专题14 全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（原卷版）

专题14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 一线三等角（K 型图）模型 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： + E=DE 证明思路： + 任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： + 任意一边相等 证明思路： +任一边相等 例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运动，到达点 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时， 与 全等． 例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△B 中，∠B＝90°，B=，直线m 经过点， BD⊥直线m， E⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+E． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△B 中，B=，D、、E 三点都在直线m 上，并且有 ∠BD=∠E=∠B= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+E 是否成立？如成立，请你给出证明；若 不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是D、、E 三点所在直线m 上的两动点 （D、、E 三点互不重合），点F 为∠B 平分线上的一点，且△BF 和△F 均为等边三角形，连接BD、E，若 ∠BD=∠E=∠B，试判断△DEF 的形状． 例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形B 中，∠B=90°，B=，直 线ED 经过点，过作D⊥ED 于D，过B 作BE⊥ED 于E．求证：△BE≌△D； （2）模型应用：①已知直线B 与y 轴交于点，与 轴交于B 点，s∠B= ，B=4，将线段B 绕点B 逆时针旋 转90 度，得到线段B，过点，作直线，求直线的解析式； ②如图3，矩形B，为坐标原点，B 的坐标为（8，6），，分别在坐标轴上，P 是线段B 上动点，已知点 D 在第一象限，且是直线y=2 5 上的一点，若△PD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符 合条件的点D 的坐标． 例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在B 中，B==2，∠B=40°，点D 在线段B 上运动（点D 不与点 B、重合），连接D，作∠DE=40°，DE 交线段于点E． （1）当∠BD=115°时，∠ED=______°，∠ED=______°；（2）线段D 的长度为何值时，△BD≌△DE，请说明 理由；（3）在点D 的运动过程中，△DE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BD 的度数；若不可以， 请说明理由． 例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题： “如图，BD 是正方形，点E 在B 上，DF⊥E 于F，请问图中是否存在一组全等三角形？” 小杰同学经过思考发现：△DF≌△EB． 理由如下：因为BD 是正方形（已知）所以∠B＝90°且D＝B 和D∥B 又因为DF⊥E（已知）即∠DF＝90°（垂直的意义） 所以∠DF＝∠B（等量代换） 又D∥B 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） 在△DF 和△EB 中 所以△DF≌△EB（S） 小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等． 你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△DF 全等的三角形，请能说出此线段 的做法吗？并说明理由． 例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①， ， ， ， ，垂足分别为 ， ， ， ．求 的长”，请直接写出此题答： 的长 为________． （2）探索证明：如图②，点 ， 在 的边 、 上， ，点 ， 在 内部的射 线 上，且 ．求证： ． （3）拓展应用：如图③，在 中， ， ．点 在边 上， ，点 、 在 线段 上， ．若 的面积为15，则 与 的面积之和为________． （直接填写结果，不需要写解答过程） 例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作一 条直线 ．（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于 点 如图（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关系会 发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ， 的关 系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明． 模型2 一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形 的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也 相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△E∽△BED 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△DE∽△BE 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若为B 的中点，结论：△E∽△BED∽△ED ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠BD=∠FE=∠BDE=90°结论：△B∽△BDE∽△BF∽△FB ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠BD=∠E=∠BDE=90°结论：△BM∽△DE∽△M 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了 如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点F 处，得到折痕 ，如图②． 根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ） ．3 B． ．2 D．1 例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图1，在 B 中，∠B＝90°， ＝k，直线l 经过点，BD⊥直线，E 上直线l，垂足分别为D、E． 求证： ＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1） 中的条件做以下修改：在 B 中， ＝k，D、、E 三点都在直线l 上，并且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 B 中，沿 B 的边B、向外作矩形BDE 和矩形FG， ＝ ＝ ，是B 边上的高，延长交EG 于点．①求证：是EG 的中点．②直接写出线段B 与之间的数量关系： ． 例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是 等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系． 问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系． 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值． 例4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点 是线段 上与点 ，点 不重合的任意一点，在 的同侧分别以 ， ， 为顶点作 ，其中 与 的一边分别是射线 和射线 ， 的 两边不在直线 上，我们规定这三个角互为等联角，点 为等联点，线段 为等联线． (1)如图2，在 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1， 为端点在格点的已知线段．请 用三种不同连接格点的方法，作出以线段 为等联线、某格点 为等联点的等联角，并标出等联角，保 留作图痕迹；(2)如图3，在 中， ， ，延长 至点 ，使 ，作 的等 联角 和 ．将 沿 折叠，使点 落在点 处，得到 ，再延长 交 的延长 线于 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ．①确定 的形状，并说明理由； ②若 ， ，求等联线 和线段 的长（用含 的式子表示）． 例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂 直模型”如图①，在 中， ， ，分别过 、 向经过点 直线作垂线，垂足分别 为 、 ，我们很容易发现结论： ． （1）探究问题：如果 ，其他条件不变，如图②，可得到结论； ．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，且两直线夹角为 ，且 ，请你求出直线 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形 中， ， ，点 为 边上—个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，当点 在矩形 外部时，连接 ， ．若 为直角三角形时，请你探究并直接写出 的长． 例6．