第20讲 图形的相似与位似（练习）（原卷版）

第20 讲 图形的相似与位似 目 录 题型01 成比例线段 题型02 图上距离与实际距离 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 题型04 利用比例的性质求未知数的值 题型05 利用比例的性质求代数式的值 题型06 理解黄金分割的概念 题型07 黄金分割的实际应用 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误 题型09 平行线分线段成比例（型） 题型10 平行线分线段成比例（X 型） 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线 题型14 理解相似图形的概念 题型15 相似多边形 题型16 相似多边形的性质 题型17 位似图形的识别 题型18 判断位似中心 题型19 根据位似的概念判断正误 题型20 求两个位似图形的相似比 题型21 画已知图形放大或缩小倍后的位似图形 题型22 求位似图形的坐标 题型23 求位似图形的线段长度 题型24 在坐标系中求位似图形的周长 题型25 在坐标系中求位似图形的面积 题型01 成比例线段 1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ） ．4，1，3，8 B．3，4，5，6 ．4，8，3，5 D．15，5，6，2 2．（2022·浙江·统考一模）已知线段a=❑ √5+1，b=❑ √5−1，则，b 的比例中项线段等于 ． 3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知线段a=3,b=2,c=4，则b，，的第四比例项d=¿ ． 题型02 图上距离与实际距离 4．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100 平方厘米， 图纸上某条边的长度为5 厘米经测量，这条边的实际长度为20 米，则这块草坪的实际面积为 平方米 5．（2019·辽宁抚顺·统考三模）已知、B 两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，这 幅地图的比例尺为 ． 6．（2020·江苏淮安·统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24 cm，面积 是20cm 2，求这个区域的实际周长和面积． 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 7．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如果2022a=2023b，则下列式子正确的是（ ） ． a 2023= b 2022 B．a b=2022 2023 ． a 2022=2023 b D． a 2023=2022 b 8．（2021·上海嘉定·统考一模）如果实数，b，，d 满足a b= c d ，下列四个选项中，正确的是（ ） ．a+b b =c+d d B．a a+b= c c+d ．a+c b+d = c d D．a 2 b =c 2 d 9．（2019·上海奉贤·校联考一模）已知线段、b，如果：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ） ．+b＝7 B．5=2b ．a+b b =7 2 D．a+5 b+2=1 题型04 利用比例的性质求未知数的值 10．（2021·江苏盐城·统考二模）已知线段，b，，其中是和b 的比例中项，＝4，b＝9，则=（ ） ．4 B．6 ．9 D．36 11．（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考一模）若a:b:c=2:3:7，且a−b+3=c−2b，则值为何？ （ ） ．7 B．63 ．21 2 D．21 4 12．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）若（3﹣2x）：2＝（3+2x）：5，则x＝ ． 13．（2022·江苏淮安·统考一模）已知a 6=b 5 = c 4 ，且a+b−2c=6，求a值． 题型05 利用比例的性质求代数式的值 14．（2022·安徽合肥·校考二模）已知、b、为非零实数，且满足b+c a =a+b c =a+c b =k，则一次函数y＝ kx＋（1＋k）的图像一定经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 15．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知m n =1 3 ，则m m+n=¿ ． 16．（2022·四川成都·统考二模）已知x 2= y 3 = z 4 ≠0，则xy+ yz zx 的值是 ． 17．（2021·山东滨州·统考三模）计算： (1)已知关于x，y 的多项式xy 3 ﹣x2 2 ﹣xy﹣bx2+y 中不含二次项，求(+b)2021的值． (2)若x 3 = y 4 = z 5 ，求x 2−3 xy+2 z 2 3 x 2+2 xy−z 2 的值； (3)解分式方程 2 x−2 + x 2−x =2． 题型06 理解黄金分割的概念 18．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开 后的长度之比约为0.618． 这个数据体现了数学中的（ ） ．平移 B．轴对称 ．旋转 D．黄金分割 19．（2023·宁夏银川·校考二模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好． 若舞台长30米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则 x满足的方程是（ ） ． (30−x ) 2=30 x B．x 2=30 (30−x ) ．x (30−x )=30 2 D．以上都不对 20．（2020·上海崇明·统考一模）已知线段AB=8 cm，点C在线段AB上，且A C 2=BC ⋅AB，那么线段 AC的长 cm． 题型07 黄金分割的实际应用 21．（2023·山东菏泽·统考三模）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、 和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米， 主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．（黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分 割点．其比值是一个常数为 ❑ √5−1 2 ） 22．