专题19 全等与相似模型之一线三等角（K字）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题19 全等与相似模型之一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 一线三等角模型（全等模型）...........................................................................................................2 模型2 一线三等角模型（相似模型）.........................................................................................................11 ...............................................................................................................................................19 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ 模型1 一线三等角模型（全等模型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线 段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： ，E=DE； 结论： ，B+D=B。 2）一线三等角（K 型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： ，E=DE； 结论： ，B-D=B。 1）（同侧型）证明：∵∠E=∠B+∠BE，∠B=∠ED，∴∠E=∠ED+∠BE， ∠ ∵ E=∠ED+∠ED，∴∠BE=∠ED。 在△BE 和△ED 中，∠B=∠，∠BE=∠ED，E=ED；∴ ， ∴ ， ，∵B=BE+E，∴B+D=B。 2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ED=∠BE， ∵ ，∠ED=∠EB+∠ED， ， ∠ ∴ EB+∠=∠EB+∠ED，∴∠=∠ED， 在△BE 和△ED 中，∠=∠ED，∠ED=∠BE，E=ED；∴ ， ∴ ， ，∵B=E-BE，∴B-D=B。 例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角 中， ， ，D 为直线 上任意一 点，连接 ．将线段 绕点D 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ． 【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段 上时，线段 与 的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D 在线段 的延长线上时，先在图2 中补全图形，再探究线段 与 的数量关 系并证明； 【联系拓广】（3）若 ， ，请直接写出 的值． 例2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在B 中，B==2，∠B=40°，点D 在线段B 上运动（点D 不与点 B、重合），连接D，作∠DE=40°，DE 交线段于点E． （1）当∠BD=115°时，∠ED=______°，∠ED=______°； （2）线段D 的长度为何值时，△BD △ ≌DE，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△DE 的形状可以 是等腰三角形吗？若可以，求∠BD 的度数；若不可以，请说明理由． 例3．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，在正方形 中，点E，F 分别在对角线 和边 上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】（3）如图3，在正方形 中，点E 在对角线 上，点F 在边 的延长线上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 例4．（23-24 八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①， ，射线 在这个角的内部，点B、 分别在 的边 、 上，且 ， 于点F， 于点D．求证： ； （2）如图②，点B、分别在 的边 、 上，点E、F 都在 内部的射线 上， 、 分别是 、 的外角．已知 ，且 ．求证： ； （3）如图③，在 中， ， ．点D 在边 上， ，点E、F 在线段 上， ．若 的面积为17，求 与 的面积之和． 例5．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点在y 轴正半轴， 点在x 轴正半轴， 交y 轴于点E．(1)如图1，若点B 坐标为 ，直接写出 点的坐标 ，点的坐标 ；(2)如图2， 若点B 坐标为 ，过点B 作 交x 轴于点 D，设 的长为d，请用含m 的式子表示d；(3)如图3，若点 B 为第三象限内任意一点，过点B 作 交x 轴于点 D，判断 和 的数量关系，并给出证明． 模型2 一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”， 再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定 理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△E∽△BED。 证明：∵∠1+∠=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△E∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△DE∽△BE 证明：∵∠1=∠2，∴∠BE=∠ED（等角的补角相等），∴∠=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△E∽△BED。 ∵∠2=∠+∠EB（外角定理），∠3=∠DE+∠EB，∠2＝∠3∴∠=∠DE，∴△DE∽△BE 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若为B 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△E∽△BED∽△ED 证明：∵∠1+∠=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△E∽△BED。 ∴ ，∵为B 的中点，∴E=EB，∴ ，∴ ，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ED ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠BD=∠FE=∠BDE=90°结论：△B∽△BDE∽△BF∽△FB 证明：∵∠BD=∠FE=90°，∴∠BF+∠BF=90°，∠+∠BF=90°，∴∠BF=∠， ∵∠BD=∠BDE=90°，∴△B∽△BDE，∵∠BD=∠FE=90°，∴∠B=∠BF=90°， ∴△B∽△BF，同理可证：△B∽△FB°，故△B∽△BDE∽△BF∽△FB ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠BD=∠E=∠BDE=90°结论：△BM∽△DE∽△M 证明：∵∠BD=∠E=90°，∴∠BM=∠M=90°， ∵∠MB=∠M（对顶角相等）∴△BM∽△M 同理可证：△DE∽△M 故：△BM∽△DE∽△M 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操 作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点F 处，得到折痕 ，如图②． 根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ） ．3 B． ．2 D．1 例3．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1， 中， ， ，直 线过点 ，过点 、 分别作 于点 ， 于点 ，则 （不用证明）． (1)【类比探究】如图2，在 中， ，且 ，上述结论是否成立？若 成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论． (2)【拓展延伸】①如图3，在 中， ，且 ，猜想线段 、 、 之间有什么数量关系？并证明你的猜想． ②若图1 的 中， ， ，并将直线绕点 旋转一定角度后与斜边 相交，分 别过点 、 作直线的垂线，垂足分别为点 和点 ，请在备用图上画出图形，并直接写出线段 、 、 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）． 例4．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P 是 内部一点，在射线 上取点D、E，使得 ．求证： ； 【尝试应用】如图2，在 中， ， ，D 是 上一点，连接BD，在BD上取点 E、F，连接 ，使得 ．若 ，求CE的长； 【拓展提高】如图3，在 中， ， ，D 是 上一点，连接BD，在BD上取 点E，连接CE．若 ， ，求 的正切值． 例5．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在 中， ， ，点D 是线段 上的 一点，连接 ，过点B 作 ，分别交 、 于点E、F，与过点且垂直于 的直线相交于点 G，连接 ，下列结论错误的是（ ） ． B．若点D 是B 的中点，则 ．