第20讲 图形的相似与位似（讲义）（解析版）

第20 讲 图形的相似与位似 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 比例线段的概念与性质 题型01 成比例线段 题型02 图上距离与实际距离 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 题型04 利用比例的性质求未知数的值 题型05 利用比例的性质求代数式的值 题型06 理解黄金分割的概念 题型07 黄金分割的实际应用 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误 题型09 平行线分线段成比例（型） 题型10 平行线分线段成比例（X 型） 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线 考点二 相似图形的概念与性质 题型01 理解相似图形的概念 题型02 相似多边形 题型03 相似多边形的性质 考点三 位似图形 题型01 位似图形的识别 题型02 判断位似中心 题型03 根据位似的概念判断正误 题型04 求两个位似图形的相似比 题型05 画已知图形放大或缩小倍后的位似图形 题型06 求位似图形的坐标 题型07 求位似图形的线段长度 题型08 在坐标系中求位似图形的周长 题型09 在坐标系中求位似图形的面积 考点要求 新课标要求 命题预测 比例线段的概念与 性质  了解比例的基本性质、线段的比、成比例的 线段；  通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割 在中考中，该模块内容常出现在 选择题、填空题，较为简单本节 内容是下一节相似三角形的基 础，需要学生在复习时加以重视 相似图形的概念与 性质  通过具体实例认识图形的相似  了解相似多边形和相似比 位似图形  了解图形的位似，知道利用位似可以将一个 图形放大或缩小 考点一 比例线段的概念与性质 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 比例线段的定义：对于四条线段、b、、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的 比相等，如a b = c d （即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段其中、b、、d 叫组成 比例的项；、d 叫比的外项，b、叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即a b= b d 或：b=b：d，线段 b 叫做线段和d 的比例中项 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线 段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：、b、、d 是成比例的线段，则成比例线段只能写成a b = c d （即： 第一条 第二条= 第三条 第四条），而不能写成a b=d c 比例的性质： 1）基本性质：a b = c d ⇔ad=bc a b =b c ⇔b 2=ac 2）变形：a b = c d ⇔{ ¿ a c = b d ，( 交换内项) ¿ d b = c a ，( 交换外项) ¿ d c =b a ．(同时交换内外项) 核心内容：ad=bc 3）合、分比性质：a b = c d ⇔a±b b =c±d d 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差 变化比例仍成立．如：a b = c d ⇒{ ¿ b−a a =d−c c ¿ a−b a+b =c−d c+d 4）等比性质：如果a b = c d =e f =⋯=m n =k， 那么a+c+e+⋯+m b+d+f +⋯+n =k(b+d+f +⋯+n≠0) 【补充】根据等比的性质可推出，如果a b= c d ，则a b= c d = a+c b+d (b+d ≠0) 5）黄金分割：点把线段B 分割成和B 两段,如果AC AB = BC AC ,那么线段B 被点黄金分割，点叫做线段B 的黄 金分割点，与B 的比叫做黄金比 【注意】1）AC= ❑ √5−1 2 AB≈0.648 AB ( ❑ √5−1 2 叫做黄金分割值) 简记为：长 全＝短 长＝ ❑ √5−1 2 2）一条线段的黄金分割点有两个 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段B，按照如下方法作图： ①经过点B 作BD⊥B，使BD=1 2B ②连接D，在D 上截取DE=DB ③在B 上截取=E 则点为线段B 的黄金分割点 6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例 ①已知l3∥l4∥l5, 可得AB BC = DE EF 或AB AC = DE DF 或BC AB = EF DE 或BC AC = EF DF 或AB DE = BC EF 等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 题型01 成比例线段 【例1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ） ．2，5，6，8 B．3，6，9，2 ．1，2，3，4 D．3，6，7，9 【答】B 1 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2 通常四条线段、b、、d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，和b 统一为一个单位，和d 统一为 另外一个单位也可以 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断． 【详解】解：∵2×8≠5×6， ∴2，5，6，8 不能构成比例线段，不符合题意； B∵2×9=3×6， ∴3，6，9，2 能构成比例线段，符合题意； ∵1×4≠3×2， ∴1，2，3，4 不能构成比例线段，不符合题意； D∵3×9≠6×7， ∴3，6，7，9 不能构成比例线段，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两 条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所 选取的单位无关系． 【变式1-1】（2023·上海长宁·统考一模）已知线段、b、、d 是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那 么d 的值是（ ） ．8 B．6 ．4 D．1 【答】B 【分析】利用成比例线段的定义得到a:b=c:d，然后根据比例的性质求d 的值． 【详解】解：根据题意得：a:b=c:d， 即1:2=3:d， 解得d=6． