模型17 全等三角形——胖瘦模型（SSA）-解析版

全等三角形 模型（十七）——胖瘦模型（SS） 【条件】如图，B=，点P 在线段B 上（P 不是线段B 的中点） 胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补 分析：△PB 与△P 并不全等 B＝ 2 条边对应相等 P＝P 1 个角相等 胖瘦模型 ∠B＝∠ 2 个角互补 ∠P＋∠PB＝180° ◎结论1：（变胖）如图， △BQ≌△P ,P=Q 思路：取Q＝BP,△BP △Q ≌ ， P＝Q,△BQ △P, ≌ 相当于△BP(加了△PQ）变胖了， 1、变胖（加等腰） 2、变瘦（减等腰） 3、找中间（加减后得直角三角形） 进而△BQ≌△P ◎结论2：（变瘦）如图， △BP≌△Q ,P=Q 思路：取Q＝BP,△BP △Q ≌ ， P＝Q, 相当于△P(减了△PQ）变瘦了， 进而△BP≌△Q ◎结论3：（找中间状态）如图， △BM≌△M 思路： 过作M⊥B，垂足为M，则△BM≌△M 相当于△BP（加了△PM）变胖了， 相当于△P（减了△PM）变瘦了 胖的比瘦的多一个等腰三角形， 瘦的加了一个直角三角形， 胖的减了一个直角三角形 见胖瘦， 变胖加等腰，变瘦减等腰， 中间状态加、减直角三角形。 【总结】满足的条件为 SS 1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△BE 中，D、分别在E、BE 上且D＝B，平分∠EB，⊥B 于点． (1)求证： ； (2)若D＝3，B＝8，求的长． 【答】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点 作 于点 ，先根据角平分线的性质可得 ，再根据 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得证； （2）过点 作 于点 ，先根据全等三角形的性质可得 ，设 ，则 ， ，再根据 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，据此建立方程， 解方程即可得． （1） 证明：如图，过点 作 于点 ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ， ， ． （2） 解：如图，过点 作 于点 ， 由（1）已证： ， ， 设 ，则 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 解得 ， 即 的长为 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解 题关键． 2．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，D 平分∠M， ， ，垂足分别为B，，E 为线段B 上一 点，在射线上有一点F，并使得 与 全等，若 ，则线段E 与F 的有怎样的数量关系，并说明理由． 【答】 或 ，理由见解析 【分析】分点F 在点左侧时和点F 在点右侧时两种情况，根据全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：有两种情况： 或 ， 理由：∵D 平分 ， ， ， ∴ ，∠D=∠D=∠DBE=90°， 当 =3 时， ， 此时，点F 可在点左侧，也可在点右侧，如图， 当点F 可在点左侧时， 在Rt△BD 和Rt△D 中， ∵DB=B,D=D， Rt ∴ △BD Rt ≌ △D（L）， ∴B=， ∴ ； 当点F 可在点右侧时，由（1）知，=B=E+3， ∴E+6=F， 即 ； ∴线段E 与F 的数量关系是： 或 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，利用角平分线的性质证得DB=D 是解题关键， 注意分类讨论思想的运用． 3．（2022·江西抚州·八年级期中）如图，已知点是 的平分线上一点， 于E，B、D 分别在M、上， 且 ．问： 和 有何数量关系？并说明理由． 【答】∠1 与∠2 互补，理由见解析 【分析】作F⊥于F，证明Rt△F≌Rt△E 得到F=E，再证明△DF≌△BE，得到F=E，由已知条件从而证得． 