专题55 一次函数背景下的图形存在性问题（原卷版）(1)

考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题 【例1】．如果一次函数y＝﹣ x+6 的图象与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，M 点在x 轴上， 并且使得以点、B 、M 为定点的三角形是等腰三角形，则M 点的坐标为 ． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线M 的函数解析式为y＝﹣x+3，点在线段M 上且满足＝2M，B 点是x 轴上一点，当△B 是以为腰的等腰三角形时，则B 点的坐标为 ． 【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12 与x 轴交于点，与y 轴交于点 B，与直线y＝x 交于点． （1）求点的坐标． （2）若P 是x 轴上的一个动点，直接写出当△P 是等腰三角形时P 的坐标． 考点二：一次函数中直角三角形存在性问题 【例2】．已知点、B 的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x 轴上找一点，使△B 为直 例题精讲 角三角形． 【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1 的图象过点（1，2），且与x 轴相交于点B．若点P 是x 轴上的一点，且满足△BP 是直角三角形，则点P 的坐标是 ． 【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x 2 ﹣的图象与y 轴交于点，一次函数y＝4x+b 的图象 与y 轴交于点B，且与x 轴以及一次函数y＝x 2 ﹣的图象分别交于点、D，点D 的坐标为 （﹣2，﹣4）． （1）关于x、y 的方程组 的解为 ． （2）求△BD 的面积； （3）在x 轴上是否存在点E，使得以点，D，E 为顶点的三角形是直角三角形？若存在， 求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三：一次函数中平行四边形存在性问题 【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b 的图象经过（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且 交x 轴于点，交y 轴于点D． （1）求该一次函数的表达式； （2）求△B 的面积； （3）平面内是否存在一点M，使以点M、、、B 为顶点的四边形是平行四边形，若存 在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 变式训练 【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3 与x 轴、y 轴相交于、B 两点， 点在线段上，将线段B 绕着点顺时针旋转90°得到D，此时点D 恰好落在直线B 上，过 点D 作DE⊥x 轴于点E． （1）求证：△B≌△ED； （2）如图2，将△BD 沿x 轴正方向平移得△B''D'，当B''经过点D 时，求△BD 平移的距离 及点D 的坐标； （3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线B 上，是否存在以、D、P、Q 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点四：一次函数中矩形存在性问题 【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△B 的两直角边、B 分别在x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，且、B 的长满足| 8|+ ﹣ （B 6 ﹣）2＝0，∠B 的平分线交x 轴于点过点作B 的垂线，垂足为点D，交y 轴于点E． （1）求线段B 的长； （2）求直线E 的解析式； （3）若M 是射线B 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以、B、M、P 为顶 点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变4-1】．如图，四边形B 是矩形，点、在坐标轴上，△DE 是△B 绕点顺时针旋转90°得 到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F，交E 于点，线段B、的长是方程x2 4 ﹣x+3 ＝0 的两个根，且＞B． （1）求直线BD 的解析式； （2）求点到x 轴的距离； （3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点D、F、M、为顶点的四边形是矩形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点五：一次函数中菱形存在性问题 【例5】．如图1，直线y＝ x+6 与x，y 轴分别交于，B 两点，∠B 的角平分线与x 轴相交 于点． （1）求点的坐标； （2）在直线B 上有两点M，，△M 是等腰直角三角形，∠M＝90°，求点M 的坐标； （3）点P 在y 轴上，在平面上是否存在点Q，使以点、B、P、Q 为顶点的四边形为菱 形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4 与x 轴、y 轴分别交于点D、，直 线B 与y 轴交于点B（0，﹣2），与直线D 交于点（m，2）． （1）求直线B 的解析式； （2）点E 是射线D 上一动点，过点E 作EF∥y 轴，交直线B 于点F，若以、、E、F 为 顶点的四边形是平行四边形，请求出点E 的坐标； （3）设P 是射线D 上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、、P、Q 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．一次函数y＝ x+4 分别交x 轴、y 轴于、B 两点，在x 轴上取一点，使△B 为等腰三角形， 则这样的点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（2，1），连接，点P 是x 轴上的一动点，如果 △P 是等腰三角形，请你写出符合条件的点P 坐标 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，0），点B 的坐标为（4，0），点在y 的 正半轴上，且B＝2，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、、B、为顶点的四边形 是平行四边形，请写出点D 的坐标为 ． 4．如图，一次函数y＝k2x+b 的图象与y 轴交于点B，与正比例函数y＝k1x 的图象相交于点 （3，4），且＝B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△B 的面积； （3）点P 在x 轴上，且△P 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标． 5．