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段、b、、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另 两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段． 【变式1-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知线段a=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段a和c的比例 中项，那么b=¿ 厘米． 【答】6 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到a:b=b:c，然后利用比例性质计算即可，解题 的关键是理解四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等， a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当a:b=b:c时，线段b是线段a和c的比 例中项． 【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴a:b=b:c， 即b 2=ac=3×12， ∴b=6 (cm )， 故答为：6 ． 题型02 图上距离与实际距离 【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1:8000的地图上，延陵西路的 长度约为25cm，该路段的实际长度约为（ ） ．3200m B．3000m ．2400m D．2000m 【答】D 【分析】首先设它的实际长度是x cm然后根据比例尺的定义，即可得方程1:8000=25: x，解此方程即可 求得答，注意统一单位． 【详解】解：设它的实际长度为x cm， 根据题意得：1:8000=25: x 解得：x=200000， ∵200000cm=2000m ∴该路段实际长度约为2000m 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意 统一单位． 【变式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙两地的实际距离为250 km，如果画在比例尺为1:5 000 000的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是 m． 【答】5 【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离进行求解即可． 【详解】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是250×1000×100× 1 5000000=5cm， 故答为：5． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键． 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 【例3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知2 x=3 y（x≠0，y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） ．x 3 = y 2 B．x 2= 3 y ．x 2= y 3 D．x y =2 3 【答】 【分析】根据若a b= c d (b≠0，d ≠0)，则ad=bc，进行逐一判断即可求解． 【详解】解：可化为2 x=3 y，故此项符合题意； B 可化为xy=6，故此项不符合题意； 可化为3 x=2 y，故此项不符合题意； D 可化为3 x=2 y，故此项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了比例是性质，掌握性质是解题的关键． 【变式3-1】（2023·上海宝山·一模）已知线段、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（ ） ．2a=3b B．a+b=5 ．a+b a =5 2 D．a+3 b+2=1 【答】 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：、由a:b=2:3，得3a=2b，故本选项错误，不符合题意； B、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+b=10，故本选项错误，不符合题意； 、由a:b=2:3，得a+b a =5 2，故本选项正确，符合题意； D、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+3 b+2=7 8，故本选项错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积， 比较简单． 题型04 利用比例的性质求未知数的值 【例4】（2023·湖南郴州·模拟预测）若(5−x ): x=2:3，则x=¿ ． 【答】3 【分析】根据比例的性质得到方程3 (5−x )=2 x，再解方程即可求解． 【详解】解：∵(5−x ): x=2:3， ∴3 (5−x )=2 x， 15−3 x=2 x， 解得x=3． 故答为：3． 【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题关键． 【变式4-1】（2023·四川成都·统考二模）若a b= 3 4 ，且a+b=7，则a的值为 ． 【答】3 【分析】根据比例的性质得到3b=4 a，结合a+b=7求得a的值即可． 【详解】解：由a：b=3：4知3b=4 a， 所以b= 4 3 a. 所以由a+b=7得到：a+ 4 3 a=7， 解得：a=3， 故答为：3． 【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若a b= c d ，则ad=bc． 题型05 利用比例的性质求代数式的值 【例5】（2023·浙江·模拟预测）用 ， ， 分别表示三种物体的重量，若 “▲” “●” “◆” ▲ ●=●−◆ ▲ =◆ ●+▲，则 ， ， 这三种物体的重量比为（ ▲ ● ◆ ） ．2:3:4 B．2:4:3 ．3:4:5 D．3:5:4 【答】B 【分析】可设▲ ●=●−◆ ▲ =◆ ●+▲ ¿k，利用等比性质可得k的值，设 为 ▲ x， 为 ● y， 为 ◆ z，得到3个等 式，联立可得用x 表示y、z，相比即可． 【详解】解：设▲ ●=●−◆ ▲ =◆ ●+▲ ¿k， 为 ▲ x， 为 ● y， 为 ◆ z， ∴k= x+ y−z+z y+x+ y+x = x+ y 2 (x+ y )=1 2， ∴x=1 2 y , y−z=1 2 x , z=1 2 (x+ y )， ∴y=2 x , z=3 2 x， ▲ ∴ ， ， 这三种物体的重量比为 ● ◆ 2:4:3． 