第20讲 图形的相似与位似（练习）（解析版）

第20 讲 图形的相似与位似 目 录 题型01 成比例线段 题型02 图上距离与实际距离 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 题型04 利用比例的性质求未知数的值 题型05 利用比例的性质求代数式的值 题型06 理解黄金分割的概念 题型07 黄金分割的实际应用 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误 题型09 平行线分线段成比例（型） 题型10 平行线分线段成比例（X 型） 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线 题型14 理解相似图形的概念 题型15 相似多边形 题型16 相似多边形的性质 题型17 位似图形的识别 题型18 判断位似中心 题型19 根据位似的概念判断正误 题型20 求两个位似图形的相似比 题型21 画已知图形放大或缩小倍后的位似图形 题型22 求位似图形的坐标 题型23 求位似图形的线段长度 题型24 在坐标系中求位似图形的周长 题型25 在坐标系中求位似图形的面积 题型01 成比例线段 1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ） ．4，1，3，8 B．3，4，5，6 ．4，8，3，5 D．15，5，6，2 【答】D 【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可 【详解】解：．∵4:1≠3:8， 4 ∴，1，3，8 不是成比例线段，不符合题意； B．∵ 3:4≠5:6， 3 ∴，4，5，6 不是成比例线段，不符合题意； ．∵4:8≠3:5， 4 ∴，8，3，5 不是成比例线段，不符合题意； D．∵ 15:5=6:2， 15 ∴ ，5，6，2 是成比例线段，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段、b、、d 满足a:b=c:d，则线段、b、、d 成比例，熟练 掌握成比例线段的定义是解题的关键． 2．（2022·浙江·统考一模）已知线段a=❑ √5+1，b=❑ √5−1，则，b 的比例中项线段等于 ． 【答】2 【分析】设线段x 是线段，b 的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之 积求解即可得出答． 【详解】解：设线段x 是线段，b 的比例中项， ∵a=❑ √5+1，b=❑ √5−1， ∴a x = x b ， ∴x 2=ab=(❑ √5+1)(❑ √5−1)=5−1=4， ∴x=±2． ∵x>0， ∴x=−2舍去， 故答为：2． 【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若a x = x b ，则x是a,b的比例中项”是解本题的关键． 3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知线段a=3,b=2,c=4，则b，，的第四比例项d=¿ ． 【答】6 【分析】根据题意，列出比例式，根据比例的基本性质，即可得出第四比例项． 【详解】解：根据第四比例项的概念，得 b a= c d ，d=ac b =3×4 2 =6， 故答为：6． 【点睛】本题考查了比例线段，理解第四比例项的概念，一定要注意顺序．熟练根据比例的基本性质进行 计算． 题型02 图上距离与实际距离 4．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100 平方厘米， 图纸上某条边的长度为5 厘米经测量，这条边的实际长度为20 米，则这块草坪的实际面积为 平方米 【答】160 【分析】首先设这块草坪的实际面积是xm2，根据比例尺的性质，即可得方程100 x =( 5 2000) 2 ，解此方程即 可求解． 【详解】解：设这块草坪的实际面积是xm2． 根据题意得：100 x =( 5 2000) 2 ， 解得：x=1600000， 经检验，x=1600000 是方程的根，且符合题意， ∴这块草坪的实际面积为：1600000m2=160m2， 故答为：160． 【点睛】此题考查了比例尺的性质，相似图形的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意 列方程，注意统一单位． 5．（2019·辽宁抚顺·统考三模）已知、B 两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，这 幅地图的比例尺为 ． 【答】1：1000． 【分析】根据比例尺的定义求解． 【详解】这幅地图的比例尺为2：2000＝1：1000． 故答为：1：1000． 【点睛】此题考查了比例线段，解题关键在于掌握其定义． 6．（2020·江苏淮安·统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24 cm，面积 是20cm 2，求这个区域的实际周长和面积． 【答】周长480m，面积8000 m2 【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】设实际周长是xcm，则： 24: x=1:20， 解得：x=480(cm)； 面积之比等于相似比的平方，设实际面积是y平方厘米，则： 20: y=(1:20) 2， 解得：y=8000(c m 2) ． 【点睛】本题考查了比例线段，相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面 积之比等于相似比的平方． 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 7．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如果2022a=2023b，则下列式子正确的是（ ） ． a 2023= b 2022 B．a b=2022 2023 ． a 2022=2023 b D． a 2023=2022 b 【答】 【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：．由2022a=2023b，得 a 2023= b 2022，则正确，故符合题意． B．由2022a=2023b，得a b=2023 2022，则B 错误，故B 不符合题意． ．由2022a=2023b，得 a 2023= b 2022，则错误，故不符合题意． D．由2022a=2023b，得 a 2023= b 2022，则D 错误，故D 不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键． 8．