专题19 全等与相似模型之一线三等角（K字）模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题19 全等与相似模型之一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 一线三等角模型（全等模型）...........................................................................................................2 模型2 一线三等角模型（相似模型）.........................................................................................................11 ...............................................................................................................................................19 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ 模型1 一线三等角模型（全等模型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线 段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： ，E=DE； 结论： ，B+D=B。 2）一线三等角（K 型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： ，E=DE； 结论： ，B-D=B。 1）（同侧型）证明：∵∠E=∠B+∠BE，∠B=∠ED，∴∠E=∠ED+∠BE， ∠ ∵ E=∠ED+∠ED，∴∠BE=∠ED。 在△BE 和△ED 中，∠B=∠，∠BE=∠ED，E=ED；∴ ， ∴ ， ，∵B=BE+E，∴B+D=B。 2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ED=∠BE， ∵ ，∠ED=∠EB+∠ED， ， ∠ ∴ EB+∠=∠EB+∠ED，∴∠=∠ED， 在△BE 和△ED 中，∠=∠ED，∠ED=∠BE，E=ED；∴ ， ∴ ， ，∵B=E-BE，∴B-D=B。 例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角 中， ， ，D 为直线 上任意一 点，连接 ．将线段 绕点D 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ． 【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段 上时，线段 与 的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D 在线段 的延长线上时，先在图2 中补全图形，再探究线段 与 的数量关 系并证明； 【联系拓广】（3）若 ， ，请直接写出 的值． 【答】（1） ；（2） ，补图及证明见解析；（3） 或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点 作 延长线于点 ，利用一线三垂直全等模型证明 ，再证明 即可；（2）同（1）中方法证明 ，再证明 即可； （3）分两种情况讨论：过点 作 延长线于点 ，求出 ， 即可． 【详解】解：（1）如图，过点 作 延长线于点 ， 由旋转得 ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为： ； （2）补全图形如图： ，理由如下：过点 作 交 于点 ， 由旋转得 ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ； （3）如图，当 在 的延长线上时，过点 作 于点 ，连接 ， 由（2）得 ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． 当 在 的延长线上时，过点 作 于点 ，如图，连接 ， 同理可得： ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ；综上： 或 例2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在B 中，B==2，∠B=40°，点D 在线段B 上运动（点D 不与点 B、重合），连接D，作∠DE=40°，DE 交线段于点E． （1）当∠BD=115°时，∠ED=______°，∠ED=______°； （2）线段D 的长度为何值时，△BD △ ≌DE，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△DE 的形状可以 是等腰三角形吗？若可以，求∠BD 的度数；若不可以，请说明理由． 【答】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80° 【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当D=2 时，利用∠DE+∠ED=140°， ∠DB+∠ED=140°，求出∠DB=∠DE，再利用B=D=2，即可得出△BD △ ≌DE． （3）当∠BD 的度数为110°或80°时，△DE 的形状是等腰三角形． 【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠DB=115°，∴∠BD=180°-∠B-∠DB=180°-115°-40°=25°， ∵B=，∴∠=∠B=40°，∵∠ED=180°-∠DB-∠DE=25°， ∠ ∴ DE=180°-∠ED-∠=115°，∴∠ED=180°-∠DE=180°-115°=65°； （2）当D=2 时，△BD △ ≌DE，理由：∵∠=40°，∴∠DE+∠ED=140°， 又∵∠DE=40°，∴∠DB+∠ED=140°，∴∠DB=∠DE，又∵B=D=2， 在△BD 和△DE 中， ∴△BD △ ≌DE（S）； （3）当∠BD 的度数为110°或80°时，△DE 的形状是等腰三角形， ∠ ∵ BD=110°时，∴∠D=70°， ∠ ∵ =40°，∴∠D=70°，∴△DE 的形状是等腰三角形； ∵当∠BD 的度数为80°时，∴∠D=100°， ∠ ∵ =40°，∴∠D=40°，∴△DE 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等 知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 例3．