模型11 全等三角形—— K型模型-解析版

全等三角形 模型（十一）—— K 型模型 ◎结论1：如图所示，B⊥D 且B=D，B⊥E，DE⊥E 则△B≌△DE，E=DE＋B 【证明】∵B⊥E，DE⊥E，B⊥D， ∴∠=∠BD=∠E=90°， ∠1+∠3=∠1+∠2=90° ∴ ，∴∠2=∠3 在△B 和△DE 中， ∠= ∠E=90° ∠2=∠3 B=D, △B △DE ∴ ≌ （S）， =DE ∴ ，B=E， E=+E=B+DE ∴ ◎结论2：如图所示，B⊥D 且B=D，B⊥，DE⊥ 长手+短手 则△B≌△DE，E= DE -B 【证明】 证明同上，△B≌△DE，=DE，B=E E= -E= DE -B 长手-短手 1．（2021·福建·福州院二附中八年级期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不 小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果 每块砖的厚度＝8m，则DE 的长为（ ） ．40m B．48m ．56m D．64m 【答】 【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠B＝90°，＝B，因此可以考虑证明△D 和△BE 全等，可以证明DE 的长为7 块砖的厚度的和． 【分析】解：由题意得∠D＝∠EB＝∠B＝90°，＝B， ∴∠D＝90°﹣∠BE＝∠BE， 在△D 和△BE 中， ， ∴△D≌△BE（S）， ∴D＝BE＝3，D＝E＝4， ∴DE＝D+E＝3+4＝7， ∵＝8m， 7 ∴＝56m， ∴DE＝56m， 故选． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判 定条件． 2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，＝E，∠E＝90°，B⊥BD，ED⊥BD，B＝6m，DE＝2m，则BD 等 于（ ） ．6m B．8m ．10m D．4m 【答】B 【分析】根据题意证明 即可得出结论． 【详解】解：∵B⊥BD，ED⊥BD， ∴ ， ∵∠E＝90°， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的 关键． 3．（2022·江西上饶·八年级期中）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)， ∠B＝90°，＝B，从三角板的刻度可知B＝20m，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为 砌墙砖块厚度的平方的是（ ）． ． m2 B． m2 ． m2 D． m2 【答】 【分析】设每块砖的厚度为xm，则D=3xm，BE=2xm，然后证明△D≌△EB 得到D=BE=2xm，再利用勾股定 理求解即可． 【详解】解：设每块砖的厚度为xm，则D=3xm，BE=2xm， 由题意得：∠B=∠D=∠BE=90°， ∴∠D+∠D=∠D+∠BE=90°， ∴∠D=∠EB， 又∵=B， ∴△D≌△EB（S）， ∴D=BE=2xm， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形 的性质与判定条件． 1．（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示， 中， ．直线l 经过点，过点B 作 于点E，过点作 于点F．若 ，则 __________． 【答】7 【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答； 【详解】解：∵BE⊥l，F⊥l， ∴∠EB=∠F=90°． ∴∠EB+∠EB=90°． 又∵∠B=90°， ∴∠EB+∠F=90°． ∴∠EB=∠F． 在△EB 和△F 中 ∵∠EB=∠F，∠EB=∠F，B=， ∴△EB≌△F． ∴E=F，BE=F． ∴E+F=BE+F． ∴EF=BE+F． ∵ ， ∴ ； 故答为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的 证明三角形全等． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知B 是等腰直角三角形，∠B＝90°，D⊥DE 于点D，BE⊥DE 于点E，且点在DE 上，若D＝5，BE＝8，则DE 的长为_____． 【答】13 【分析】先根据D⊥DE，BE⊥DE，∠D=∠EB=90°，则∠D+∠D=90°，△B 是等腰直角三角形，∠B=90°，可 得=B，推出∠D=∠EB，即可证明△D≌△EB 得到E=D=5，D=BE=8，由此求解即可． 【详解】解：∵D⊥DE，BE⊥DE， ∴∠D=∠EB=90°， ∴∠D+∠D=90°， ∵△B 是等腰直角三角形，∠B=90°， ∴∠D+∠BE=90°，=B ∴∠D=∠EB， ∴△D≌△EB（S）， ∴E=D=5，D=BE=8， ∴DE=D+E=13， 故答为：13． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角 形的性质与判定条件． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，一个等腰直角三角形B 物件斜靠在墙角处（∠＝90°），若＝ 50m，B＝28m，则点离地面的距离是____ m． 