【详解】解：∠1 与∠2 互补，理由是： 如图，作F⊥于F， 3= 4 ∵∠ ∠，E⊥M， ∴F=E，∠F=∠E=90°， ∴Rt△F≌Rt△E（L）， ∴F=E， ∵E= （D+B）= （F-DF+E+EB）=E+ （BE-DF）， ∴BE-DF=0， ∴BE=DF， ∴△DF≌△BE（SS）， 5= 2 ∴∠ ∠， 1+ 5=180° ∵∠ ∠ ， 1+ 2=180° ∴∠ ∠ ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线性质，作辅助线得到三角形全等， 并利用已知条件来求解是解题的关键． 1．（2022·江苏·八年级单元测试）已知：如图，△B 中∠B 的平分线与B 的垂直平分线交于点D，DE⊥B 于点E， DF⊥的延长线于点F． (1)求证：BE＝F； (2)若B=16，F=2，求的长． 【答】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接BD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，D=DB，利用L 可证 Rt△DF≌Rt△DBE，从而证出结论； （2）利用L 可证Rt△DF≌Rt△DE，利用全等三角形的性质即可求解． （1） 连接DB， ∵点D 在∠B 的平分线上，DE⊥B，DF⊥， ∴DE=DF， ∵点D 在B 的垂直平分线上， ∴DB=D， 在Rt△DF 与Rt△DBE 中， DE=DF，DB=D， ∴Rt△DF≌Rt△DBE（L）， ∴F=BE； （2） ∵F=BE=2，B=16， ∴E=B-BE=16-2=14， 在Rt△DF 与Rt△DE 中， DE=DF，D=D， ∴Rt△DF≌Rt△DE（L）， ∴F=E=14， = ∴F-F=14-2=12． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、 垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键． 2．（2022·江苏·八年级单元测试）在△B 中，B=，过点作射线B′，使∠B′=∠B（点B′与点B 在直线的异侧）点D 是 射线B′上一动点（不与点重合），点E 在线段B 上，且∠DE+∠D=90°． (1)如图1，当点E 与点重合时，D 与 的位置关系是______，若 ，则D 的长为______；（用含的式子表 示） (2)如图2，当点E 与点不重合时，连接DE． ①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE，D，DE 之间的数量关系，并证明． 【答】(1)D⊥B′； ； (2)①∠B=2∠DE，理由见解析；②BE=D+DE，理由见解析 【分析】（1）先证明∠D=90°，再过点作F⊥B 于点F，根据角平分线的性质，证明△D≌△F(L)，即可求解； （2）①∠B′=∠B=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°- ∠B，再由∠DE+∠D=90°，推出∠D=90°-∠DE=α，进 一步计算即可求解； ②在B 上截取BG=D，先后证明△BG≌△D(SS)，△GE≌△DE (SS)，即可求解． （1） 解：∵点E 与点重合，且∠DE+∠D=90°， ∴∠D=90°， ∴D⊥B′； 过点作F⊥B 于点F， ∵B=， ∴F=BF= B= ， ∵∠B′=∠B，F⊥B，D⊥B′， ∴F= D， ∴△D≌△F(L)， ∴D=F= ， 故答为：D⊥B′； ； （2） 解：①∠B=2∠DE，理由如下： 设∠B′=∠B=α=∠B， ∴∠B+∠B=180°-∠B，即α=90°- ∠B， ∵∠DE+∠D=90°， ∴∠D=90°-∠DE=α， 90°- ∴ ∠B=90°-∠DE， ∴∠B=2∠DE； ②BE=D+DE，理由如下： 在B 上截取BG=D， 在△BG 和△D 中， ， ∴△BG≌△D(SS)， ∴G=D，∠BG=∠D， ∵∠B=∠BG+∠G，∠GD=∠D+∠G， ∴∠B=∠GD， ∵∠B=2∠DE， ∴∠GD=2∠DE， ∴∠GE=∠DE， 在△GE 和△DE 中， ， ∴△GE≌△DE (SS)， ∴GE=DE， ∴BE=BG+G=D+DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的 关键． 3．（2022·吉林四平·八年级期末）如图，已知B 平分∠B，P 为B 上的一点，PF⊥B 于F，P=P． (1)求证：∠PB+∠BP=180°； (2)线段BF、B、B 之间有怎样的数量关系？请直接写出你探究的结论：_____________________． 