当B、、F、D 四点在同一个圆上时， D．若 ，则 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形 的边 上有一点 ，连接 ，把 绕点 逆时针旋 转 ，得到 ，连接 并延长与 的延长线交于点 ．则 的值为（ ） ． B． ． D． 2．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图， 中， ， ， 为线段 上一动点 （不与点 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ，以下四个结论： ① ；②当 为 中点时， ；③当 为等腰三角形时， ； ④当 时， ．其中正确的结论的个数是（ ） ． B． ． D． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点 ，与 关于y 轴对称，连结 ，现将线段 以 点为中心顺时针旋转 得 ，点 B 的对应点 的坐标为（ ） ． B． ． D． 4．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角 ， ， ， 点D 为 外一点， ，连接D， ， ，B 的长为 ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ， ， ， ， 和 都 是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ． 6．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（ ， ）放置在凹槽内，三个顶点，B，分别落在凹槽内壁上，若 ，测得 ， ，则该凹槽的宽度 的长为 ． 7．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形 绕点逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E 落 在边 上， 且点 D 巧合是 的中点， 若 则 的值为 ． 8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，将一张正方形纸片 折叠，折痕为 ，折叠后，点B 的对应 点落在正方形内部的点F 处，连接 并延长交 于点G．若 ， ，则 的长为 ． 9．（2024·四川成都·一模）已知等边 的边长为5，点M 在边 上运动，点在直线 上运动，将 沿着 翻折，使点落在直线 上的点 处，若 ，则 ． 10．（23-24 八年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识 AE BC 2 2 AD  EG ABC  AB ABC  MN A AN  之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了 一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容．“一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为 ，且它 们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在 全等三角形． 例如：如图1， ，过点作任意一条直线m， 于点D， 于点E，则三个直角的顶 点都在同一条直线m 上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果 ，那么由 ，可得 ，又因为 ，所以可得 ． 【模型应用】问题1：如图2，在 中， ， ，点D 为 上一点，连接 ． 过点B 作 于点E，过点作 交 的延长线于点F．若 ， ，求 的长． 问题2：如图3，在平面直角坐标系中， ， ．若 是以 为腰的等腰直角三角形，请 直接写出所有满足条件的点P 的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，已知 为等边三角形，点D，E，F 分别在三边上，且 ， ．求证： 是等边三角形． 11．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一， 请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1， 是等腰直角三角形， ，E=BD，则 _______； ②如图2， 为正三角形， ，则 ________； ③如图3，正方形 的顶点B 在直线l 上，分别过点、作 于E， 于F．若 ， ， 则 的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形 放在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为 ，则点 的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5 所示，在 中， ， ， 于E，D⊥E 于D， ， ，求 的长． 12．（2024·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠B＝90°）和一直线M．过点作 E⊥M 于点E，过点B 作BF⊥M 于点F．当点E 与点重合时（如图1），易证：F+BF＝2E． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 线段F、BF、E 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点顺时针旋转至图3 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 线段F、BF、E 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 13．（2024·浙江·校考一模）（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l 过点，过点作 ，过点B 作 ，垂足分别为D、E．求证： ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶 点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为 ，求点M 的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与y 轴交于点P，与x 轴交于点Q， 将直线 绕P 点沿逆时针方向旋转 后，所得的直线交x 轴于点R．求点R 的坐标． 14．（2024·北京校考·一模）已知梯形 中， ∥ ，且 ， ， ． ⑴如图，P 为 上的一点，满足∠BP=∠，求P 的长； ⑵如果点P 在 边上移动（点P 与点 不重合），且满足∠BPE=∠， 交直线 于点E，同时交直线 D 于点 ．①当点 在线段D 的延长线上时，设 ，Q=y，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；②写E=1 时，写出P 的长（不必写解答过程） 15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形 中， 分别在 上，将四边形 沿 翻折， 使 的对称点 落在 上， 的对称点为 交 于 ． (1)求证： ．(2)若 为 中点，且 ，求 长． (3)连接 ，若 为 中点， 为 中点，探究 与 大小关系并说明理由． 16．（2023 年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在 中， ， ， 是线段 上的一点，连接 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，与过点且垂直于 的直线 相交于点 ，连接 (1)求证： (2)若 是 的中点，求 的值．(3)若 ，求 的 值． 17．（2023 秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在 中， ， ，D 是 边上一点，F 是 边上一点， ．求证： ； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形BF 中，点D 是 边的中点， ，若 ， ，求线段 的长． 【拓展提高】（3）在 中． ， ，以为直角顶点作等腰直角三角形 ，点D 在 上，点E 在 上．若 ，求 的长． 18．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角 形纸片 和 叠放在一起，其中 ， ， ，顶点D 与边 的中点重合， 经过点， 交 于点G．求重叠部分（ ）的面积． (1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵ ，D 是 的中点，∴ ．∴ ． （依据：________________ ______） 又∵ ，∴ ．∴ ．∴_____________________． ∴ ．∴ ．又∵ ，∴G 是 的中点，∴ 为 中位线． ∴ ， ．∴ ． (2) “希望”学习小组受此问题的启发，将 绕点D 旋转，使 交 于点， 交 于点G， 如图2，请解决下列两个问题：①求证： ；②求出重叠部分（ ）的面积． (3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将 绕点D 旋转， ， 分别交于点M，， 当 是以 为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（ ）的面积是________． ABC  DEF  90 ACB E     8 AC FE   DE DF AC DCG △ AB DC DB DA   FDE B   90 AGD ACB     DC DA  DG ACD  1 1 8 4 2 2 CG AC   1 1 6 3 2 2 DG BC   DEF  DE AB