专题18 全等与相似模型之十字模型（解析版）

专题18 全等与相似模型之十字模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 模型1 正方形的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 1）如图1，在正方形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，E⊥BF；则 E=BF。 2）如图2，在正方形BD 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 3）如图3，在正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 例1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为12 的正方形纸片 的顶点折叠至 边上的点 E，使 ，若折痕为 ，则 的长为（ ） ．13 B．14 ．15 D．16 【答】 【分析】过点P 作PM⊥B 于点M，由折叠得到PQ⊥E，从而得到∠ED=∠PQ，可得△PQM≌△DE，从而得 到PQ=E，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P 作PM⊥B 于点M，由折叠得到PQ⊥E，∴∠DE+∠PQ=90°， 在正方形BD 中，D∥B，∠D=90°，D⊥B， ∴∠DE+∠ED=90°，∴∠ED=∠PQ，∴∠PQ=∠PQM，∴∠PQM=∠PQ=∠ED， ∵PM⊥B，∴PM=D，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△DE，∴PQ=E， 在 中， ，D=12，由勾股定理得： ， ∴PQ=13．故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△DE 是解题 的关键． 例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F 分别在边 ， 上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ． 【答】 【分析】根据题意证明 ， ，利用勾股定理即可求解． 【详解】解： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ．故答为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质 是解题的关键． 例3．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、分别是 的中 点， 交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】利用正方形的性质找条件证明 ，则 ，由 得到 ，则 ，即可判断①；连接 ，同理可得： ， ，在 中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，即 可判断④；可得 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到 ， 垂直平分 ， ；假设 ，推出矛盾，则 ，即可判断②；证明 是等腰三角形，由三线合 一可知 ，由 得到 ，由 得到 ， 由三角形外角的性质得到 ，即可判断③． 【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ， ， ∵点E、F、分别是 的中点，∴ ， 在 与 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ；故①正确；连接 ，如图所示： 同理可得： ， ，在 中，是 边的中点， ∴ ，即 ；故④正确； ∵ ，∴ 是等腰三角形，∴ ， 垂直平分 ， ∴ ； 若 ，则 是等边三角形，则 ， ， 则 ，而 ，与 矛盾， ∴ ，∴ ，∴ ，故②错误； ∵ ，∴ 是等腰三角形， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ；故③正确；正确的结论有3 个，故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的 性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 例4．（广西2022-2023 学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形BD 中，E 为边B 上一点（点E 不与点B 重合），连接DE，过点作 ，交B 于点F，证明： ． （2）探究：如图②，在正方形BD 中，E，F 分别为边B，D 上的点（点E，F 不与正方形的顶点重合）， 连接EF，作EF 的垂线分别交边D，B 于点G，，垂足为．若E 为B 中点， ， ，求G 的长． （3）应用：如图③，在正方形BD 中，点E，F 分别在B，D 上， ，BF，E 相交于点G．若 ，图中阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，则 的面积为______， 的周长为_____ _． 【答】（1）见解析；（2） ；（3） ， 【分析】感知：由正方形的性质得出D＝B，∠DE＝∠BF＝90°，证得∠DE＝∠BF，由S 证得△DE≌△BF （S），即可得出结论； 探究：分别过点、D 作 ，分别交B、B 于点、M，由正方形的性质得出 ，B ＝D，∠DB＝∠B＝90°，推出四边形DMEF 是平行四边形，ME＝DF＝1，DM＝EF，证出DM⊥G，同理， 四边形G 是平行四边形，G＝，⊥DM，证得∠DM＝∠B，由S 证得△DM≌△B，得出DM＝，推出DM＝ G，由E 为B 中点，得出E＝ B＝2，则M＝E﹣ME＝1，由勾股定理得出DM＝ ，即 可得出结果； 应用：S 正方形BD＝9，由阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白 部分的面积为3，由SS 证得△BE≌△BF，得出∠BE＝∠BF，S△BG＝S 四边形EGF，则S△BG＝ ，∠FB+∠BE ＝90°，则∠BGE＝90°，∠GB＝90°，设G＝，BG＝b，则 ，2b＝6，由勾股定理得出2+b2＝B2＝32， 2+2b+b2＝15，即（+b）2＝15，得出+b＝ ，即可得出结果． 【详解】证明：∵四边形BD 是正方形， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ≌ （S），∴ ． 