专题56 一次函数中的倍、半角问题（原卷版）(1)

【例1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4 的图象与x 轴、y 轴分别交于 点和点B，过点B 的直线B：y＝kx+b 交x 轴于点（﹣8，0）． （1）k 的值为 ； （2）点M 为直线B 上一点，若∠MB＝∠B，则点M 的坐标是 ． 变式训练 【变1-1】．如图，直线y＝﹣x 4 ﹣交x 轴和y 轴于点和点，点B（0，2）在y 轴上，连接 B，点P 为直线B 上一动点． （1）直线B 的解析式为 ； （2）若S△P＝S△，求点P 的坐标； （3）当∠BP＝∠B 时，求直线P 的解析式及P 的长． 【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线D：y＝﹣x+4 交y 轴于点，交x 轴于点D． 直线B 交x 轴于点B（﹣3，0），点P 为直线B 上的动点． （1）求直线B 的关系式； 例题精讲 （2）连接PD，当线段PD⊥B 时，直线D 上有一点动M，x 轴上有一动点，直接写出 △PM 周长的最小值； （3）若∠P＝ ∠B，直接写出点P 的纵坐标． 【例2】．如图，直线y＝kx+b 与直线y＝﹣x+4 相交于点（2，2），与y 轴交于点B（0， ﹣2）． （1）求直线y＝kx+b 的函数表达式； （2）若直线y＝﹣x+4 与y 轴交于点D，点P 在直线y＝﹣x+4 上，当∠B＝∠PD 时，直 接写出点P 的坐标． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝﹣ x+b，它与坐标轴分 别交于、B 两点，已知点B 的纵坐标为4． （1）求出点的坐标． （2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q 使得∠QB＝90°？若存在，求点Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． （3）点P 为y 轴上一点，连结P，若∠P＝2∠B，求点P 的坐标． 【变2-2】．如图1，已知函数y＝ x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点关于y 轴 对称． （1）求直线B 的函数解析式； （2）设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线 B 于点Q． ①若△PQB 的面积为 ，求点Q 的坐标； ②点M 在线段上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠B，直接写出P 的坐标． 1．如图，平面直角坐标系中，直线B 与x 轴、y 轴分别交于点（4，0）、点B（0，2）． （1）求直线B 的表达式； （2）设点为线段B 上一点，过点分别作D⊥x 轴、E⊥y 轴，垂足分别为D、E，当平分 ∠B 时，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线B 与x 轴交于点（8，0），与y 轴交于B（0，8）， 点D 为延长线上一动点，以BD 为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接E． （1）求证∠ED＝∠B； （2）求直线E 与y 轴交点F 的坐标． 3．如图1，直线y＝﹣x+b 分别交x，y 轴于，B 两点，点（0，2），若S△B＝2S△． （1）求b 的值； （2）若点P 是射线B 上的一点，S△P＝S△P，求点P 的坐标； （3）如图2，过点的直线交直线B 于点E，已知D（﹣1，0），∠BE＝∠D，求直线E 的解析式． 4．在平面直角坐标系xy 中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（2，4），过点的直 线y＝kx+b（k＞0）与x 轴、y 轴分别交于B，两点． （1）求正比例函数的表达式； （2）若△B 的面积为△B 的面积的 倍，求直线y＝kx+b 的表达式； （3）在（2）的条件下，若一条平行于的直线DE 与直线B 在第二象限内相交于点D， 与y 轴相交于点E，连接D，当平分∠D 时，求点D 的坐标． 5．综合与探究 如图1，直线B 与坐标轴交于，B 两点，已知点的坐标为（0，3），点B 的坐标为（4， 0），点是线段B 上一点． 知识初探：如图1，求直线B 的解析式． 探究计算：如图2，若点是线段B 的中点，则点的坐标为（ ） 拓展探究：如图3，若点是线段B 的中点，过点作线段B 的垂线，交x 轴于点M，求点 M 的坐标． 类比探究：如图4，过点作线段B 的垂线，交x 轴于点，连接，当∠＝∠时，则点的坐标 为（ ） 6．平面直角坐标系中，已知的坐标为（﹣2，0），B 在y 轴正半轴上，且 ， 将线段B 绕点顺时针方向旋转45°，交y 轴于点． （1）求直线的解析式； （2）点D 是直线上的一点，且满足∠DB＝∠B，求点D 坐标． 7．