直线l1交x 轴于点（6 ，0），交y 轴于B（0，6）． （1）如图，折叠△B，使B 落在y 轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x 轴交于点，求点 坐标及l2的解析式； （2）在直线l1上找点M，使得以M、、为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足 条件的M 点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k 是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点，点B，且 点B 的坐标为（0，6）． （1）求点的坐标； （2）如图1，将直线B 绕点B 逆时针旋转45°交x 轴于点，求直线B 的解析式； （3）在（2）的条件下，直线B 上有一点M，坐标平面内有一点P，若以、B、M、P 为 顶点的四边形是菱形，请直接写出点P 的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x 轴交于点（﹣4，0），与y 轴交于点 B，且与正比例函数y＝ x 的图象交于点（m，6）． （1）求一次函数的解析式； （2）求△B 的面积； （3）在x 轴上是否存在一点P，使得△BP 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件 的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知一次函数y＝ x+m 的图象与x 轴交于点（﹣6，0），交y 轴于点B． （1）求m 的值与点B 的坐标 （2）问在x 轴上是否存在点，使得△B 的面积为16？若存在，求出点的坐标；若不存在， 说明理由． （3）问在x 轴是否存在点P，使得△BP 为等腰三角形，求出点P 坐标． （4）一条经过点D（0，2）和直线B 上的一点的直线将△B 分成面积相等的两部分，请 求出这条直线的函数表达式． 9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣ x+2 的图象交x 轴、y 轴分别于、B 两点，交直 线y＝kx 于P（2，）． （1）求点、B 的坐标； （2）若Q 为x 轴上一动点，△PQ 为等腰三角形，直接写出Q 点坐标； （3）点在直线B 上，过作E⊥x 轴于E，交直线P 于D，我们规定若，D，E 中恰好有一 点是其他两点所连线段的中点，则称，D，E 三点为“和谐点”，求出，D，E 三点为 “和谐点”时点的坐标． 10．如图所示，直线l：y＝﹣ x+2 与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，在y 轴上有一点 （0，4 ）． （1）求△B 的面积； （2）动点M 从点以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左移动，求△M 的面积S 与M 的移动时 间t 之间的函数关系式； （3）当动点M 在x 轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，， M 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，直线B 与x 轴、y 轴分别交于、 B 两点，连接B，且＝ B． （1）求点的坐标及直线B 的函数关系式； （2）点M 在x 轴上，连接MB，当∠MB+∠B＝45°时，求点M 的坐标； （3）若点P 在x 轴上，平面内是否存在点Q，使点B、、P、Q 为顶点的四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知，一次函数y＝ 的图象与x 轴、y 轴分别交于点、点B，与直线y＝ 相 交于点．过点B 作x 轴的平行线l．点P 是直线l 上的一个动点． （1）求点，点B 的坐标． （2）求点到直线l 的距离． （3）若S△＝S△BP，求点P 的坐标． （4）若点E 是直线y＝ 上的一个动点，当△PE 是以P 为直角边的等腰直角三角形时， 请直接写出点E 的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣ x+ 与y＝x 相交于点，与x 轴交于点 B． （1）求点，B 的坐标； （2）在平面直角坐标系xy 中，是否存在一点，使得以，，B，为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）在直线上，是否存在一点D，使得△DB 是等腰三角形？如果存在，试求出所有符 合条件的点D 的坐标，如果不存在，请说明理由． 14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b 与x 轴交于点，与正比例函数 y＝x 的图象交于点（﹣1，3） （1）求直线B 的函数的表达式； （2）直接写出不等式（kx+b）﹣x＜0 的解集； （3）求△的面积； （4）点P 是直线B 上的一点，且知△P 是等腰三角形，写出所有符合条件的点P 的坐标． 15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4 交x 轴于（4，0），交y 轴于B． （1）直接写出k 的值为 ； （2）如图2，为x 轴负半轴上一点，过点的直线l2： 经过B 的中点P，点Q （t，0）为x 轴上一动点，过Q 作QM⊥x 轴分别交直线l1、l2于M、，且M＝2MQ，求t 的值； （3）如图3，已知点M（﹣1，0），点（5m，3m+2）为直线B 右侧一点，且满足∠BM ＝∠B，求点坐标． 16．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于、B 两点（＜B）且、B 的长分别 是一元二次方程x2﹣（ +1）x+ ＝0 的两个根，点在x 轴负半轴上，且B：＝1：2 （1）求、两点的坐标； （2）若点M 从点出发，以每秒1 个单位的速度沿射线B 运动，连接M，设△BM 的面积 为S，点M 的运动时间为t，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 、B、P、Q 为顶点的四边 形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，在平面直角坐标系中．直线 与x 轴、y 轴相交于、B 两点，动点在 线段上，将线段B 绕着点顺时针旋转90°得到D，此时点D 恰好落在直线B 上时，过点 D 作DE⊥x 轴于点E． （1）求证：△B≌△ED； （2）如图2，将△BD 沿x 轴正方向平移得△B''D'，当直线B′′经过点D 时，求点D 的坐标； （3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线B 上．