探究：解：分别过点、D 作 ， ，分别交B、B 于点、M，如图②所示： ∵四边形BD 是正方形，∴ ， ， ， ∴四边形DMEF 是平行四边形，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ， 同理，四边形G 是平行四边形，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （S），∴ ，∴ ， ∵E 为B 中点，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 应用：解：∵B＝3，∴S 正方形BD＝3×3＝9， ∵阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为： ×9＝6，∴空白部分的面积为：9 6 ﹣＝3， 在△BE 和△BF 中， ，∴△BE≌△BF（SS）， ∴∠BE＝∠BF，S△BG＝S 四边形EGF， ∴S△BG＝ ×3＝ ，∠FB+∠BE＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠GB＝90°， 设G＝，BG＝b，则 b＝ ，∴2b＝6， ∵2+b2＝B2＝32，∴2+2b+b2＝32+6＝15，即（+b）2＝15，而 + ∴b＝ ，即BG+G＝ ，∴△BG 的周长为 +3，故答为： ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角 形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关 键． 模型2 矩形的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关 系。 如图1，在矩形BD 中，若E 是B 上的点，且DE⊥，则 如图2，在矩形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，且EF⊥，则 如图3，在矩形BD 中，若E、F、M、分别是B、D、D、B 上的点，且EF⊥M，则 例1．（22·23 下·广西·九年级期中）如图，把边长为 ， 且 的平行四边形 对 折，使点 和 重合，求折痕 的长． 【答】 【分析】先证明 ，得到 ，求出BE 和BF，然后得到BD，DG 和MG 的长度，再 利用全等三角形的性质，即可得到答． 【详解】解：如图，连接 与 交于点 ，并补全矩形为 ． ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 且 ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∵ ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． 【点睛】此题是折叠问题，考查折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和 性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到 ，从而求出所需边的长 度． 例2．（22·23 下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、 边上的点，当 时，证明： ． 【答】见解析 【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据余角的性质证明 ，再证明 即可证明结论成立． 【详解】证明：如解图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ，且四边形 为矩形， ∴ ，∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判 定与性质是解答本题的关键． 例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形 中， ， ， 是 边上的一个动点，将 矩形 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ． （1）如图1，当点 与点 重合时，则线段 _______________， _____________； （2）如图2，当点 与点 ， 均不重合时，取 的中点 ，连接并延长 与 的延长线交于点 ，连接 ， ， ． ①求证：四边形 是平行四边形：②当 时，求四边形 的面积． 【答】（1）2，4；（2）①见解析；② 【分析】（1）过点F 作F B ⊥，由翻折的性质可知：E＝E，∠FE＝∠FE，∠G＝∠＝90°根据平行线的性质和等 量代换可得∠FE＝∠FE，由等角对等边可得：F＝E，设E＝E＝x，BE＝6 x ﹣，在Rt BE △ 中，由勾股定理可得 关于x 的方程，解方程求得x 的值，进而可得BE、DF 的长，由矩形的判定可得四边形DF 是矩形，进而可 求F、E 的长，最后由勾股定理可得EF 的长； （2）①根据折叠的性质可得 ，进而可得 ，根据已知条件可得 ，从而易 证 ，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论； ②连接 与 交于点 ，则 且 ，又由①知： ， ，则 ， 继而易证∠MD＝PB，接根据三角函数求得PB，设 ，则 ，根据勾股定理可得关于x 的方 程，解方程可得PE 的长，继而代入数据即可求解． 【详解】解：（1） 2 ， 4 ；过点F 作F B ⊥， ∵折叠后点、P、重合∴E＝E，∠FE＝∠FE， D B FE ∵∥∴∠ ＝∠FE，∴∠FE＝∠FE，∴F＝E＝E， 设E＝E＝F＝x，BE＝B E ﹣＝6 x ﹣， 在Rt BE △ 中，由勾股定理可得 ，即 解得： x＝4，即E＝E＝F＝4 BE ∴ ＝2、DF＝2， D ∵∠＝∠＝∠F＝90°∴四边形DF 是矩形， F ∴＝ 、E＝B BE ﹣ ﹣＝6 2 2 ﹣﹣＝2 在Rt EF △ 中，由勾股定理可得: ＝4 （2）①证明：如图2，∵在矩形 中， ， 由折叠（轴对称）性质，得： ，∴ ， ∵点 是 的中点，∴ ，又 ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是平行四边形： ②如图2，连接 与 交于点 ，则 且 ， 又由①知： ，∴ ，则 ， 又 ，∴ ，∴ 在 ， ，而 ，∴ ， 又在 中，若设 ，则 ， 由勾股定理得： ，则 ，而 且 ， 又四边形 是平行四边形，∴四边形 的面积为 ． 【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判 定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线． 例4．（2022 年四川乐山中考数学适应性试卷）解答 (1)如图1，矩形BD 中，EF⊥G，EF 分别交B，D 于点E，F，G 分别交D，B 于点G，．求证： ；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，分别在边B，D 上，若 ，求 的值；(3)如图3 四边 形BD 中，∠B＝90°，B＝D＝10，M⊥D，点M，分别在边B，B 上，，求 的值． 【答】(1)见解析(2) (3) 【分析】（1）过点作P∥EF，交D 于P，过点B 作BQ∥G，交D 于Q，如图1，易证P＝EF，G＝BQ， △PD∽△QB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）只需运用（1）中的结论，就可得到 ，就可解决问题； （3）过点D 作平行于B 的直线，交过点平行于B 的直线于R，交B 的延长线于S，如图3，易证四边形 BSR 是矩形，由（1）中的结论可得 ．