（2023·河南郑州·统考二模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩 形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在 很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形 ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩 形CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已 知AB= ❑ √5+1 2 ，则阴影部分的面积为 ． 23．（2022·江西九江·统考模拟预测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个 车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0618），若车头与倒车镜的水平距离 为1.9m，则该车车身总长约为 m（保留整数）． 24．（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种 是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC． (1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法， 标明字母）； (2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点． 25．（2023·江西南昌·统考一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一 种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6． (1)求该女士下半身长x； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1） 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误 26．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE 、BE，AE交 BD于点F．则下列结论正确的是（ ）． ．AF FE =CD DE B．AF FE = DF BF ．DE CE = DF BF D．AF FE = AD BE 27．（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E 在BC的延长线上，点F 在 CD的延长线上，连接BF、EF，BF交AD于G，EF交AD的延长线于点，下列说法错误的是（ ） ．FG BG = DH CE B．DG AG = FH EH ．GF BF = HF EF D．GD BC = DF CF 28．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，平行四边形ABCD，E 是BA延长线上一点，CE与AD、BD 分别交于点G、F，则下列说法错误的是（ ） ．EA :CD=EG:CG B．CD:BE=CG:CE ．EG:GC=AG:BC D．CF :GF=DA : DG 题型09 平行线分线段成比例（型） 29．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D 、E分别在AB 、AC上，连接DE， DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ） ．15 B．❑ √2 ．❑ √3 D．2 30．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知点D、E 分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC， AD: DB=1:3，那么S△DEC:S△DBC等于（ ） ．1:2 B．1:3 ．2:3 D．1:4 题型10 平行线分线段成比例（X 型） 31．（2022·广西贵港·统考一模）如图，F 是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E， 已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ） ．2❑ √2 B．3 ．❑ √13 D．❑ √5 32．（2022·河南开封·统考二模）如图，直线l1∥l2∥l3，已知E＝1，BE＝2，DE＝3，则D 的长为（ ） ．3 2 B．9 2 ．6 D．15 2 33．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在△OAB中，点C 、D分别在边OB、OA的反向延长线上，且 CD∥AB．若OC=2，OB=4，OD=3，则OA的长为（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 34．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ ABCD中，AB=5，BC=8. E是边BC的中点，F是▱ ABCD内一点，且∠BFC=90° . 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ） ．5 2 B．3 2 ．3 D．2 35．（2022·四川绵阳·统考三模）在Rt△B 中，∠B＝90°，s＝1 3 ，B＝6，D 是B 的中点，连接D，作DE⊥ 于E，则△DE 的周长为（ ） ．4+2❑ √2 B．6+2❑ √2 ．4+❑ √2 D．6+❑ √2 36．（2022·四川宜宾·统考一模）如图，在▱BD 中，E 是D 边上的中点，连接BE，并延长BE 交D 的延长 线于点F，那么FD FC 的值是（ ） ．1 3 B．2 3 ．1 2 D．3 4 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 37．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交 BC于点E，若BF : FD=3:1，BC=10，则CE的长为（ ） ．3 B．4 ．5 D．10 3 38．（2023·浙江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D 为AB中点，BF ⊥CD于 点E，交AC于点F，若AB=2，则AF=¿（ ） ．3 ❑ √2 4 B．2❑ √2 3 ． ❑ √5 3 D．1 39．（2022·广西贵港·统考二模）如图，在△ABC中，D 是AB边的中点，点E在BC边上，且 BE:CE=3:2，CD与AE交于点F，则DF :CF=（ ） ．2：3 B．3：4 ．4：3 D．3：2 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线 40．（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若 BG CG =1 3 ，EF=2❑ √5，则菱形ABCD的边长是（ ） ．