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，在正方形 中，点E，F 分别在对角线 和边 上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】（3）如图3，在正方形 中，点E 在对角线 上，点F 在边 的延长线上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【答】（1） ，理由见详解，（2） ，理由见详解，（3） ，理由见详解 【分析】（1）直接证明 ，即可证明；（2）过E 点作 于点M，过E 点作 于点，先证明 ，可得 ，结合等腰直角三角形的性质可得： ， ，即有 ， ，进而可得 ，即可证；（3）过点作 于点，过F 点 作 ，交 的延长线于点G，先证明 ，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1） ，理由如下： ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ； （2） ，理由如下：过E 点作 于点M，过E 点作 于点，如图， ∵四边形 是正方形， 是正方形的对角线，∴ ， 平分 ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ， ， ，∴四边形 是正方形， ∴ 是正方形 对角线， ，∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ，即有 ； （3） ，理由如下，过点作 于点，过F 点作 ，交 的延长线于点G， 如图，∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵在正方形 中， ，∴ ， ∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的 性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数 量关系，是解答本题的关键． 例4．（23-24 八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①， ，射线 在这个角的内部，点B、 分别在 的边 、 上，且 ， 于点F， 于点D．求证： ； （2）如图②，点B、分别在 的边 、 上，点E、F 都在 内部的射线 上， 、 分别是 、 的外角．已知 ，且 ．求证： ； （3）如图③，在 中， ， ．点D 在边 上， ，点E、F 在线段 上， ．若 的面积为17，求 与 的面积之和． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，三角形外角的性质，余角的性质， 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， ， ， ， ， ． （1）根据 证明三角形全等即可；（2）证明 ，得出 ， ，即可 得出结论；（3）根据 的面积为17， ，得出 的面积是： ，由 ，得出 ，根据 ，即可求出结果． 【详解】证明：（1）∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ； （2）∵ ， ， ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ，∴ ； ∴ ， ，∴ ； （3）∵ 的面积为17， ，∴ 的面积是： ， 根据解析（2）同理可证 ，∴ ， ∴ ． 例5．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点在y 轴正半轴， 点在x 轴正半轴， 交y 轴于点E．(1)如图1，若点B 坐标为 ，直接写出 点的坐标 ，点的坐标 ；(2)如图2， 若点B 坐标为 ，过点B 作 交x 轴于点 D，设 的长为d，请用含m 的式子表示d；(3)如图3，若点 B 为第三象限内任意一点，过点B 作 交x 轴于点 D，判断 和 的数量关系，并给出证明． 【答】(1) ， (2) (3) ，证明见解析 【分析】（1）过点 B 作 轴于点，证明 ，可得 ，即可；（2）过点B 作 轴于点， 轴于点 G， 连接 ，则 ，证明 ， 可得 ，由（1）得： ， ， ，然后根据 ，可得 ，即可求解；（3）在 上取 ，连接 ，证明 ，可得 ，从而得到 ，过点 B 作 交y 轴于点G，可证明 ，可得 ．再根据 ，可得 ，即可． 【详解】（1）解：过点 B 作 轴于点， 在 中， ，∵ ，∴ ， ∵点B 坐标为 ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ，∴ ， ，∴ ， ； （2）解：过点B 作 轴于点， 轴于点 G， 连接 ，则 ， ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∵点B 坐标为 ，∴ ，∴ ，∴ ， 由（1）得： ，∴ ， ， ， ， ， ，即 ； （3）解： ，证明如下：如图，在 上取 ，连接 ， ∵ ， ，∵ ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ， 过点 B 作 交y 轴于点G，∴ ， ∴ ，∴ ， 又∵ ， ∴ ，∴ ． 又 ∵ ， ∴ ，∴ ， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形等知识，得到全 等三角形是解题的的关键． 模型2 一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”， 再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定 理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△E∽△BED。 