设S＝x，DS＝y，则R＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，在Rt△SD 中根据勾股定理可得x2+y2＝25①，在Rt△RD 中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，解①② 就可求出x，即可得到R，问题得以解决． 【详解】（1）解：过点作P∥EF，交D 于P，过点B 作BQ∥G，交D 于Q，如图1， ∵四边形BD 是矩形，∴B∥D，D∥B． ∴四边形EFP、四边形BGQ 都是平行四边形，∴P＝EF，G＝BQ． 又∵G⊥EF，∴P⊥BQ，∴∠QT+∠QT＝90°． ∵四边形BD 是矩形，∴∠DB＝∠D＝90°，∴∠DP+∠DP＝90°， ∴∠QT＝∠DP．∴△PD∽△QB，∴ ，∴ ； （2）如图2，∵EF⊥G，M⊥B， ∴由（1）中的结论可得 ， ，∴ ． （3）过点D 作平行于B 的直线，交过点平行于B 的直线于R，交B 的延长线于S，如图3， 则四边形BSR 是平行四边形．∵∠B＝90°，∴▱BSR 是矩形， ∴∠R＝∠S＝90°，RS＝B＝10，R＝BS． ∵M⊥D，∴由（1）中的结论可得 ． 设S＝x，DS＝y，则R＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△SD 中，x2+y2＝25①， 在Rt△RD 中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y 5③ ﹣ ， 解方程组 ，得 ，（舍去），或 ， ∴R＝5+x＝8，∴ ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等 知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 模型3 三角形的十字架模型（全等+相似模型） 1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）： 如图1，已知等边△B，BD=E（或D=E），则D=BE，且D 和BE 夹角为60°，△B。 2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 如图2，在△B 中，B=B，B⊥B，①D 为B 中点，②BF⊥D，③F：F=2：1，④∠BD=∠DF，⑤ ∠FB=∠FD，⑥∠E=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。 3）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形B 中，B=kB，B⊥B，D 为B 中点，BF⊥D，则F：F=2：k2，（相似） 例1（22-23 成都市八年级期中）如图，在等边△B 中，D、E 分别是B、上的点，且BD＝E，D 与BE 相交 于点P．下列结论：①E＝D；②P＝BE；③∠PE＝∠BE；④∠PB＝120°，其中正确的结论是________ （填序号） 【解答】解：①因为＝B，BD＝E，所以E＝D．故①正确， ②∵△B 是等边三角形，∴∠BD＝∠＝60°，B＝B． 在△BD 与△BE 中， ，∴△BD≌△BE（SS）；∴D＝BE．故②错误； ③由②知△BD≌△BE，所以∠DB＝∠BE，则∠PE＝∠BE，故③正确； ④∵由②知△BD≌△BE．∴∠BD＝∠EB，∴∠BD+∠BP＝∠BD＝60°． ∵∠PE 是△BP 的外角，∴∠PE＝∠BD+∠BP＝60°，∴∠PB＝120°，故④正确． 例2．（22·23 下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F 分别在，B 边上， ，连接F，BE，相交 于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ． 【答】(1) ；(2)见解析 【分析】（1）根据 证明 ，利用三角形的外角性质即可得解； （2）证明 ，利用对应边对应成比例列式即可． 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ ， ，∴ ． ∵ ∴ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条 件证明三角形全等是解题的关键． 例3．（22·23 下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6 的等边 中， 、 分别为边 、 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ＝ °；则 的周长为 ． 【答】 【分析】根据 证 ，得出 ，在 上取一点 使 ，则 ，证 ，根据比例关系设 ，则 ，作 延长线于 ，利 用勾股定理列方程求解即可得出 和 的长． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 在 上取一点 使 ，则 ， ， 是等边三角形， ，即 ， ， ，设 ，则 ，作 延长线于 ， ， ， ， ， ， 在 中， ，即 ，解得 或 （舍去）， ， ， 的周长为 ， 故答为： ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等 知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键． 例4．（22·23 下·六安·一模）如图1，等边 中，点D、E 分别在 上，且 ，连接 交于点 (1)求证： ；(2)如图2，连接 ，若 ，判断 与 的位置关系 并说明理由；(3)如图3，在 的条件下，点G 在 上， 的延长线交 于，当 时，请直 接写出线段F 的长． 【答】(1)详见解析(2) ，详见解析(3) 【分析】（1）因为 为等边三角形，所以 ， ，又 ，即可判 定 ≌ ，根据全等三角形的性质得出 ，利用三角形外角性质解答即可； （2）延长BE 至M，使 ，连接 ，取 的中点，连接 ，可证得 是等边三角 形，得出 ， ，再证得 ≌ ，推出 ， ，证得 ∽ ，推出 ，结合点是 的中点，得出 ， 是等边三角形，进而可得 ， ，推出 ，即 ；（3）延长BE 至M，使 ，连接 ，取 的中点K，连接 ，可得 ∽ ， ，推出 ，再由 是 的中位线，可得 ， ， ，再由 ∽ ，可得 ，进而可得 ，再证得 ，得出 【详解】（1） 为等边三角形， ， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ； （2） ，理由如下： 如图，延长BE 至M，使 ，连接 ，取 的中点，连接 ， 由 得： ， 是等边三角形， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ≌ ， ， ， ， ∴ ∽ ， ， ， ， ， ，即 ， ，即 ， ， 点是 的中点， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ；