第20讲 图形的相似与位似（讲义）（原卷版）

第20 讲 图形的相似与位似 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 比例线段的概念与性质 题型01 成比例线段 题型02 图上距离与实际距离 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 题型04 利用比例的性质求未知数的值 题型05 利用比例的性质求代数式的值 题型06 理解黄金分割的概念 题型07 黄金分割的实际应用 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误 题型09 平行线分线段成比例（型） 题型10 平行线分线段成比例（X 型） 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线 考点二 相似图形的概念与性质 题型01 理解相似图形的概念 题型02 相似多边形 题型03 相似多边形的性质 考点三 位似图形 题型01 位似图形的识别 题型02 判断位似中心 题型03 根据位似的概念判断正误 题型04 求两个位似图形的相似比 题型05 画已知图形放大或缩小倍后的位似图形 题型06 求位似图形的坐标 题型07 求位似图形的线段长度 题型08 在坐标系中求位似图形的周长 题型09 在坐标系中求位似图形的面积 考点要求 新课标要求 命题预测 比例线段的概念与 性质  了解比例的基本性质、线段的比、成比例的 线段；  通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割 在中考中，该模块内容常出现在 选择题、填空题，较为简单本节 内容是下一节相似三角形的基 础，需要学生在复习时加以重视 相似图形的概念与 性质  通过具体实例认识图形的相似  了解相似多边形和相似比 位似图形  了解图形的位似，知道利用位似可以将一个 图形放大或缩小 考点一 比例线段的概念与性质 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 比例线段的定义：对于四条线段、b、、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的 比相等，如a b = c d （即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段其中、b、、d 叫组成 比例的项；、d 叫比的外项，b、叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即a b= b d 或：b=b：d，线段 b 叫做线段和d 的比例中项 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线 段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：、b、、d 是成比例的线段，则成比例线段只能写成a b = c d （即： 第一条 第二条= 第三条 第四条），而不能写成a b=d c 比例的性质： 1）基本性质：a b = c d ⇔ad=bc a b =b c ⇔b 2=ac 2）变形：a b = c d ⇔{ ¿ a c = b d ，( 交换内项) ¿ d b = c a ，( 交换外项) ¿ d c =b a ．(同时交换内外项) 核心内容：ad=bc 3）合、分比性质：a b = c d ⇔a±b b =c±d d 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差 变化比例仍成立．如：a b = c d ⇒{ ¿ b−a a =d−c c ¿ a−b a+b =c−d c+d 4）等比性质：如果a b = c d =e f =⋯=m n =k， 那么a+c+e+⋯+m b+d+f +⋯+n =k(b+d+f +⋯+n≠0) 【补充】根据等比的性质可推出，如果a b= c d ，则a b= c d = a+c b+d (b+d ≠0) 5）黄金分割：点把线段B 分割成和B 两段,如果AC AB = BC AC ,那么线段B 被点黄金分割，点叫做线段B 的黄 金分割点，与B 的比叫做黄金比 【注意】1）AC= ❑ √5−1 2 AB≈0.648 AB ( ❑ √5−1 2 叫做黄金分割值) 简记为：长 全＝短 长＝ ❑ √5−1 2 2）一条线段的黄金分割点有两个 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段B，按照如下方法作图： ①经过点B 作BD⊥B，使BD=1 2B ②连接D，在D 上截取DE=DB ③在B 上截取=E 则点为线段B 的黄金分割点 6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例 ①已知l3∥l4∥l5, 可得AB BC = DE EF 或AB AC = DE DF 或BC AB = EF DE 或BC AC = EF DF 或AB DE = BC EF 等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 题型01 成比例线段 【例1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ） ．2，5，6，8 B．3，6，9，2 ．1，2，3，4 D．3，6，7，9 1 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2 通常四条线段、b、、d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，和b 统一为一个单位，和d 统一为 另外一个单位也可以 【变式1-1】（2023·上海长宁·统考一模）已知线段、b、、d 是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那 么d 的值是（ ） ．8 B．6 ．4 D．1 【变式1-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知线段a=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段a和c的比例 中项，那么b=¿ 厘米． 题型02 图上距离与实际距离 【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1:8000的地图上，延陵西路的 长度约为25cm，该路段的实际长度约为（ ） ．3200m B．3000m ．2400m D．2000m 【变式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙两地的实际距离为250 km，如果画在比例尺为1:5 000 000的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是 m． 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 【例3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知2 x=3 y（x≠0，y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） ．