，则点 即为符合条件的点， 由①知， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ，即 ，故当 最大时，点 的坐标为 ． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数 ( )， ( ， )， ． (1)若 与 相交于点 ①求 与 的值； ②结合图像，直接写出 时 的取值范围； (2)在 轴上有一点 且 ，过点 作 轴平行线，分别交 、 、 于点 、 、 ，经计算发现，不论 取何值， 的值均为定值，请求出此定值和点 的坐标． 【答】(1)①m 的值为-2，k 的值为-4．②0＜x＜2． (2) =6，点B 的坐标为(1，3) 【解析】解：(1)①∵y2与y3图象相交于点(2，m)， ∴把(2，m)分别代入 和 ， 得 ，解得 ． ∴m 的值为-2，k 的值为-4． ② ，y3=-4x+6，(2，-2)， 根据图象可知，y2＜y3时，0＜x＜2． (2) ∵P(，0)，＞0， ∴ ∴ ， B-BD ． ∵不论k 取何值，B-BD 的值均为定值， ∴ ， 解得=1 或=-1(舍去)． ∴此定值为6，点B 的坐标为(1，3)． 【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数 的坐标三角形(也称为直线的坐标三角形)．如图，一次函数y=kx-7 的图像与x、y 轴分别交 于点、B，那么 为此一次函数的坐标三角形(也称为直线B 的坐标三角形)． (1)如果点在x 轴上，将 沿着直线B 翻折，使点落在点 上，求直线B 的坐标 三角形的面积； (2)如果一次函数y=kx-7 的坐标三角形的周长是21，求k 值； (3)在(1)(2)条件下，如果点E 的坐标是 ，直线B 上有一点P，使得 周长最小， 且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式． 【答】(1)84 (2) (3) 【解析】(1)∵将 代入 ，得： ， ∴点B(0，-7)， ∴ ， 又∵点D(0，18)，即 ， ∴ ， 由翻折的性质可得： ， 在Rt△B 中，由勾股定理可得： ， ∴直线B 的坐标三角形的面积 ； (2) 设 ， ， ∵在Rt△B 中，由勾股定理可得： ，即 ， 解得： ， ∴点( ，0)， ∵将点( ，0)代入 ，得： ， ∴ ， (3) 如图，连接E 交B 于点P， ∵点与点D 关于直线B 对称， ∴ ， ∴ ， ∴当点P、、E 在一条直线上时， 有最小值， 又∵DE 的长度不变， ∴当点P、、E 在一条直线上时，△DPE 的周长最小， 设直线E 的解析式 ， 将点(-24，0)、E(0，8)代入上式，得： ， 解得： ， ∴直线E 的解析式 ， 联立 ， 解得： ， ∴点P(-9，5)， 设反比例函数解析式为 ， ∴ ， ∴反比例函数解析式为 ．