【答】(1)见解析 (2)2BF=B+B 【分析】（1）过作PD⊥B 于点D，由角平分线的性质可得PD=PF，由“L”可证RtΔDP Rt ≌ ΔFP，可得∠1=∠BP， 即可得结论； （2）由Rt△DP Rt ≌ △FP 可得出D=F，PD=PF，结合PB=PB 即可证出Rt△BPD Rt ≌ △BPF，进而得出BD=BF，再 根据边与边之间的关系即可得出2BF=B+B． （1）证明：作PD⊥B 于点D， ∵B 平分∠B，PF⊥B，∴PD=PF．又∵P=P， ∴Rt△DP Rt ≌ △FP(L)，∴∠1=∠BP，∵∠PB+ 1=180° ∠ ，∴∠PB+∠BP=180°； （2）解：2BF=B+B．由（1）知：Rt△DP Rt ≌ △FP，PD=PF，∴D=F，∵BP=BP，∴Rt△BPD Rt ≌ △BPF（L）， ∴BD=BF，∴2BF=BD+BF=B-D+B+F=B+B，∴2BF=B+B．故答为：2BF=B+B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的关键是：（1）利用L 证明 Rt△DP Rt ≌ △FP；（2）利用L 证明Rt△BPD Rt ≌ △BPF． 1．如图，△B 中，D 平分 ， 且平分B， 于E， 于F． (1)证明： ； (2)如果 ， ，求E、BE 的长． 【答】(1)见解析 (2)E=4，BE=1 【分析】（1）连接BD、D，先由垂直平分线性质得BD=D，再由角平分线性质得DE=F，然后证 Rt△BED≌Rt△FD（L），即可得出结论； （2）证明Rt△ED≌Rt△FD（L），得E=F，则F=F-=E-，又因为BE=B-E，由（1）知BE=F，则B-E= E-，代入 B、值即可求得E 长，继而求得BE 长． （1） 证明：如图，连接BD、D， ∵ 且平分B， ∴BD=D， ∵D 平分 ， 于E， 于F， ∴DE=F，∠DEB=∠DF=90°， 在Rt△BED 与Rt△FD 中， ， ∴Rt△BED≌Rt△FD（L）， ∴BE=F； （2） 解：∵D 平分 ， 于E， 于F， ∴DE=F，∠DEB=∠DF=90°， 在Rt△ED 与Rt△FD 中， ， ∴Rt△ED≌Rt△FD（L）， ∴E=F， ∴F=F-=E-， 由（1）知：BE=F， ∴B-E=E- 即5-E=E-3， ∴E=4， ∴BE=B-E=5-4=1， 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性 质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 2．如图，在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点 ， 于点 ， ， 交 的延长线于点 ． (1)若点 到直线 的距离为5m，求点 到直线 的距离； (2)求证：点 在 的平分线上． 【答】(1)5m； (2)见解析． 【分析】（1）过点 作 于 ，根据角平分线的性质即可解答； （2）根据角平分线的性质得到 ，进而得到 ，根据角平分线的判定定理即可证明． （1） 解：过点 作 于 ， 点 在 的平分线， ， ， m， 即点 到直线 的距离为 ； （2） 证明： 点 在 的平分线， ， ， ， 同理： ， ， ， ， 点 在 的平分线上． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题 关键． 3．如图，在四边形 中， 平分 于F， ，交 的延长线于点E． (1)求证： ； (2)猜想 与 存在的的数量关系并证明； (3)若 ，请用含有m，的式子直接写出 的值． 【答】(1)见解析 (2) ，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质得出 ， ，由等量代换即可证明； （2）先由全等三角形的判定和性质得出 ， ，结合图形利用等量代换 即可证明； （3）设 ，由全等的性质可得 ，然后结合图形求解即可． （1）证明：∵ 平分 于F， ∴ 在 和 中 ∴ ∴ 又∵ ∴ （2） 在 和 中 ∴ ∴ 又由 （1）得 ∴ 又 ∴ ∴ （3）解：设 ，由（1）得： ，∴ ，同理： ，即 即m+s=-s，∴s= ，即 ． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的计算，三角形面积的计算等，理解题意，熟练掌握 运用全等三角形的判定和性质是解题关键．