x 3 = y 2 B．x 2= 3 y ．x 2= y 3 D．x y =2 3 【变式3-1】（2023·上海宝山·一模）已知线段、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（ ） ．2a=3b B．a+b=5 ．a+b a =5 2 D．a+3 b+2=1 题型04 利用比例的性质求未知数的值 【例4】（2023·湖南郴州·模拟预测）若(5−x ): x=2:3，则x=¿ ． 【变式4-1】（2023·四川成都·统考二模）若a b= 3 4 ，且a+b=7，则a的值为 ． 题型05 利用比例的性质求代数式的值 【例5】（2023·浙江·模拟预测）用 ， ， 分别表示三种物体的重量，若 “▲” “●” “◆” ▲ ●=●−◆ ▲ =◆ ●+▲，则 ， ， 这三种物体的重量比为（ ▲ ● ◆ ） ．2:3:4 B．2:4:3 ．3:4:5 D．3:5:4 【变式5-1】（2023·上海虹口·统考一模）已知x: y=3:2，那么(x−y ): x=¿ ． 【变式5-2】（2023·宁夏银川·校考一模）若b a=d c =1 2 (a≠c )，则2b−d 2a−c =¿ ． 【变式5-3】（2023·江西抚州·校联考一模）解方程： (1)x (x−3)=2 x−6； (2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b−2c=15，求a−2b+3c的值． 【变式5-4】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 2a b+c+d = 2b a+c+d = 2c a+b+d = 2d a+b+c =k，求k2-3k-4 的 值． 题型06 理解黄金分割的概念 【例6】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立 的是（ ） ．AB AP = AP BP B．AB BP = BP AP ．AP BP = ❑ √5−1 2 D．AB AP = ❑ √5−1 2 【变式6-1】（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提 农神庙（Part henon Temple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD: DC ≈0.618，这体 现了数学中的（ ） ．平移 B．旋转 ．轴对称 D．黄金分割 【变式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC．若AC=6 cm， 则AB的长为 cm． 题型07 黄金分割的实际应用 【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形ABCD满足AB BC = ❑ √5−1 2 ，那么矩形ABCD叫做 黄金矩 “ 形 ，如图，已知矩形 ” ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD， 下列结论不正确的是（ ） ．AC=BD B．S△AOB= ❑ √5−1 2 ．AC=8−2❑ √5 D．矩形ABCD的周长C=2❑ √5+2 【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即 BC AC = AC AB ，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的 大小关系是（ ） ．S1>S2 B．S1<S2 ．S1=S2 D．无法确定 【变式7-2】（2023·陕西渭南·统考一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以 下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即AC BC = BC AB ），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一 座高度AB为2m的雕像，则该雕像的下部高度BC应设计为 m．（结果保留根号） 【变式7-3】（2023·江西鹰潭·统考二模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严 格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、我们知道：如图1，如果BC AC = AC AB ，那么称点为 线段AB的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，请直接写出CB与AC的比值是___________； (2)【尺规作黄金分割点】如图2，在Rt △ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取 BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AE AC 的值； (3)【问题解决】如图3，用边长为4 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN， 点对应点，得折痕CE，试说明：是AB的黄金分割点． 【变式7-4】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分 割，即：点P是线段AB上一点( AP>BP)，若满足BP AP = AP AB ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在 我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形 ． “ ” (1)应用：如图1，若点C是线段AB的黄金分割点( AC>BC )，若AB=1，则AC的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形ABC为 黄金三角形 ， “ ” AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平 分线．求证：点D是AC的黄金分割点． (3)如图3 中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC 的延长线于M．BC=1，请你直接写出CM的长为__________． 【变式7-5】（2023·江苏南京·统考二模） 黄金分割 给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应 “ ” 用．如图①，点把线段AB分成两部分，如果BC AC = AC AB ，那么称线段AB被点黄金分割，点为线段AB的黄 金分割点．AC与AB的比称为黄金比，它们的比值为 ❑ √5−1 2 ．请完成下面的问题： (1)如图②，∠MON=60°，点在OM边上，OA=2．请在ON边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使 得OB与OA的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图③，在△ABC中，AB=AC，若AB BC = ❑ √5−1 2 ，请你求出∠A的度数． 