模型04 一线三等角模型（原卷版）

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为锐角，则有△P∽△BPD． 模型介绍 3 C D B P A 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠P，∠＝180°－∠1－∠P，而∠1＝∠3 ∴∠＝∠DPB， ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C R【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 m2． 变式训练 【变式1-1】．如图，在线段BG 上，BD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7 平方厘米和 11 平方厘米，则△DE 的面积等于 平方厘米． 例题精讲 【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点与矩形BD 的顶点重合，直角顶点E 落在边B 上，另一顶点F 恰好落在边D 的中点处，若B＝12，则B 的长为 ． 【变式1-3】．如图，在矩形B 中，点的坐标是（﹣2，1），点的纵坐标是4，则B，两点 的坐标分别是（ ） ．（ ，3），（﹣ ，4） B．（ ，3），（﹣ ，4） ．（ ， ），（﹣ ，4） D．（ ， ），（﹣ ，4） 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，＝B，∠B＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的 图象经过，B 两点．若点的坐标为（，1），则k 的值为（ ） ． B． ． D． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 变式训练 【变式2-1】．如图，在△B 中，B＝，B＞B，点D 在边B 上，D＝3BD，点E、F 在线段D 上，∠1＝∠2＝∠B．若△B 的面积为12，则△F 与△BDE 的面积之和为 ． 【变式2-2】．如图，在等边△B 中，＝9，点在上，且＝3，点P 是B 上一动点，连接P， 以为圆心，P 长为半径画弧交B 于点D，连接PD，如果P＝PD，那么P 的长是 ． 【变式2-3】．如图1，在正方形BD 中，E 是边B 的中点，F 是D 上一点，已知∠EF＝ 90°． （1）求证： ＝ ； （2）平行四边形BD 中，E 是边B 上一点，F 是边D 上一点，∠FE＝∠D，∠EF＝90°． 如图2，若∠FE＝45°，求 的值． 1．如图，∠B＝90°，＝B，D⊥E，BE⊥E，垂足分别是点D、E，D＝7m，BE＝3m，则DE 的长是（ ） ．3m B．35m ．4m D．45m 2．如图，在矩形BD 中，B＝4， ，E 为D 边上一点，将△BE 沿BE 折叠，使得落到 矩形内点F 的位置，连接F，若 ，则E＝（ ） ． B． ． D． 3 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△B 的三个顶点分别 在这三条平行直线上，则sin α的值是（ ） ． 1 3 B 6 17 ．❑ √5 5 D ❑ √10 10 4．如图，在△B 中，∠＝90°，∠B＝30°，点D、E、F 分别为边、B、B 上的点，且△DEF 为 实战演练 等边三角形，若D＝ D．则 的值为（ ） ． B． ． D． 5．如图，在等边三角形B 中，B＝4，P 是边B 上一点，BP＝ ，D 是边B 上一点（点D 不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ 交边于点Q．若Q＝，满足条件的点D 有且只有 一个，则的值为（ ） ． B． ．2 D．3 6．△BDE 和△FG 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形B 内． 若求五边形DEF 的面积，则只需知道（ ） ．△B 的面积 B．△BFG 的面积 ．四边形FG 的周长 D．△BDE 的面积 7．如图，在正方形BD 中，B＝4，E 为B 边上一点，点F 在B 边上，且BF＝1，将点E 绕 着点F 顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG 的长的最小值为（ ） ．2 B．2 ．3 D． 8．设为坐标原点，点 、B 为抛物线y＝4x2上的两个动点，且⊥B．连接点 、B，过作⊥B 于点，则点到y 轴距离的最大值为（ ） ． B． ． D．1 9．如图，在△B 中，＝3，B＝4，∠＝90°，过B 的中点D 作DE⊥D，交B 于点E，则EB 的 长为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点（6，0），点B（0，2），点P 是直线y＝﹣x 1 ﹣上 一点，且∠BP＝45°，则点P 的坐标为 ． 11．已知反比例函数y＝ ，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y＝ 上找出一点 P，使∠PE＝45°，则此点P 的坐标为 ． 12．如图，四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，点E 是B 边上一点，△DE 是等边三角形，若 ， ＝ ． 13．如图，在△B 中，B＝，D、、E 三点都在直线m 上，并且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，若 DE＝10，BD＝3，求E 的长． 14．如图所示，边长为2 的等边三角形B 中，D 点在边B 上运动（不与B，重合），点E 在边B 的延长线上，点F 在边的延长线上，D＝DE＝DF． （1）若∠ED＝30°，则∠DB＝ °． （2）求证：△BED≌△DF． （3）点D 在B 边上从B 至的运动过程中，△BED 周长变化规律为 ． ．不变 B．一直变小 ．先变大后变小 D．先变小后变大 15．如图，在△B 中，已知B＝＝5，B＝6，且△B≌△DEF，将△DEF 与△B 重合在一起，△B 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边B 上沿B 到的方向运动，且DE 始终经过点，EF 与交于M 点． （1）求证：△BE∽△EM； （2）当线段BE 为何值时，线段M 最短，最短是多少？ （3）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长； 若不能，请说明理由． 16．如图①，正方形BD 中，点，B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点在第一象限． 动点P 在正方形BD 的边上，从点出发沿→B→→D→匀速运动，同时动点Q 以相同的速 度在x 轴正半轴上运动，当点P 到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）当P 点在边B 上运动时点Q 的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数 图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； （2）求正方形边长及顶点的坐标； （3）在（1）中，设△PQ 的面积为S，求S 与t 的函数关系式并写出自变量的取值范围． （4）如果点P、Q 保持原速度不变，当点P 沿→B→→D 匀速运动时，P 与PQ 能否相 等？若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由． 17．在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞0）与x 轴交于，B 两点 （点在点B 的左边），与y 轴交于点． （1）求线段B 的长（用含m 的代数式表示）； （2）当2≤m≤4 时，抛物线过点（，b）和（+5，b），求的取值范围； （3）如图，在y 轴上有一点P（0，3），当∠PB＝∠B 时，求m 的值．