第21讲 相似三角形及其应用（练习）（解析版）

第21 讲 相似三角形及其应用 目 录 题型01 添加条件使两个三角形相似 题型02 证明两个三角形相似 题型03 确定相似三角形的对数 题型04 在格中判断相似三角形 题型05 利用相似的性质求解 题型06 利用相似的性质求点的坐标 题型07 在格中画与已知三角形相似的三角形 题型08 证明三角形的对应线段成比例 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用 题型12 三角板与相似三角形综合应用 题型13 平移与相似三角形综合应用 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 题型18 字模型 题型19 8 字模型 题型20 一线三垂直模型 题型21 三角形内接矩形模型 题型22 旋转相似模型 题型23 相似三角形的应用 题型01 添加条件使两个三角形相似 1．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E 在B 上， 那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ） ．∠CAB=∠D B．AC BC = DE AE ．AD∥BC D．BC AC = AD AE 【答】D 【分析】】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：．由∠=∠ED=90°，∠B=∠D，可知△B∽△DE，本选项不符合题意； B．设AC BC = DE AE ，即AC DE = BC AE ， 又∵∠=∠ED=90°， ∴△B∽△DE，本选项不符合题意； ．由B∥D，可得∠B=∠DE，由∠=∠ED=90°，可得△B∽△DE，本选项不符合题意； D．由BC AC = AD AE ，无法判断三角形相似，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 2．（2023·广东广州·统考一模）已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠ 时，则△ADC ∼△ACB． 【答】B 【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：当∠1=∠B时，△ADC ∼△ACB，理由如下， ∵∠A=∠A，∠1=∠B， ∴△ADC ∼△ACB， 故答为：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键． 3．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这 个条件可以是 ．（写一个即可） 【答】∠B=∠E或∠C=∠D（答不唯一） 【分析】根据图形，结合相似三角形的判定，即可得出答． 【详解】解：根据图形，可得：∠DAE=∠BAC， ∴添加∠B=∠E或∠C=∠D， ∴△AED∽△ABC． 故答为：∠B=∠E或∠C=∠D（答不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握相似三角形的判定定理． 题型02 证明两个三角形相似 4．（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E 为BC边上的点（不 与点B，点重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD． 【答】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠A=∠C，∠CDE=∠F，即可证得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠A=∠C， ∴∠CDE=∠F， ∴△CDE∽△AFD． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题 的关键． 5．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E 在AC上，且 ∠EAD=∠ADE． (1)求证：△DCE∽△BCA； (2)若AB=6，AC=8，求BD CD 的值． 【答】(1)见解析 (2)BD CD = 3 4 ． 【分析】（1）已知AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC，再由∠EAD=∠ADE，可得 ∠BAD=∠ADE，即可得DE∥AB，从而得△DCE∽△BCA； （2）作DF ⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，利用角平分线的性质得到DF=DG，再利用三角形面积公 式求得S△ADB S△ADC = 3 4 ，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴DE∥AB， ∴△DCE∽△BCA； （2）解：作DF ⊥AB于点F，DG⊥AC于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴DF=DG， ∴S△ADB S△ADC = 1 2 AB× DF 1 2 AC × DG = AB AC =6 8= 3 4 ， ∵S△ADB S△ADC = BD CD ， ∴BD CD = 3 4 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到 角两边的距离相等”是解题的关键． 6．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2， BC=m，P 为线段BC上一动点，且和B、不重合，连接PA，过P 作PE⊥PA交CD所在直线于E． (1)请找出一对相似三角形，并说明理由； (2)若点P 在线段BC上运动时，点E 总在线段CD上，求m 的取值范围． 【答】(1)△ABP∽△PCE，理由见解析 (2)0≤m≤4 ❑ √2 【分析】（1）证明 ∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPE可得△ABP∽△PCE； （2）设BP=x，CE= y，则PC=m−x，根据△ABP∽△PCE，可得y=−1 4 x 2+ m 4 x，求出y 最大值 为m 2 16 ，因为m 2 16 ≤2且m≥0即可得到答． 【详解】（1）解：△ABP∽△PCE，理由如下： ∵AB∥CD，∠B=90°， ∴∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°， ∵PE⊥PA， ∴∠APB+∠CPE=90°， ∴∠BAP=∠CPE， ∴△ABP∽△PCE (AA )； （2）解：∵BC=m， 设BP=x，CE= y，则PC=m−x， ∵△ABP∽△PCE， ∴AB PC = BP CE ， ∵AB=4， ∴ 4 m−x = x y ，整理得y=−1 4 x 2+ m 4 x， ∴y=−1 4 x 2+ m 4 x=−1 4 (x−m 2 ) 2 + m 2 16 (0<x<m)， ∴当x=m 2 时，y 取最大值，最大值为m 2 16 ， ∵m 2 16 ≤2，解得−4 ❑ √2≤m≤4 ❑ √2， 又∵m≥0， ∴0≤m≤4 ❑ √2； 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到三角形相似的判定和性质、求线段的取值范围，灵活运用所学知识 是关键． 题型03 确定相似三角形的对数 7．（2023·山西晋中·统考一模）在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D，过点D 画一条直线，与三 角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可以画（ ） ．5 条 B．4 条 ．3 条 D．2 条 【答】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：如图，画直线DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC； 如图，画直线DE交AC于点E，使∠AED=∠B， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC； 如图，画直线DE∥AC交BC于点E，则△BDE∽△BAC； 如图，画直线DE交BC于点E，使∠BED=∠A， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BCA； ∴这样的直线最多可以画4 条． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2023·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有（ ） ．3 对 B．4 对 ．5 对 D．6 对 【答】D 【分析】根据两组角对应相等两三角形相似确定出相似三角形即可． 【详解】解：BD和CE相交于点，如图， ∵∠A=∠A ，∠ADB=∠AEC=90°， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠OBE=∠ABD，∠BED=∠BDA， ∴△OBE∽△ABD， ∵∠BOE=∠COD，∠BEO=∠CDO， ∴△OBE∽△OCD， ∴△ABD∽△ACE∽△OBE∽△OCD， ∴图中相似三角形有：△OBE∽△ABD；△ABD∽△ACE；△ABD∽△OCD；△OBE∽△ACE； △OBE∽△OCD；△ACE∽△OCD，共6 对相似三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．利用相似的传递性确定相 似三角形的对数． 9．（2020·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点E 是平行四边形BD 中B 的延长线上的一点，连接E 交 D 于F，交BD 于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对． ．4 B．5 ．6 D．7 【答】B 【分析】由平行四边形的性质可得D//B，B//D，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相 似三角形的对数． 【详解】∵四边形BD 是平行四边形， D//B ∴ ，B//D， DM EBM ∴△ ∽△ ，△DF EF ∽△ ，△DFM BM ∽△ ，△EF EB ∽△ ， FD= BE ∵∠ ∠ ，∠DE= E ∠， DF EB ∴△ ∽△ ， ∴图中共有相似三角形5 对， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所 构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么 这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 题型04 在格中判断相似三角形 10．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在小正方形的边长为1 的格中，三角形的顶点都在格 点上，与△ABC相似的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据分别求出个三角形的三边长，再根据相似三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：AB= ❑ √1 2+3 2=❑ √10，AB= ❑ √1 2+1 2=❑ √2，AB= ❑ √2 2+2 2=2❑ √2， 、三边长分别为2, ❑ √3 2+1 2=❑ √10, ❑ √3 2+3 2=3 ❑ √3，则3 ❑ √3 ❑ √10 ≠ ❑ √10 2❑ √2 ≠2 ❑ √2 ，则该三角形不与△ABC相似， 故本选项不符合题意； B、三边长分别为2,3, ❑ √2 2+3 2=❑ √13，则 ❑ √13 ❑ √10 ≠ ❑ √3 2❑ √2 ≠2 ❑ √2 ，则该三角形不与△ABC相似，故本选项不 符合题意； 、三边长分别为2,4 , ❑ √2 2+4 2=2❑ √5，则2❑ √5 ❑ √10 = 4 2❑ √2= 2 ❑ √2=❑ √2，则该三角形与△ABC相似，故本选项 符合题意； D、三边长分别为❑ √2 2+1 2=❑ √5,4 , ❑ √2 2+3 2=❑ √13，则4 ❑ √10 ≠ ❑ √13 2❑ √2 ≠ ❑ √5 ❑ √2 ，则该三角形不与△ABC相似， 故本选项不符合题意； 故选： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 11．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形格中：①△CEB；②△CDB；③△DEB；这3 个斜三 角形中，能与△ABC相似的是 ．（点A、B、C、D、E均在格点上） 【答】△DEB 【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比 就是与△ABC相似的三角形． 【详解】解：∵△ABC的三边之比是AB: AC :BC=1:❑ √2:❑ √5， △CEB的三边之比是BC : EC :BE=❑ √5:3:2❑ √5, △CDB的三边之比是CD:BC :BD=1:❑ √5:2❑ √2， △DEB的三边之比是DE:BD:BE=2:2❑ √2:❑ √20=1:❑ √2:❑ √5． ∴△DEB与△ABC相似， 故答为：△DEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解 题的关键． 12．（2017·天津和平·统考二模）如图，在正方形格上有6 个三角形：①△B，②△DB，③△DEB，④ △FBG，⑤△GF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是 ． 【答】3 【分析】先利用勾股定理计算出BC=❑ √5，BD=2❑ √2，BF=EF=❑ √5，BE=2❑ √5，EK=HG=❑ √2， FG=❑ √10，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断△DB，△DEB，△FBG，△GF， △EKF 与△B 是否相似 【详解】解：B=1，AC=❑ √2，BC= ❑ √1 2+2 2=❑ √5，D=1，BD=2❑ √2，DE=2，BF=EF=❑ √5， BE=2❑ √5，F=2，EK=HG=❑ √2，FG= ❑ √1 2+3 2=❑ √10，BG=5， ∵BC AB = ❑ √5 1 =❑ √5，CD AC = 1 ❑ √2= ❑ √2 2 ，BD BC =2❑ √2 ❑ √5 =2❑ √10 5 ， DB ∴△ 与△B 不相似； ∵DE AB =2 1=2，DB AC =2❑ √2 ❑ √2 =2，BE BC =2❑ √5 ❑ √5 =2， DEB B ∴△ ∽△； ∵BF AB = ❑ √5 1 =❑ √5，FG AC = ❑ √10 ❑ √2 =❑ √5，BG BC = 5 ❑ √5=❑ √5， ∴△FBG B ∽△； ∵HG AB = ❑ √2 1 =❑ √2，HF AC = 2 ❑ √2=❑ √2，FG BC = ❑ √10 ❑ √5 =❑ √2， GF B ∴△ ∽△； ∵EK AB =❑ √2，EF AC = ❑ √5 ❑ √2= ❑ √10 2 ，FK BC = 3 ❑ √5=3 ❑ √5 5 ， EKF ∴△ 与△B 不相似 故答为3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理 相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似； （2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相 似； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 题型05 利用相似的性质求解 13．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，△ABC ∽△≝¿，若AB=2，DE=3，则BC : EF的值等于 （ ） ．1∶2 B．1 3 ∶ ．2 3 ∶ D．4∶9 【答】 【分析】由相似三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵△ABC ∽△≝¿，AB=2，DE=3， ∴BC EF = AB DE =2 3， 即BC : EF=2：3； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似的性质是关键． 14．（2023·江西南昌·统考一模）如图，△≝¿的顶点D , E在△ABC的边BC上，EF ∥AC , DF ∥AB， 若∠F=55°，则∠A=¿（ ） ．45° B．55° ．60° D．65° 【答】B 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可证△ABC △FDE，即可得到答． 【详解】解：∵EF ∥AC , DF ∥AB， ∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED， ∴△ABC ∼△FDE (AA )， ∴∠A=∠F， ∵∠F=55°， ∴∠A=55°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 15．（2023·四川成都·统考一模）若△ABC ∽△≝¿，且AB DE =1 3，若△ABC的周长为2，则△≝¿的周长 为（ ） ．2 9 B．2 3 ．6 D．18 【答】 【分析】根据相似三角形的性质得到△ABC 的周长 △≝的周长 = 1 3，然后利用比例性质计算． 【详解】解：∵△ABC ∽△≝¿，且AB DE =1 3，相似三角形周长的比等于相似比， ∴△ABC 的周长 △≝的周长 = 1 3， ∴△≝¿的周长=2×3=6， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解答本题的关键． 16．（2023·甘肃张掖·校联考一模）已知△ABC ∽△≝¿，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△≝¿ 的面积为 ． 【答】3 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵△ABC ∽△≝¿，相似比为2， ∴ S△ABC S△≝¿=2 2¿ ， ∵△ABC的面积为12， ∴ 12 S△≝¿=4¿， ∴S△≝¿=3¿． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 题型06 利用相似的性质求点的坐标 17．（2022·广东汕头·林百欣中学校考一模）如图，矩形BD 的顶点B，分别在x 轴，y 轴上，B＝4，＝3， B＝10，将矩形BD 绕点顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021 次旋转结束时，点的坐标为（ ） ．（10，8） B．（8，－10） ．（－10，8） D．（－8，10） 【答】D 【分析】过点作E⊥x 轴于点E，连接，根据已知条件求出点的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：过点作E⊥x 轴于点E，连接． ∵B＝4，＝3， ∴B＝❑ √O B 2＋OC 2＝❑ √4 2＋3 2＝5， ∵∠EB＝∠B＝∠B＝90°， ∴∠BE＋∠B＝90°，∠B＋∠B＝90°， ∴∠BE＝∠B， ∴△EB∽△B， ∴AB BC = AE OB = BE OC ， ∴10 5 = AE 4 = BE 3 ， ∴E＝8，BE＝6， ∴E＝10， ∴（−10，−8）， 则第1 次旋转结束时，点的坐标为（−8，10）， 则第2 次旋转结束时，点的坐标为（10，8）， 则第3 次旋转结束时，点的坐标为（8，−10）， 则第4 次旋转结束时，点的坐标为（−10，−8）， …… 观察可知，4 次一个循环， 2021÷4 ∵ ＝5051， ∴第2021 次旋转结束时，点的坐标为（−8，10）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与