是否存在以、D、P、Q 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线B：y＝﹣ x+4 与x 轴、y 轴分别交于点、B，点在 y 轴的负半轴上，若将△B 沿直线折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点D 处． （1）点的坐标是 ，点B 的坐标是 ，B 的长为 ； （2）求点的坐标； （3）点M 是y 轴上一动点，若S△MB＝ S△D，直接写出点M 的坐标． （4）在第一象限内是否存在点P，使△PB 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b 分别与x 轴、y 轴交于点（3，0），点B（0，﹣ 4），过D（0，8）作平行x 轴的直线D，交B 于点，点E（0，m）在线段D 上，延长E 交x 轴于点F，点G 在x 轴正半轴上，且G＝F． （1）求直线B 的函数表达式． （2）当点E 恰好是D 中点时，求△G 的面积． （3）是否存在m，使得△FG 是直角三角形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请 说明理由． 20．如图直线l：y＝kx+6 与x 轴、y 轴分别交于点B、两点，点B 的坐标是（﹣8，0），点 的坐标为（﹣6，0）． （1）求k 的值． （2）若点P 是直线l 在第二象限内一个动点，当点P 运动到什么位置时，△P 的面积为 3，求出此时直线P 的解析式． （3）在x 轴上是否存在一点M，使得△BM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的 坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线l：y＝﹣ x+m 与x、y 轴的正半轴 分别相交于点、B，过点（﹣4，﹣4）画平行于y 轴的直线交直线B 于点D，D＝10 （1）求点D 的坐标和直线l 的解析式； （2）求证：△B 是等腰直角三角形； （3）如图2，将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l 与x、y 轴分别 相交于点′、B′，在直线D 上存在点P，使得△′B′P 是等腰直角三角形．请直接写出所有 符合条件的点P 的坐标．（不必书写解题过程） 22．直线y＝kx 4 ﹣与x 轴、y 轴分别交于B、两点，且 ＝ ． （1）求点B 的坐标和k 的值； （2）若点时第一象限内的直线y＝kx 4 ﹣上的一动点，则当点运动到什么位置时，△B 的 面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P，使△P 是等腰三角形？若存在，求出 点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，一次函数y1＝ x+与x 轴交于点B，一次函数y2＝﹣ x+m 与y 轴交于点，且它 们的图象都经过点D（1，﹣ ）． （1）则点B 的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）在x 轴上有一点P（t，0），且t＞ ，如果△BDP 和△DP 的面积相等，求t 的值； （3）在（2）的条件下，在y 轴的右侧，以P 为腰作等腰直角△PM，直接写出满足条件 的点M 的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b 的图象与y 轴交于点（0，4），与直 线y＝﹣ x 1 ﹣在第四象限相交于点B，连接B，△B 的面积为6． （1）求点B 的坐标及直线B 的解析式； （2）已知点M 在直线B 右侧，且△MB 是以B 为直角边的等腰直角三角形，请求出符合 条件的点M 的坐标． 25．综合与探究： 如图，直线l1：y＝x+3 与过点（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点（1，m）与x 轴交于点B． （1）求直线l2对应的函数解析式； （2）请直接写出不等式kx+b＜x+3 的解集； （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F 使以，B，F，为顶点的四 边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．一次函数y＝kx+ （k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于（1，0）、B（0，m）两点． （1）求一次函数解析式和m 的值； （2）将线段B 绕着点旋转，点B 落在x 轴负半轴上的点处．点P 在直线B 上，直线P 把△B 分成面积之比为2：1 的两部分．求直线P 的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使△BD 是以B 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直 接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b 的图象与x 轴交于点（﹣3，0），与 y 轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x 的图象交点为（3，4）． （1）求正比例函数与一次函数的关系式． （2）若点D 在第二象限，△DB 是以B 为直角边的等腰直角三角形，请求出点D 的坐标． （3）在y 轴上是否存在一点P 使△P 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标． 28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1 ＝﹣x+3 与坐标轴相交于，B 两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于，D 两点， 两直线相交于点E，且点E 的横坐标为2．已知＝ ，点P 是直线l2上的动点． （1）求直线l2的函数表达式； （2）过点P 作x 轴的垂线与直线l1和x 轴分别相交于M，两点，当点是线段PM 的三等 分点时，求P 点的坐标； （3）若点Q 是x 轴上的动点，是否存在以，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由． 29．（1）认识模型： 如图1，等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝，直线ED 经过点，过作D⊥ED 于D，过 B 作BE⊥ED 于E．求证：△BE≌△D； （2）应用模型： ①已知直线y＝﹣2x+4 与y 轴交于点，与x 轴交于B 点，将线段B 绕点B 顺时针旋转90 度，得到线段B，求点的坐标； ②如图3，矩形B，为坐标原点，B 的坐标为（5，4），，分别在坐标轴上，P 是线段B 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y＝2x 3 ﹣上的一点，点Q 是平面内任意一点． 若四边形DPQ 是正方形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标． 30．如图，四边形B 为矩形，其中为原点，、两点分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标是 （4，6），将矩形沿直线DE 折叠，使点落在B 边上点F 处，折痕分别交、B 于点E、 D，且点D 的坐标是（ ，6）． （1）求BF 的长度； （2）如图2，点P 在第二象限，且△PDE≌△ED，求直线PE 的解析式； （3）若点M 为直线DE 上一动点，在x 轴上是否存在点，使以M、、D、F 为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．