证明：∵∠1+∠=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△E∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△DE∽△BE 证明：∵∠1=∠2，∴∠BE=∠ED（等角的补角相等），∴∠=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△E∽△BED。 ∵∠2=∠+∠EB（外角定理），∠3=∠DE+∠EB，∠2＝∠3∴∠=∠DE，∴△DE∽△BE 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若为B 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△E∽△BED∽△ED 证明：∵∠1+∠=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△E∽△BED。 ∴ ，∵为B 的中点，∴E=EB，∴ ，∴ ，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ED ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠BD=∠FE=∠BDE=90°结论：△B∽△BDE∽△BF∽△FB 证明：∵∠BD=∠FE=90°，∴∠BF+∠BF=90°，∠+∠BF=90°，∴∠BF=∠， ∵∠BD=∠BDE=90°，∴△B∽△BDE，∵∠BD=∠FE=90°，∴∠B=∠BF=90°， ∴△B∽△BF，同理可证：△B∽△FB°，故△B∽△BDE∽△BF∽△FB ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠BD=∠E=∠BDE=90°结论：△BM∽△DE∽△M 证明：∵∠BD=∠E=90°，∴∠BM=∠M=90°， ∵∠MB=∠M（对顶角相等）∴△BM∽△M 同理可证：△DE∽△M 故：△BM∽△DE∽△M 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】证明 ，根据题意得出 ，进而即可求解． 【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ∴ ∵ ，∴ ，∴ ∵ ∴ ，故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是 解题的关键． 例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操 作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点F 处，得到折痕 ，如图②． 根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ） ．3 B． ．2 D．1 【答】 【分析】根据折叠的性质得： ， ， ，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，再证明 ，得 ，求解即可． 【详解】解：如图，过点 作 ，交 于点 ， 在 和 中， 设 ，则 ， ，即： ，解得： ， ， ， ， ， ， ，故选：． 【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并 能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键． 例3．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1， 中， ， ，直 线过点 ，过点 、 分别作 于点 ， 于点 ，则 （不用证明）． (1)【类比探究】如图2，在 中， ，且 ，上述结论是否成立？若 成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论． (2)【拓展延伸】①如图3，在 中， ，且 ，猜想线段 、 、 之间有什么数量关系？并证明你的猜想． ②若图1 的 中， ， ，并将直线绕点 旋转一定角度后与斜边 相交，分 别过点 、 作直线的垂线，垂足分别为点 和点 ，请在备用图上画出图形，并直接写出线段 、 、 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）． 【答】(1)成立，见解析 (2)① ，见解析；② 或 【分析】（1）易证 ，则有 ， ，从而可得 ； （2）①易证 ，则有 ，从而可得 ， ，即可得到 ；②同①可得 ， ．由于直线在绕着点 旋转过程中，点 到 直线的距离 与点 到直线的距离 大小关系会发生变化，因此需分情况讨论（如图4、图 ，然后 只需结合图形就可解决问题． 【详解】（1）猜想 ．理由：如图2， ， ． ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ； （2）①猜想： ．理由：如图3， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ； ② 或 ．同①可得： ， ． 如图4， ；如图5， ． 【点睛】本题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角 和定理、平角的定义等知识，考查了探究能力，渗透分类讨论的思想以及特殊到一般的思想，是一道好题． 例4．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P 是 内部一点，在射线 上取点D、E，使得 ．求证： ； 【尝试应用】如图2，在 中， ， ，D 是 上一点，连接BD，在BD上取点 E、F，连接 ，使得 ．若 ，求CE的长； 【拓展提高】如图3，在 中， ， ，D 是 上一点，连接BD，在BD上取 点E，连接CE．若 ， ，求 的正切值． 【答】【基础巩固】见解析 【尝试应用】 【拓展提高】 【分析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可 得 ， ,再推导 ，然后利用等腰三角形的性质得到 ，计算解题；【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使 ，作 于点 ，则可得到 ，即 ， ，进而证明 ，得到 ，设 ，可以求出 解题即可． 【详解】【基础巩固】证明：∵ , ，∴ , 又∵ , , ，∴ ,∴ 【尝试应用】解：∵ , ∴ ， ,即： ， 又∵ ， ，即： ， 又 ∴ , 又∵ ， ， ∴ ,∴ ,∴ ，∴ ，故E 的长为：