（2021·上海嘉定·统考一模）如果实数，b，，d 满足a b= c d ，下列四个选项中，正确的是（ ） ．a+b b =c+d d B．a a+b= c c+d ．a+c b+d = c d D．a 2 b =c 2 d 【答】 【分析】根据比例的性质选出正确选项． 【详解】选项正确，∵a b +1= c d +1，∴a+b b =c+d d ； B 选项，当a+b=0或c+d=0时， 不成立； 选项，当b+d=0时，不成立； D 选项不成立，例如：当1 2= 2 4 时，1 2 2 ≠2 2 4 ； 故选：． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 9．（2019·上海奉贤·校联考一模）已知线段、b，如果：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ） ．+b＝7 B．5=2b ．a+b b =7 2 D．a+5 b+2=1 【答】 【分析】根据比例的性质判断即可； 【详解】解：、当＝10，b＝4 时，：b＝5：2，但是+b＝14，故本选项错误，不符合题意； B、由：b＝5：2，得2＝5b，故本选项错误，不符合题意； 、由：b＝5：2，得a+b b =7 2，故本选项正确，符合题意； D、由：b＝5：2，得a+5 b+2=5 2，故本选项错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键． 题型04 利用比例的性质求未知数的值 10．（2021·江苏盐城·统考二模）已知线段，b，，其中是和b 的比例中项，＝4，b＝9，则=（ ） ．4 B．6 ．9 D．36 【答】B 【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c． 【详解】解：根据比例中项的概念，得c 2=ab=36，c=±6， 又线段不能是负数，−6应舍去，取c=6， 故选：B． 【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不 能是负数． 11．（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考一模）若a:b:c=2:3:7，且a−b+3=c−2b，则值为何？ （ ） ．7 B．63 ．21 2 D．21 4 【答】 【分析】先设a=2 x ,b=3 x ,c=7 x，再由a−b+3=c−2b得出x 的值，最后代入c=7 x即可． 【详解】解：设a=2 x ,b=3 x ,c=7 x， ∵a−b+3=c−2b， ∴2 x−3 x+3=7 x−6 x， 解得x=3 2， ∴c=7× 3 2=21 2 ， 故选：． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是根据题意设a=2 x ,b=3 x ,c=7 x． 12．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）若（3﹣2x）：2＝（3+2x）：5，则x＝ ． 【答】x= 9 14 【分析】由两内项之积等于两外项之积进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，2（3＋2x）＝5（3﹣2x）， 解得x＝9 14 ． 【点睛】本题考查了比例的性质， 正确掌握内外项积的关系是解题的关键． 13．（2022·江苏淮安·统考一模）已知a 6=b 5 = c 4 ，且a+b−2c=6，求a值． 【答】12 【分析】直接利用已知比例式假设出，b，的值，进而利用+b-2=6，得出答． 【详解】解：设a 6=b 5 = c 4 =k， ∴a=6 k，b=5k，c=4 k， ∵a+b−2c=6， ∴6 k+5k−8k=6， ∴k=2， ∴a=6 k=12， ∴a的值为12． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题的关键． 题型05 利用比例的性质求代数式的值 14．（2022·安徽合肥·校考二模）已知、b、为非零实数，且满足b+c a =a+b c =a+c b =k，则一次函数y＝ kx＋（1＋k）的图像一定经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】B 【分析】此题要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，然后求出k，就知道函数图象经过的象限． 【详解】解：分两种情况讨论： 当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得：k=2(a+b+c) a+b+c =2，此时直线是y=2 x+3，过第一、二、 三象限； 当a+b+c=0时，即a+b=−c，则k=−1，此时直线是y=−x，直线过第二、四象限． 综上所述，该直线必经过第二象限． 故选：B． 【点睛】 本题考查一次函数的图象与性质，解题关键分情况求k 的值，能够根据k，b 的符号正确判断直线所经过的 象限． 15．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知m n =1 3，则m m+n=¿ ． 【答】1 4 【分析】根据等式的性质，可用m表示n，根据分式的性质，可得答． 【详解】解：由m n =1 3，得n=3m． ∴ m m+n= m m+3m= 1 4 ， 故答为：1 4 ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出n=3m是解题关键． 16．（2022·四川成都·统考二模）已知x 2= y 3 = z 4 ≠0，则xy+ yz zx 的值是 ． 【答】9 4 【分析】根据x 2= y 3 = z 4 ≠0设x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k 代入xy+ yz zx ，即可求出答． 【详解】解：设x=2k，y=3k，z=4k， 所以xy+ yz zx = 2k ·3k+3k ·4 k 4 k ·2k =6k 2+12k 2 8k 2 =18k 2 8k 2 = 9 4 ， 故答为：9 4 ． 【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 17．（2021·山东滨州·统考三模）计算： (1)已知关于x，y 的多项式xy 3 ﹣x2 2 ﹣xy﹣bx2+y 中不含二次项，求(+b)2021的值． (2)若x 3 = y 4 = z 5，求x 2−3 xy+2 z 2 3 x 2+2 xy−z 2的值； (3)解分式方程2 x−2 + x 2−x =2． 