3 ❑ √5 B．14 5 ❑ √5 ．5 D．6 41．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，在直角坐标系中，反比例函数y= k x 的图象恰 好经过△AOB的顶点及边AB上一点且满足AC=1 3 AB，如果△AOB的面积为2，那么k 的值是（ ） ．1 B．2 ．−1 D．−2 42．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线 上的三个点，B，都在横线上．若线段BC=4 cm，则线段AC的长是（ ） ．4 cm B．5cm ．6cm D．7cm 43．（2023·广西贵港·统考三模）如图，点A在反比例函数y= k x （x>0）的图象上，点B在x轴负半轴上， 直线AB交y轴于点C，若AC BC =1 2 ，△AOB的面积为12，则k的值为（ ） ．4 B．6 ．10 D．12 题型14 理解相似图形的概念 44．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系 列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景．这体现了数学中的( ) ．图形的轴对称 B．图形的平移 ．图形的旋转 D．图形的相似 45．（2023·河南洛阳·统考一模）下列是关于两个图形相似的叙述，不正确的选项是（ ） ．位置可以不同 B．大小可以不同 ．形状可以不同 D．颜色可以不同 46．（2021·四川成都·统考一模）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相 似图形的是（ ） ． B． ． D． 题型15 相似多边形 47．（2021·上海奉贤·统考一模）下列两个图形一定相似的是（ ） ．两个菱形 B．两个正方形 ．两个矩形 D．两个梯形 48．（2019·河北邢台·校联考一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ） ． B． ． D． 49．（2021·上海长宁·一模）下列命题中，说法正确的是（ ） ．四条边对应成比例的两个四边形相似 B．四个内角对应相等的两个四边形相似 ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 题型16 相似多边形的性质 50．（2022·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2 的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得 剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方，并求出这个最大值．” 甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方，并求出了周长和的最大值． 甲方：如图1 所示，最大值为16； 乙方：如图2 所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（ ） ．甲方正确，周长和的最大值错误 B．乙方错误，周长和的最大值正确 ．甲、乙方均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方均错误，周长和的最大值错误 51．（2022·山东淄博·统考二模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩 形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ） ．2：1 B．3：1 ．3：2 D．❑ √2:1 52．（2023·广东江门·统考一模）如图，矩形B 的面积为36，它的对角线B 与双曲线y¿ k x 相交于点D，且 D：B＝2：3，则k 的值为（ ） ．12 B．﹣12 ．16 D．﹣16 53．（2019·浙江宁波·校联考三模）如图，▱BD∽▱EFG，B∥EF，记四边形BFE、四边形BGF、四边形 DG、四边形DE 的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱BD 和▱EFG 的面积，则不用测量就可知的区域的面 积为（ ） ．S1﹣S2 B．S1+S3 ．S4﹣S2 D．S3+S4 题型17 位似图形的识别 54．（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其 中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ） ．平移 B．对称 ．位似 D．旋转 55．（2022·贵州遵义·模拟预测）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ） ．位似图形 B．相似三角形的判定．旋转 D．平行线的性质 题型18 判断位似中心 56．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（ ） ．点 B．点B ．点C D．点D 57．（2021·河北邢台·统考一模）如图，若△ABC与△≝¿是位似图形，则位似中心可能是（ ） ．O1 B．O2 ．O3 D．O4 题型19 根据位似的概念判断正误 58．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，以点为位似中心，把△B 放大2 倍得到△′B′′，则以下 说法中错误的是（ ） ．B ′ ∥B′ B．△B ∽△′B′′ ．：′＝1：2 D．点、、′三点在同一直线上 59．（2021·四川成都·一模）如图，在△B 外取一点，连接，B，，并取它们的中点分别为D，E，F，得 △DEF，则下列说法正确的个数是（ ） ①△B 与△DEF 位似 ②△B 与△DEF 周长比为2 1 ∶ ③△B 与△DEF 面积比为4 1 ∶ ④△B 与△DEF 是相似图形 ．1 B．2 ．3 D．4 60．（2021·河北唐山·统考一模）如图，BC/¿ ED，下列说法不正确的是（ ） ．两个三角形是位似图形 B．点是两个三角形的位似中心 ．点B 与点D、点与点E 是对应位似点 D．AC : AB是相似比 题型20 求两个位似图形的相似比 61．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△ A1B1C1位似，位似中心是点，若OA :O A1 ¿1:2， 则△ABC与△ A1B1C1的面积比是（ ） ．1:2 B．1:3 ．1:4 D．1:9 62．（2023·重庆·三模）如图，四边形ABCD与四边形A ' B 'C ' D '位似，点是它们的位似中心，若 OA ：O A '=2：3，则CD：C ' D '的值为（ ） ．1：2 B．2：3 ．2：5 D．4：9 63．（2023·广西梧州·统考二模）如图，已知△OAB，作射线OA ，OB，分别在射线OA ，OB上取点