故选：B． 【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键． 【变式5-1】（2023·上海虹口·统考一模）已知x: y=3:2，那么(x−y ): x=¿ ． 【答】1:3 【分析】本题考查了比例的性质，表示出y 是解题的关键．先用x 表示出y，再代入比例式进行计算即可得 解． 【详解】解：∵x: y=3:2， ∴y=2 3 x， ∴(x−y ): x=(x−2 3 x): x=1 3 x: x=1:3， 故答为：1:3． 【变式5-2】（2023·宁夏银川·校考一模）若b a=d c =1 2 (a≠c )，则2b−d 2a−c =¿ ． 【答】1 2/05 【分析】根据等比性质、合比性质转换即可． 【详解】解：∵b a=d c =1 2 (a≠c )， ∴2b 2a=d c =1 2 (a≠c )， ∴2b−d 2a−c =1 2 (a≠c )， 故答为1 2． 【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，正确理解等比性质、合比性质是解题的关键． 【变式5-3】（2023·江西抚州·校联考一模）解方程： (1)x (x−3)=2 x−6； (2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b−2c=15，求a−2b+3c的值． 【答】(1)x1=3，x2=2； (2)24 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程，此题得解； （2）由a:b:c=2:3:4，可设a=2k，则b=3k ，c=4 k，根据2a+3b−2c=15可得出关于k 的一元一 次方程，解之即可得出k 值，进而可得出、b、的值，将其代入a−2b+3c中即可求出结论． 【详解】（1）解：移项得，x (x−3)−2 (x−3)=0， 即(x−3) (x−2)=0， 即x−3=0或x−2=0， 解得：x1=3，x2=2； （2）解：∵a:b:c=2:3:4， ∴设a=2k，则b=3k ，c=4 k． ∵2a+3b−2c=15， ∴4 k+9k−8k=15， 解得：k=3， ∴a=6，b=9，c=12， ∴a−2b+3c=6−18+36=24． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质，解题的关键是： （1）熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根据比例关系结合2a+3b−2c=15列出关于k 的一元一次方程． 【变式5-4】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 2a b+c+d = 2b a+c+d = 2c a+b+d = 2d a+b+c =k，求k2-3k-4 的 值． 【答】-50 9 或6． 【分析】当+b++d≠0 时，依据等比性质可得2(a+b+c+d ) 3(a+b+c+d )=k，当+b++d=0 时，得b++d=﹣ ，代入即可计算 出k 的值． 【详解】∵ 2a b+c+d = 2b a+c+d = 2c a+b+d = 2d a+b+c =k， ∴当+b++d≠0 时，由等比性质可得，2(a+b+c+d) 3(a+b+c+d )=k， k=2(a+b+c+d) 3(a+b+c+d)=2 3； 当+b++d=0 时，b++d=﹣ ， k= ∴ 2a b+c+d = 2a −a=-2； 当k=2 3时，k 2−3k−4=( 2 3) 2 −3× 2 3−4=−¿ 50 9 ； 当k=−2时，k 2−3k−4=(−2) 2−3× (−2)−4=6． 【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 题型06 理解黄金分割的概念 【例6】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立 的是（ ） ．AB AP = AP BP B．AB BP = BP AP ．AP BP = ❑ √5−1 2 D．AB AP = ❑ √5−1 2 【答】 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是 掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP， ∴AP AB = PB AP = ❑ √5−1 2 ， 故选：． 【变式6-1】（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提 农神庙（Part henon Temple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD: DC ≈0.618，这体 现了数学中的（ ） ．平移 B．旋转 ．轴对称 D．黄金分割 【答】D 【分析】根据黄金分割比可得答． 【详解】解：∵AD: DC ≈0.618， ∴体现了数学中的黄金分割； 故选D 【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为 ❑ √5−1 2 ≈0.618是解本题的关键． 【变式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC．若AC=6 cm， 则AB的长为 cm． 【答】3 ❑ √5+3/3+3 ❑ √5 【分析】利用黄金比例列出方程解答即可． 【详解】解：∵点C为线段AB的黄金分割点， ∴AC AB = ❑ √5−1 2 ， ∴6 AB = ❑ √5−1 2 ， ∴AB=3 ❑ √5+3． 故答为：3 ❑ √5+3． 【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键． 题型07 黄金分割的实际应用 【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形ABCD满足AB BC = ❑ √5−1 2 ，那么矩形ABCD叫做 黄金矩 “ 形 ，如图，已知矩形 ” ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD， 下列结论不正确的是（ ） ．AC=BD B．S△AOB= ❑ √5−1 2 ．AC=8−2❑ √5 D．矩形ABCD的周长C=2❑ √5+2 【答】 【分析】计算得出AB=❑ √5−1，根据矩形的性质求得各项，即可判断． 【详解】解：∵AB BC = ❑ √5−1 2 ，且BC=2， ∴AB=❑ √5−1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，故选项正确，不符合题意； ∴S△AOB= 1 4 S 矩形ABCD= 1 4 ×2×(❑ √5−1)= ❑ √5−1 2 ，故选项B 正确，不符合题意； ∴AC= ❑ √(❑