（2023·江苏南京·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做 了如下探究： 【观察与猜想】(1)如图，在正方形 中， ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ，若 ，则 的值为___________；(2)如图 ，在矩形 中， ， ， 是 上的一 点，连接 ， ，若 ，则 的值为___________； 【类比探究】(3)如图，在四边形 中， ， 为 上一点，连接 ，过 作 的 垂线交 的延长线于 ，交 的延长线于 ，求证： ； 【拓展延伸】(4)如图4，在 中， ， ，将 沿 翻折， 落在 处，得 到 ， 为线段 上一动点，连接 ，作 ，交 于 ，垂足为 ，连接 ．若 ，则 的最小值为___________． 课后专项训练 1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形B 的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、B 作x 轴 的垂线，垂足为D、E，点的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 、 ， 轴，存在第一象限的一 点 使得 是以 为斜边的等腰直角三角形，则点 的坐标（ ）． ． 或 B． ． 或 D． 3．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形 的顶点 分别落在 轴 轴上， ， B=2B 则点 的坐标是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形BD 中，B＝6，B＝2，Rt△BEF 的顶点E 在边D 或延 长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝ ． 5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G 分别在正方形BD 的边B，B，D 上，F⊥EG．若B＝ 5，E＝DG＝1，则BF＝_____． 6．（2023·浙江九年级专题练习）如图， 为等边三角形，点D，E 分别在边B，上， ，将 沿直线DE 翻折得到 ，当点F 落在边B 上，且 时， 的值为 ． 7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形BD 中，B=8，D=4，E 为边D 上一个动点，连接BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连接F，在点E 从到D 的运动过程中，点G 的运动路径= ，△EF 面积的最小值是 ． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△B 中，B＝＝10，点D 是边B 上一动点（不与B、重合）， ∠DE＝∠B＝α，DE 交于点E，且s∠α＝ ，下列结论：①△DE∽△D；②当BD＝6 时，△BD 与△DE 全等； ③△DE 为直角三角形时，BD 为8 或 ；④0＜E≤64．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序 号都填上） 9．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板 ，若测得斜边 的两 端点到桌面的距离分别为 ， ．（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的 长． 10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知 和 均是直角三角形， ， ， 于点 ．（1）求证： ≌ ；（2）若点 是 的中点， ，求 的长． 11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一， 请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1， 是等腰直角三角形， ，E=BD，则 _______； ②如图2， 为正三角形， ，则 ________； ③如图3，正方形 的顶点B 在直线l 上，分别过点、作 于E， 于F．若 ， ，则 的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形 放在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为 ，则点 的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5 所示，在 中， ， ， 于E，D⊥E 于D， ， ，求 的长． 12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1， 于点M， 于点，B 的垂直平分线交M 于点P，连接P、BP．若 ，求证： ． 数学应用：如图2，在 中，D 是B 上一点， ， ， ，求 的面积． 实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实 美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3 是某地一省道与国道相交处 的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路Q、QB 以及 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设 计要求 ， ， 是以Q 为圆心、Q 为半径的圆弧（不计路宽，下同）． 请在图4 中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法， 不要求说明理由； 13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ．(1)由图1，证明： ； (2)当直线 绕点 旋转到图2 的位置时，请猜想出 ， ， 的等量关系并说明理由； (3)当直线 绕点 旋转到图3 的位置时，试问 ， ， 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个 等量关系（不必说明理由）． 14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在 中， ， ， 为直线 上一点，连接 ， 过点 作 交 于点 ，交 于点 ，在直线 上截取 ，连接 ． （1）当点 ， 都在线段 上时，如图①，求证： ； （2）当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线 上，点 在线段 的延长线上时，如图③，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明． 15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图，等腰直角 中， ， ，线段 经过点 ， 过作 于点 ，过 作 于 求证： ≌ ． （2）如图 ，已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 点 是平面直角坐标系中的一点，若 是以 为直角边的等腰直角三角形，求点 的坐标； （3）如图，已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，在等腰直角 中， ， ，点 在线段 上从 向 运动运动到点 停止，以点 为直角顶点向右上方做等腰直 角 ，求点 移动的距离． 16．（2022·河南新乡·二模）如图，△B 和△DE 是有公共顶点的两个等腰直角三角形，∠DE＝∠B＝90°，D ＝E，B＝＝6，D 在线段B 上，从B 到运动，点M 和点分别是边B，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是B 边的中点时， ＝ ，直线BD 与M 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解 决问题]若点D 是B 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由． (3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出点运动的路径长，及的最小值． 17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在正方形 中，E，F 分别是边 ， 上的点，连接 ， ， ． (1)若正方形 的边长为2，E 是 的中点．①如图1，当 时，求证： ； ②如图2，当 时，求 的长；(2)如图3，延长 ， 交于点G，当 时，求证： ． 18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在 中 ， ，点E 是线段 边上的一动点（不含B、两端点），连接 ，作 ，交线段 于点D． (1)求证： (2)设 ， ，请求y 与x 之间的函数关系式． (3)E 点在运动的过程中， 能否构成等腰三角形？若能，求出 的长；若不能，请说明理由． 19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线 与y 轴交于点，与x 轴交 于点B， ， 的面积为2． (1)如图1，求直线 的解析式．(2)如图2，线段 上有一点，直线 为 ， 轴， 将 绕点B 顺时针旋转 ，交 于点D，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示） (3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，交直线 于点E，若 ，求点E 的坐标． 20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形BD 中， ， ．点E 是线段D 上的动点（点E 不与点，D 重合），连接E，过点E 作 ，交B 于点F． (1)求证： ；(2)如图2，连接F，过点B 作 ，垂足为G，连接G．点M 是线段B 的中 点，连接GM．①求 的最小值；②当 取最小值时，求线段DE 的长．