【答】28 【分析】作D⊥B 于点D，依据S 证明 ,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过点作D⊥B 于点D，如图， ∴ ∵ 是等腰直角三角形 ∴B=B， ∴ 又 ∴ 在 和 中， ∴ ∴ 故答为：28． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三 角形是解答本题的关键． 1．（1）尝试探究：如图①，在 中， ，B，F 是过点的一条直线，且B， 在E 的同侧，BD⊥E 于D，E⊥E 于E，则图中与线段D 相等的线段是 ；DE 与BD、E 的 数量关系为 ． （2）类比延伸：如图②， ，B=B，点，B 的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点的坐标． （3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点重合），使 与△B 全等．直接 写出点P 的坐标． 【答】（1）E，DE=BD+E；（2）（−3，5）；（3）存在，P 点坐标分别为(5，2)，(3，1)，(1，2)． 【分析】（1）由BD⊥E，∠B90°，推 进而得到 即可求解； （2）作 轴于点E，得出 （S）即可求解； （3）分两种情况，①当 时， ；②当 时， ，讨论并构 造全等三角形即可求解． 【详解】解：（1）∵BD⊥E， ，E⊥E ∴ ， ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴D=E，BD=E， ∴DE=D+E=BD+E． 故答为：E，DE=BD+E； （2）作 轴于点E， ∵ 轴，⊥B， ， ∴ ， ， ， ∴∠B=∠BE． 又∵ ， ∴ （S）， ∴ ， ∵点，B 的坐标分别是(-2，0)，(0，3)， ∴ ， ∴ ， ∴ (-3，5)； （3）分类讨论： ①当∠PB=90°时， ， ∴ ， ． ∵B(0，3)，(−2，0)，(−3，5)， ∴ ， ， 设P(x，y)， ∴ ， ， ∴ ， 解得： ， ， ∴ (−5，2)， (1，−2)，如图； ②当∠BP=90°时， ， ∴P=，BP=B， ∵B(0，3)，(−2，0)，(−3，5)， ∴ ， ， 设P(x，y)， ∴ ， ， ∴ ， 解得： ， ， ∵点P 与点不重合， (−3 ∴ ，5)舍去， ∴ (3，1)，如图． 综上，存在这样的P 点，坐标分别为(5，2)，(3，1)，(1，2)． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，坐标与图形性质，勾股定理等知识． 利用数形结合的思想是解题关键． 2．（1）观察理解： 如图1，∠B＝90°，＝B，直线l 过点，点，B 在直线l 同侧，BD⊥l，E⊥l，垂足分别为D，E，求证： △E≌△DB． （2）理解应用： 如图2，过△B 边B、分别向外作正方形BDE 和正方形FG，是B 边上的高，延长交EG 于点．利用（1）中 的结论证明：是EG 的中点． （3）类比探究： ①将图1 中△E 绕着点旋转180°得到图3，则线段ED、E 和BD 的关系_______； ②如图4，直角梯形BD 中， ，B⊥B，D＝2，B＝3，将腰D 绕D 点逆时针旋转90°至DE，△ED 的面积为 ． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=E－BD；②1 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠＝∠BD，再利用S 证得△E≌△DB，即可； （2）分别过点E、G 向作垂线，垂足分别为M、，由（1）可证得△EM≌△B，△G≌△，从而得到EM=G，可 得到△EM≌△G，从而得到E=G，即可求证； （3）①由（1）得：△E≌△DB，可得E=BD，E=D，即可；②过点作P⊥D 交D 延长线于点P，过点E 作 EQ⊥D 交D 延长线于点Q，根据旋转的性质可得根据题意得：∠DE=90°，D=DE，再由（1）可得 △DP≌△DEQ，从而得到DP=EQ，然后根据两平行线间的距离，可得P=B，进而得到PD=1，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥l，E⊥l， ∴∠E＝∠BD＝90°， 又∵∠B＝90° + ∴∠∠E＝∠E+∠BD＝90°， ∴∠＝∠BD， 在△E 和△DB 中， ∴△E≌△DB（S）； （2）证明：分别过点E、G 向作垂线，垂足分别为M、， 由（1）得：△EM≌△B，△G≌△， ∴EM＝，G=， ∴EM=G， 在△EM 和△G 中， ∴△EM≌△G（S）； ∴E=G， 即是EG 的中点； （3）解：①由（1）得：△E≌△DB， ∴E=BD，E=D， ∵ED=D-E， ∴ED=E－BD ； 故答为：ED=E－BD ②如图，过点作P⊥D 交D 延长线于点P，过点E 作EQ⊥D 交D 延长线于点Q， 根据题意得：∠DE=90°，D=DE， 由（1）得：△DP≌△DEQ， ∴DP=EQ， 直角梯形BD 中， ，B⊥B， ∴B⊥D， ∴B∥P， ∴B⊥P， ∵B=3， ∴P=B=3， ∵D=2， ∴DP=P-D=1， ∴EQ=1， ∴△DE 的面积为 ． 故答为：1 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，平行间的距离，熟练掌握全等三角形的 判定和性质，图形的旋转的性质，平行间的距离，并利用类比思想解答是解题的关键．