如图1，已知函数y＝ x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点关于y 轴对称． （1）请写出点坐标 ，点B 坐标 ，直线B 的函数解析式 ； （2）设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线 B 于点Q． ①若△PQB 的面积为 ，求点Q 的坐标； ②点M 在线段上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠B，直接写出P 的坐标． 8．已知在平面直角坐标系xy 中，直线l：y＝﹣ x+12 与x 轴交于点，将l 向下平移16 个 单位后交y 轴于点B． （1）求∠B 的余切值； （2）点在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结、B，其中与y 轴交于点E，求S△BE： S△BE的值； （3）点M 在直线x＝3 上且位于第一象限，联结M、MB，当∠BM＝∠B 时，求点M 的 坐标． 9．如图1，已知函数y＝ x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点关于y 轴对称． （1）求直线B 的函数解析式； （2）设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线 B 于点Q． ①若△PQB 的面积为 ，求点M 的坐标； ②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠B，求点P 的坐标． 10．如图，直线y＝3x+3 交x 轴于点B，交y 轴于点，点为x 轴正半轴上一点，且＝B． （1）求直线的解析式； （2）点P 从点出发沿y 轴的正方向运动，速度为1 个单位/秒，运动时间为t 秒，过点P 作x 轴的平行线，分别交直线B，于点D、E，若设DE＝d，求d 与t 的函数解析式，并 直接写出t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点P 在的延长线上时，连接BE，若2∠BED＝3∠BE，求点 E 的坐标． 11．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点B、． （1）直接写出直线B 关于x 轴对称的直线B 的解析式 ； （2）在（1）条件下，如图1，直线B 与直线y＝﹣x 交于E 点，点P 为y 轴上一点，PE ＝PB，求P 点坐标； （3）在（1）（2）条件下，如图2，点P 为y 轴上一点，∠EB＝∠PE，直线EP 与直线 B 交于点M，求M 点的坐标． 12．如图1，直线y＝ x 5 ﹣与x 轴、y 轴分别交于B、两点，点为y 轴正半轴上一点，且 S△B＝75． （1）请直接写出点B、的坐标及直线B 的解析式： 、 、 ； （2）如图2，点P 为线段B 上一点，若∠BP＝45°，请写出点P 的坐标： ，并简 要写出解答过程； （3）如图3，点D 是B 的中点，M 是上一点，连接DM，过点D 作D⊥DM 交B 于点， 连接BM，若∠BM＝2∠DM，请写出点M 的坐标，并简要写出解答过程． 13．如图，直线y＝kx+2（k＜0）与x 轴、y 轴分别交于点B、． （1）如图1，点P（﹣1，3）在直线y＝kx+2（k＜0）上，求点、B 坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，点'是点关于x 轴的对称点，点Q 是第二象限内一点， 连接Q、PQ、Q'和P'，如果△PQ'和△'Q 面积相等，且∠PQ＝∠P'，求点Q 的坐标； （3）如图3，点和点D 是该直线在第一象限内的两点，点在点D 左侧，且两点的横坐 标之差为1，且D＝k+2，作E⊥x 轴，垂足为点E，连接DE，若∠B＝2∠DEB，求k 的 值． 14．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣ x+8 分别交x、y 轴于点、B，将正比例函 数y＝2x 的图象沿y 轴向下平移3 个单位长度得到直线l，直线l 分别交x、y 轴于点、 D，交直线B 于点E． （1）直线l 对应的函数表达式是 ，点E 的坐标是 ； （2）在直线B 上存在点F（不与点E 重合），使BF＝BE，求点F 的坐标； （3）在x 轴上是否存在点P，使∠PD＝2∠PB？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点为原点，直线y＝﹣x+5 分别交x 轴、y 轴于点、B， 经过点B 的直线y＝ x+b 交x 轴于点． （1）求点的坐标； （2）如图2，点D 在线段B 上（不与点、B 重合），连接D 并延长至点E，过点E 作 EF⊥B 于点F，EF 交线段B 于点G，EF＝BD，设D＝t，EG＝d，求d 与t 之间的函数 关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作M∥E，M 交线段G 点M，连接EM 并延长交x 轴于点，若∠BM＝∠M，求点的坐标．