【答】(1)－1 (2)23 26 (3)无实数解 【分析】（1）合并同类项，让二次项的系数为0，求得,b 的值，再求(+b)2021； （2）设x 3 = y 4 = z 5=¿k，代入计算即可． （3）去分母解分式方程，并验根即可； 【详解】（1）∵xy 3 ﹣x2 2 ﹣xy﹣bx2+y ＝（﹣3x2﹣bx2）+（xy 2 ﹣xy）+y ＝（﹣3﹣b）x2+（﹣2）xy+y 又∵关于x、y 的多项式xy 3 ﹣x2 2 ﹣xy﹣bx2+y 中不含二次项， 3 ∴﹣﹣b＝0，﹣2＝0， 解得：b＝﹣3，＝2， 则（+b）2021＝（﹣3+2）2021＝﹣1； （2）设x 3 = y 4 = z 5=¿k， ∴x＝3k，y＝4k，z＝5k， ∴x 2−3 xy+2 z 2 3 x 2+2 xy−z 2 ¿ (3k ) 2−3×3k ×4 k+2×(5k ) 2 3×(3k ) 2+2×3k ×4 k−(5k ) 2 ¿ 9k 2−36 k 2+50k 2 27 k 2+24 k 2−25k 2 ¿ 23 26 （3）去分母得：2﹣x＝2（x 2 ﹣）， 解得：x＝2， 经检验：x＝2 不是原方程的解， 故此分式方程无实数解． 【点睛】本题考查了整式的相关概念，比例性质及分式方程的解法，解题的关键运算法则的应用． 题型06 理解黄金分割的概念 18．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开 后的长度之比约为0.618． 这个数据体现了数学中的（ ） ．平移 B．轴对称 ．旋转 D．黄金分割 【答】D 【分析】利用黄金分割比的意义解答即可． 【详解】解：∵黄金分割比为：−1+❑ √5 2 ≈0.618， ∴动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618，体现了数学中的黄金分割， 故选D． 【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键． 19．（2023·宁夏银川·校考二模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好． 若舞台长30米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则 x满足的方程是（ ） ．(30−x ) 2=30 x B．x 2=30 (30−x ) ．x (30−x )=30 2 D．以上都不对 【答】 【分析】点P 是AB的黄金分割点，且PB<PA，PB=x，则PA=30−x，根据BP AP = AP AB ，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P 是AB的黄金分割点，且PB<PA，PB=x，则PA=30−x， ∵BP AP = AP AB ， ∴A P 2=BP⋅AB， ∴(30−x ) 2=30 x． 故选：． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关 键． 20．（2020·上海崇明·统考一模）已知线段AB=8 cm，点C在线段AB上，且A C 2=BC ⋅AB，那么线段 AC的长 cm． 【答】4 ❑ √5−4/−4+4 ❑ √5 【详解】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答． 【解答】解：∵A C 2=BC ⋅AB， ∴点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC， ∴AC=¿ ❑ √5−1 2 AB=¿ ❑ √5−1 2 ×8=( 4 ❑ √5−4 ) cm， 故答为：4 ❑ √5−4． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为 ❑ √5−1 2 是解题的关键． 题型07 黄金分割的实际应用 21．（2023·山东菏泽·统考三模）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、 和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米， 主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．（黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分 割点．其比值是一个常数为 ❑ √5−1 2 ） 【答】9 ❑ √5−9 【分析】由黄金分割点的定义得AC= ❑ √5−1 2 AB，再代入AB的长计算即可． 【详解】∵由题意得，点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB=18米，AC ＞BC， ∴AC= ❑ √5−1 2 AB= ❑ √5−1 2 ×18=9 ❑ √5−9（米）． 故答为：9 ❑ √5−9． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是能够熟练地掌握黄金分割点的定义和黄金比值． 22．（2023·河南郑州·统考二模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩 形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在 很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形 ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩 形CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已 知AB= ❑ √5+1 2 ，则阴影部分的面积为 ． 【答】1−π 4 【分析】根据黄金矩形的定义可得AD的长，从而得到DE的长，再由阴影部分的面积 ¿ S正方形DEGF−S 扇形EGF，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，AB= ❑ √5+1 2 ， ∴AD= ❑ √5+1 2 ÷ ❑ √5−1 2 =3+❑ √5 2 ， ∵四边形ABFE是正方形， ∴AE=AB= ❑ √5+1 2 ， ∴DE=AD−AE=1， ∴阴影部分的面积¿ S正方形DEGF−S 扇形EGF=1 2−90 π ×1 2 360 =1−π 4 ． 故答为：1−π 4 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键． 23．（2022·江西九江·统考模拟预测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个 车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长