专题52 一次函数背景下的将军饮马问题（原卷版）(1)

方法点拨 一、求线段之和的最小值 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： m A B P m A B （2）点、B 在直线同侧： m A B P m A B A' 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： 模型介绍 n m A B m B A P' P （2）一个点在内侧，一个点在外侧： n m A B Q P n m A B B' （3）两个点都在内侧： n m A B Q P n m A B B' A' （4）、台球两次碰壁模型 m n A B E D m n A B A' B' 变式一：已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点，使得围成的 四边形DEB 周长最短 变式二：已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、分别上求点P、Q 点P+PQ+Q 周长最短 m n A P Q m n A A" A' 【例1】．矩形B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是的 中点，点E 在B 上，当△DE 的周长最小时，点E 的坐标为 ． 变式训练 【变1-1】．已知菱形B 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点（5，0），B＝4 ，点 P 是对角线B 上的一个动点，D（0，1），当P+DP 最短时，点P 的坐标为（ ） ．（1， ） B．（ ， ） ．（ ， ） D．（ ， ） 【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点B 在原点，点、在坐标轴上， 点D 的坐标为（6，4），E 为D 的中点，点P、Q 为B 边上两个动点，且PQ＝2，要使 四边形PQE 的周长最小，则点P 的坐标应为 ． 例题精讲 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1，3），点B 坐标为（4，1），点在x 轴上，点D 在y 轴上，则以、B、、D 为顶点的四边形的周长的最小值是 ． 变式训练 【变2-1】．如图所示，已知点（1，0），直线y＝﹣x+7 与两坐标轴分别交于，B 两点， D，E 分别是线段B，上的动点，则△DE 的周长的最小值是（ ） ．4 B．10 ．4 D．12 【变2-2】．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象 交于点，过点作x 轴的垂线，垂足为M，已知△M 的面积为1．如果B 为反比例函数在第 一象限图象上的点（点B 与点不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使P+PB 最小． 1．如图，一次函数y＝x+4 的图象与x 轴，y 轴分别交于点，B，点（﹣2，0）是x 轴上一 点，点E，F 分别为直线y＝x+4 和y 轴上的两个动点，当△EF 周长最小时，点E，F 的 坐标分别为（ ） ．E（﹣ ， ），F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2） ．E（﹣ ， ），F（0， ） D．E（﹣2，2），F（0， ） 2．如图所示，直线y＝x+4 与两坐标轴分别交于，B 两点，点是B 的中点，D，E 分别是直 线B 和y 轴上的动点，则△DE 周长的最小值是 ． 4．如图所示，已知点（1，0），直线y＝﹣x+7 与两坐标轴分别交于，B 两点，D，E 分别 是B，上的动点，则△DE 周长的最小值是 ． 5．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，（4，4），点在边B 上，且 ＝ ，点D 为B 的中点， 点P 为边上的动点，当点P 在上移动时，使四边形PDB 周长最小的点P 的坐标为 P （ ， ） ． 6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中点， 点D 在第二象限，且四边形D 为矩形．动点P 为D 上一点，P⊥，垂足为，点Q 是点B 关于点的对称点，当BP+P+Q 值最小时，点P 的坐标为 ． 7．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形格中，点，B，在小正方形的顶 点上． （1）在图中画出与△B 关于直线l 成轴对称的△'B''； （2）在直线l 上找一点P，使P+PB 的长最短． 8．如图，已知△B 三个顶点坐标分别为（0，4），B（﹣2，﹣2），（3，0），点P 在线段 上移动．当点P 坐标为（1，m）时，请在y 轴上找点Q，使△PQ 周长最小． 9．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x 轴交于点D，直线l2经过点、B，直 线l1、l2交于点． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）在x 轴上求作一点M，使BM+M 的和最小，直接写出M 的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10 与x 轴交于点B，与y 轴交于点，与直 线y＝ x 交于点，点M 是y 轴上的一个动点，设M（0，m）． （1）若M+MB 的值最小，求m 的值； （2）若直线M 将△分割成两个等腰三角形，请求出m 的值，并说明理由． 11．如图，在直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点是y 轴上的一 个动点，且、B、三点不在同一条直线上． （1）求B 的长； （2）求△B 的周长的最小值； （3）若D（3，4），连接D、D，是否存在点，使得△D 的面积与6？若存在，求出点， 若不存在，说明理由． 12．如图，一次函数 的图象分别与x 轴、y 轴交于、B，以线段B 为边在第一象 限内作等腰Rt△B，使∠B＝90°． （1）分别求点、的坐标； （2）在x 轴上求一点P，使它到B、两点的距离之和最小． 13．如图，一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（4，0），B（0，2）． （1）求该一次函数的表达式． （2）为坐标原点，D 为B 的中点，＝1，点P 为y 轴上的动点，求P+PD 的最小值，并 求出此时点P 的坐标（用两种不同的方法求解）． 14．已知一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣1，﹣1）和点B（1，﹣3）．求： （1）求一次函数的表达式； （2）求直线B 与坐标轴围成的三角形的面积； （3）请在x 轴上找到一点P，使得P+PB 最小，并求出P 的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形B 的顶点在x 轴上，B＝，∠B＝90°，且 （2，0）、B（3，3），B 交y 轴于M， （1）求点的坐标； （2）连接M，求△MB 的面积； （3）在x 轴上有一动点P，当PB+PM 的值最小时，求此时P 的坐标． 16．如图1，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝kx+8 分别交x 轴，y 轴于、B 两点，已知点 坐标（6，0），点在直线B 上，横坐标为3，点D 是x 轴正半轴上的一个动点，连接 D，以D 为直角边在右侧构造一个等腰Rt△DE，且∠DE＝90°． （1）求直线B 的解析式以及点坐标； （2）设点D 的横坐标为m，试用含m 的代数式表示点E 的坐标； （3）如图2，连接，E，请直接写出使得△E 周长最小时，点E 的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，点（，0），B⊥x 轴，且B＝10，点（0，b），，b 满足 b＝ + +15．点P（t，0）是线段上一点（不包含，）． （1）当t＝5 时，求PB：P 的值； （2）当P+PB 最小时，求t 的值； （3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，满足m+＝10，且正数p＝ + ，则正数p 的最小值＝ ．