重难点突破05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题（原卷版）

重难点突破05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题 目 录 题型01 平行y 轴动线段最大值与最小值问题 题型02 抛物线上的点到某一直线的距离问题 题型03 已知点关于直线对称点问题 题型04 特殊角度存在性问题 题型05 将军饮马模型解决存在性问题 题型06 二次函数中面积存在性问题 题型07 二次函数中等腰三角形存在性问题 题型08 二次函数中直角三角形存在性问题 题型09 二次函数中全等三角形存在性问题 题型10 二次函数中相似三角形存在性问题 题型11 二次函数中平行四边形存在性问题 题型12 二次函数中矩形存在性问题 题型13 二次函数中菱形存在性问题 题型14 二次函数中正方形存在性问题 二次函数常见存在性问题： （1）等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的 距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来 【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m 字母的函数解析 式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式” （2）平行y 轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用 纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值 （3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率 之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标 （4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数 解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解 （5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用 与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形 2 二次函数与三角形综合 (1)将军饮马问题:本考点主要分为两类： ①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小; ②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性 (2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形， 在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各 部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二 次函数的性质求出面积的最值及动点坐标 (3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型 来进行计算 问题 分情况 找点 画图 解法 等 腰 三 已知点，B 和直线 以B 为 腰 分别以点，B 为圆 心，以B 长为半径画 圆，与已知直线的交 分别表示出点，B，P 的坐 标，再表示出线段B，BP， P 的长度，由①B＝P；②B 角 形 l，在l 上求点P，使 △PB 为等腰三角形 点P1，P2，P4，P5即 为所求 ＝BP；③BP＝P 列方程解 出坐标 以B 为 底 作线段B 的垂直平 分线，与已知直线的 交点P3 即为所求 分别表示出点，B，P 的坐 标，再表示出线段B ， BP，P 的长度，由①B＝ P；②B＝BP；③BP＝P 列方程解出坐标 问题 分情况 找点 画图 解法 直 角 三 角 形 已知点，B 和直线l， 在l 上求点P，使△PB 为直角三角形 以B 为 直角边 分别过点，B 作B 的 垂线，与已知直线的 交点P1，P4 即为所 求 分别表示出点，B，P 的坐 标，再表示出线段B ， BP，P 的长度，由①B2＝ BP2 ＋P2 ；②BP2 ＝B2 ＋ P2；③P2＝B2＋BP2列方程 解出坐标 以 B 为斜边 以B 的中点Q 为圆 心，Q 为半径作圆， 与已知直线的交点 P2，P3 即为所求 注：其他常见解题思路有： ①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解； ②平移垂线法：若以B 为直角边，且B 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点与B 垂直的直线)，可将这 条直线分别平移至过点或点B 得到相应解析式，再联立方程求解． （4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但 在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算 情况一 探究三角形相似的存在性问题的一般思路： 解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准， 一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下： ①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文 字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考 虑不同的对应关系，分情况讨论； ②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出 对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对 应来分类讨论； ③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来 (其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过 计算得出相应的点的坐标． 情况二 探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外， 还至少要找一组对应边相等． 3 二次函数与四边形的综合问题 特殊四边形的探究问题解题步骤如下： ①先假设结论成立； ②设出点坐标，求边长； ③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边 形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论： 探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的 对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形 对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边 作为一边或对角线分情况讨论． b 探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角 线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式． 探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长 度，令其相等，得到方程再求解． d 探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系 式求解 题型01 平行y 轴动线段最大值与最小值问题 1．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线y = x 2＋bx＋c与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点， OA=OC=3，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在AC下方的抛物线上有一点，过点作直线l∥y轴，交AC与点M，当点坐标为多少时，线段MN的长 度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使，B，K，L 为顶点形成平行四边形，求出K，L 点的 坐标． (4)在y 轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理 由． 2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，抛物线与x 轴相交于点、B（点在点B 的左侧），与y 轴的交于点 C (0，−4 )，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m，过点P 作直线PD⊥x轴于 点D，作直线AC交PD于点E．已知抛物线的顶点P 坐标为(−3，−25 4 )． (1)求抛物线的解析式； (2)求点、B 的坐标和直线AC的解析式； (3)求当线段CP=CE时m 的值； (4)连接BC，过点P 作直线l∥BC交y 轴于点F，试探究：在点P 运动过程中是否存在m，使得CE=DF， 若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023·山东聊城·统考三模）抛物线y=−x 2+bx+c与x 轴交于点A (3,0)，与y 轴交于点C (0,3)，点P 为抛物线上的动点． (1)求b，的值； (2)若P 为直线AC上方抛物线上的动点，作PH ∥x轴交直线AC于点，求PH的最大值； (3)点为抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使直线AC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点的纵 坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 抛物线上的点到某一直线的距离问题 4．（2023·广东梅州·统考二模）探究求新：已知抛物线G1: y= 1 4 x 2+3 x−2，将抛物线G1平移可得到抛 物线G2: y= 1 4 x 2． (1)求抛物线G1平移得到抛物线G2的平移路径； (2)设T (0,t )，直线l：y=−t，是否存在这样的t，使得抛物线G2上任意一点到T的距离等于到直线l的距 离？若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由； (3)设H (0,1)，Q (1,8)，M 为抛物线G2上一动点，试求QM +MH的最小值． 参考公式：若点M (x1, y1)，N (x2, y2)为平面上两点，则有MN=❑ √(x1−x2)²+( y1−y2)² ． 