九下专题02 反比例函数与一次函数综合（学生版）

专题02 反比例函数与一次函数综合 类型一、解不等式 例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DB 是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，若反比 例函数y= (x＞0)的图象经过线段的中点，交D 于点E，交B 于点F．设直线EF 的解析式 为y=k2x+b． (1)求反比例函数和直线EF 的解析式； (2)求△EF 的面积； (3)请直接写出不等式k2x+b﹣ ＜0 的解集． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴负半轴上， 且点 的坐标为 ， ，将 沿着 翻折得到 ，点 的对应点 恰好落在反比例函数 的图象上，一次函数 的图象经过点 ， ． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当 时，不等式 的解集． 【变式训练2】如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点 和 ，与 轴交于点 ． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)在 轴上求一点 ，当 的面积为3 时，则点 的坐标为______． (3)将直线 向下平移2 个单位后得到直线 ，当函数值 时，求 的取值范围． 类型二、交点问题 例1．已知：如图1，点 是反比例函数 图象上的一点． (1)求 的值和直线 的解析式； (2)如图2，将反比例函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后，与 轴交于点 ， 求线段 的长度； (3)如图3，将直线 绕原点 逆时针旋转 ，与反比例函数 的图象交于点 ， 求点 的坐标． 例2．如图，矩形BD 的顶点在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴，D 在第二象限，在第一象限， D 交y 轴于点M．△BD 沿直线BD 翻转，点恰好落在y 轴的点E 处，BE 交D 于点F．EM ＝3，DM＝4．双曲线过点． (1)分别求出直线BE 和双曲线的解析式； (2)把直线BE 向上平移个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求的值． 例3 在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x 与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点(2，)． (1)＝ ，k＝ ； (2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，)为射线上一点，过点P 作x 轴，y 轴的垂 线，分别交函数y＝ (x＞0)的图象于点B，．由线段PB，P 和函数y＝ (x＞0)的图象在 点B，之间的部分所围成的区域(不含边界)记为．利用函数图象解决下列问题： ①若P＝，则区域内有 个整点； ②若区域内恰有5 个整点，求m 的取值范围． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l 与反比例函数 的图像交于点(， 4－)点B(b，4－b)，其中 ，与坐标轴的交点分别是、D． (1)求 的值； (2)求直线l 的函数表达式 (3)若 ，过点 作平行于x 轴的直线与直线B 和反比例函数 的图象分别 交于点E、F． ①当 时，求t 的取值范围． ②若线段EF 上横坐标为整数的点只有1 个(不包括端点)，直接写出t 的取值范围． 类型三、定值、最值问题 例1．如图1，在平面直角坐标系中，点 绕原点顺时针旋转 至点B，恰好落在 反比例函数 的图像上，连接，B，过点B 作 轴交于点，点 是第一象限 内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若 ，求P 的坐标； (3)如图2，连接P 并延长交双曲线于 ，平面内有一点 ，PQ 与G 的 延长线交于点； ①若 ，求点的坐标； ②当 时，记的坐标为 ，试判断 是否为定值？若为定值，求出该值； 若不为定值，说明理由． 例2．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称 点为点 ． (1)点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接 、 ，若四边形 为正方形． ①求 、 的值； ②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数 ( )， ( ， )， ． (1)若 与 相交于点 ①求 与 的值； ②结合图像，直接写出 时 的取值范围； (2)在 轴上有一点 且 ，过点 作 轴平行线，分别交 、 、 于点 、 、 ，经计算发现，不论 取何值， 的值均为定值，请求出此定值和点 的坐标． 【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数 的坐标三角形(也称为直线的坐标三角形)．如图，一次函数y=kx-7 的图像与x、y 轴分别交 于点、B，那么 为此一次函数的坐标三角形(也称为直线B 的坐标三角形)． (1)如果点在x 轴上，将 沿着直线B 翻折，使点落在点 上，求直线B 的坐标 三角形的面积； (2)如果一次函数y=kx-7 的坐标三角形的周长是21，求k 值； (3)在(1)(2)条件下，如果点E 的坐标是 ，直线B 上有一点P，使得 周长最小， 且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．