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误 【例8】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E 分别为AB、AC边的中点，连 接DE，点F 为BC边上一点，BF=2 FC，连接AF交DE于点，则下列结论中错误的是（ ） ．AN AF =1 2 B．DN DE =2 3 ．AD AC =1 2 D．NE FC =1 2 【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中， DE∥BC，DF ∥AC，则下列比例式中正确的是（ ） ．BD AD = DF FC B．DE FB = AE AC ．BF FC = CE AE D．AD FC = AB AC 【变式8-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考三模）如图，△ABC中，E为AB边上一点，过E 作EF ∥BC交AC于F，G为EF的中点，作FH ∥AB交BC于H，则下列结论错误的是（ ） ．BH BC = AG AD B．EG CD = AG AD ．CF AF =CH EF D．EF BC = FH AB 【变式8-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在AD的 延长线，CB的延长线上，连接EF分别交AB，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ） ．CH DH = FH EH B．BG CD = FG EF ．AD BF =GH FG D．DH AG = DE AD 题型09 平行线分线段成比例（型） 【例9】（2023·河南周口·统考一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E， 若AD=4，DB=2，则EC AE 的值为（ ） ．1 2 B．2 3 ．3 4 D．3 5 【变式9-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在△ABC中，DE∥BC ，AD=2，BD=3，下列 结论错误的是（ ） ．AE EC =2 3 B．DE BC =2 3 ． S△ADE S△ABC = 4 25 D．CE AC =3 5 【变式9-2】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC 上，DE∥BC，AB=15，AE EC =2 3． (1)求AD的长； (2)如果BF=4，CF=6，求四边形BDEF的周长． 题型10 平行线分线段成比例（X 型） 【例10】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考三模）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条 平行线分别交于点、B、C和点D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是（ ） ．15 4 B．3 ．5 D．4 3 【变式10-1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连 接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ） ．∠AEF=∠DEC B．FA :CD=AE:BC ．FA : AB=FE: EC D．AB=DC 【变式10-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知AB∥CD∥EF， BC :CE=3:4，AF=21，那么 DF 的长为（ ） ．9 B．12 ．15 D．18 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 【例11】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点，OE∥AB 交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ） ．16 B．32 ．36 D．40 【变式11-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D 为BC边的中点，点E 在线段AD 上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF ＝2，则线段FC的长为 ． 【变式11-2】（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务． 利用辅助平行线求线段的比 三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是 两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接 利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅 助平行线，然后再利用这两个定理加以解决． 举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE: AD=1:5，BE的延长线交AC于点F． 求AF CF 的值． 下面是该题的部分解题过程： 解：如图2，过点D 作DH ∥BF交AC于点． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC． ∵DH ∥BF， ∴FH CH = BD CD ， ∴CH=FH． ∵EF ∥DH， … 任务： (1)请补充材料中剩余部分的解答过程． (2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选） ．方程思想 B．转化思想 ．分类思想 D．整体思想 (3)请你换一种思路求AF CF 的值，直接写出辅助线的作法即可． 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 【例12】（2023·江苏盐城·校联考二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行 线所截，所得 的对应线段成比例． 【初步体验】 （1）如图 1，在△ABC中，点 D 在AB上，E 在AC上，DE∥BC．若AD=1, AE=2，DB=1.5，则 EC=¿ ， AE AC =¿ ； （2 ） 已知，如图 1 ，在△ABC中，点 D 、E 分别在AB、AC上，且DE∥BC． 求证： △ADE∽△ABC． 证明：过点E作AB的平行线交BC于点 F … … … … … … 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似） 和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3 ）如图 2，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于 D、F、E 点，那么 AE EC ⋅BD D