5．（2023·湖北宜昌·统考一模）如图，已知：点P是直线l：y=x−2上的一动点，其横坐标为m（m是常 数），点M是抛物线C：y=x 2+2mx−2m+2的顶点． (1)求点M的坐标；（用含m的式子表示） (2)当点P在直线l运动时，抛物线C始终经过一个定点N，求点N的坐标，并判断点N是否是点M的最高位 置？ (3)当点P在直线l运动时，点M也随之运动，此时直线l与抛物线C有两个交点A，B（A，B可以重合）， A，B两点到y轴的距离之和为d． ①求m 的取值范围； ②求d 的最小值． 6．（2023·云南楚雄·统考一模）抛物线y=x 2−2 x−3交x 轴于，B 两点（在B 的左边），是第一象限抛物 线上一点，直线AC交y 轴于点P． (1)直接写出，B 两点的坐标； (2)如图①，当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D 两点到AC的距离相等，求出所有 满足条件的点D 的横坐标； (3)如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y 轴于点F，点的横坐标为m，求FP OP 的值（用含m 的式子表示）． 题型03 已知点关于直线对称点问题 7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x 2+bx−c的图象与x轴 交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y 轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC : y=x+3交于点D，若点M 是直线AC上方抛物线上的一个 动点，求△MCD面积的最大值． (3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与 点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）已知抛物线y=x 2+bx+c与x 轴相交于A (−1，0)，B 两点，与y 轴 相交于点C (0，−3)． (1)求b，的值； (2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式； (3)在（2）的条件下，设E 是直线BC上一点，点P 关于AE的对称点为点P '，试探究，是否存在满足条件 的点E，使得点P '恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P '的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图是由抛物线y=−x 2+m的一部 分及其关于直线y=−x的对称图形组成，点E、F 是“爱心”图与其对称轴的两个交点，点、B、、D 是该 图与坐标轴的交点，且点D 的坐标为 (❑ √6,0)． (1)求m 的值及的长； (2)求EF的长； (3)若点P 是该图上的一动点，点P、点Q 关于直线y=−x对称，连接PQ，求PQ的最大值及此时Q 点的 坐标． 题型04 特殊角度存在性问题 10．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，抛物线y=1 8 x 2+ 3 4 x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C．P是直线AC下方抛物线上一个动点，过点P作直线l∥BC，交AC于点D，过点P作PE⊥x轴，垂足 为E，PE交AC于点F． (1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线AC的函数表达式； (2)当线段PF取最大值时，求△DPF的面积； (3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠CAQ=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由． 11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）综合与探究 如图，抛物线y=a x 2+bx+3与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A (−6,0)， D (−1,5)两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作PE⊥AD于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； (3)连接BC，OP，试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得∠OPE=∠BCO，若存在，请直 接写出m的值；若不存在，请说明理由． 12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线y=a x 2+bx+4与x轴相交于点A (1,0)，B (4,0)，与y轴 相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PA PC 的值； (3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=1 2 ？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 题型05 将军饮马模型解决存在性问题 13．（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=a x 2+bx+2与x 轴交于点A (−3,0),B (1,0)，与y 轴交于点． (1) (2)求抛物线的解析式 (3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M 的坐标和△MBC的周长 (4)若点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、、 P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q 的坐标，若不存在请说明理由． 14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，抛物线y=−1 2 x 2+bx+c交x轴于点A ，B，交y轴于点C，连 接AC，点的坐标为(−2,0)，抛物线的对称轴为直线x=1． (1)求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)在直线x=1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标； (3)将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与抛物线有唯一交点，请直接写出a的取值范围． 15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx 3 ﹣的图象与x 轴交于点（1，0）和 点B（3，0），与y 轴交于点，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M，使△M 的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小 值； （3）如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线B 于F、G．设点P 的横坐标 为m．是否存在点P，使△FG 是等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 题型06 二次函数中面积存在性问题 16．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+bx+8交x轴于A、 B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC，tan∠ABC=2． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1:2的两部分，若存在，求点G的横坐标； 若不存在，请说明理由． 17．（2023·广东汕头·统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1， tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=a x 2+bx+c经过点A、 B、C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， ①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理 由． ②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P 的坐标； ． 18．（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，抛物线y=a x 2+bx+3经过A (−1，0)、B (3，0)两点，交y 轴于，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x 轴交于点，连接PB． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在， 说明理由． (3)抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE=45°，请求出点G 的坐标． 19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y关于x的函数y=(a−2) x 2+(a+1) x+b． (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4 b，则a的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A (−2,0)，B (4,0)，并与动直线l: x=m(0<m<4) 交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1， △CDE的面积为S2． ①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积； ②探究直线l在运动过程中，S1−S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 题型07 二次函数中等腰三角形存在性问题 20．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 y=−x 2−2 x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在， 求出点K的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否