专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题（解析版）

【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+交x 轴于，B 两点，其中点的坐标为（1，0），与y 轴 交于点（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点D 为y 轴上一点，如果直线BD 与直线B 的夹角为15°，求线段D 的长度； （3）如图2，连接，点P 在抛物线上，且满足∠PB＝2∠，求点P 的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+交x 轴于点（1，0），与y 轴交于点（0，﹣3）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：y＝x2+2x 3 ﹣； （2）∵抛物线y＝x2+2x 3 ﹣与x 轴交于，B 两点， ∴点B（﹣3，0）， ∵点B（﹣3，0），点（0，﹣3）， ∴B＝＝3， ∴∠B＝∠B＝45°， 如图1，当点D 在点上方时， 例题精讲 ∵∠DB＝15°， ∴∠BD＝30°， t ∴∠DB＝ ＝ ， ∴D＝ ×3＝ ， ∴D＝3﹣ ； 若点D 在点下方时， ∵∠DB＝15°， ∴∠BD＝60°， t ∴∠DB＝ ＝ ， ∴D＝3 ， ∴D＝3 3 ﹣， 综上所述：线段D 的长度为3﹣ 或3 3 ﹣； （3）如图2，在B 上截取E＝，连接E，过点E 作EF⊥， ∵点（1，0），点（0，﹣3）， ∴＝1，＝3， ∴＝ ＝ ＝ ， ∵E＝，∠E＝∠＝90°，＝， ∴△E≌△（SS）， ∴∠＝∠E，E＝＝ ， ∴∠E＝2∠， ∵∠PB＝2∠， ∴∠PB＝∠E， ∵S△E＝ E×＝ ×EF， ∴EF＝ ＝ ， ∴F＝ ＝ ＝ ， t ∴∠E＝ ＝ ， 如图2，当点P 在B 的下方时，设P 与y 轴交于点， ∵∠PB＝∠E， t ∴∠E＝t∠PB＝ ＝ ， ∴＝ ， ∴点（0，﹣ ）， 又∵点（1，0）， ∴直线P 解析式为：y＝ x﹣ ， 联立方程组得： ， 解得： 或 ， ∴点P 坐标为：（﹣ ，﹣ ）， 当点P 在B 的上方时，同理可求直线P 解析式为：y＝﹣ x+ ， 联立方程组得： ， 解得： 或 ， ∴点P 坐标为：（﹣ ， ）， 综上所述：点P 的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+ x+交x 轴于点、点B，交y 轴 于点．直线y＝﹣ x+2 经过于点、点B， （1）求抛物线的解析式； （2）点D 为第一象限抛物线上一动点，过点D 作y 轴的平行线交线段B 于点E，交x 轴 于点Q，当DE＝5EQ 时，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，点M 为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM 交线段于点， 点F 在线段B 上，连接F、DF、D、DB，当F＝ ，∠DB＝2∠MDF 时，求点M 的坐标． 解：（1）针对于直线y＝﹣ x+2，令x＝0，则y＝2， ∴（0，2）， 令y＝0，则0＝﹣ x+2， ∴x＝4， ∴B（4，0）， 将点B，坐标代入抛物线y＝x2+ x+中，得 ∴ ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2； （2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2， 设点D 坐标为（m，﹣ m2+ m+2）， ∵DE⊥x 轴交B 于E，直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， ∴D（m，﹣ m+2）， ∴DE＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+ m，DQ＝﹣ m+2， ∵DE＝5EQ， ∴﹣ m2+ m＝5（﹣ m+2）， ∴m＝3 或m＝4（点B 的横坐标，舍去）， ∴D（3，3）； （3）如图2， 由（2）知，D（3，3）， 由（1）知，B（4，0），（0，2）， ∴DB＝ ，D＝ ，B＝2 ， ∴D＝DB，DB2+D2＝B2， ∴△BD 是等腰直角三角形， ∴∠BD＝90°， ∵BD＝2∠FDM＝90°， ∴∠FDM＝45°， 过点D 作DP⊥y 轴于P，则DQ＝DP，P＝3， ∴P＝1＝BQ， ∴△DP≌△DQB（SS）， 在P 的延长线取一点G，使PG＝QF＝， ∴F＝3﹣，G＝3+， ∴△DPG≌△DQF（SS）， ∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF， ∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90° ∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM， ∵D＝D， ∴△GD≌△FD（SS）， ∴G＝F＝ ， ∴＝G﹣G＝3+﹣ ＝+ ， 在Rt△F 中，根据勾股定理得，（+ ）2+（3﹣）2＝ ， ∴＝1 或＝ （此时，＝+ ＝2，所以点与点重合，舍去）， ∴（0， ）， ∵（3，3）， ∴直线的解析式为y＝ x+ ①， ∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2②， 联立①②解得， 或 （由于点M 在第二象限，所以舍去）， ∴M（﹣ ， ）． 【例2】．如图，直线y＝ x+与x 轴交于点B（4，0），与y 轴交于点，抛物线y＝ x2+bx+经过点B，，与x 轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是直线B 下方的抛物线上一动点，求四边形PB 的面积最大时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线上一点，请直接写出使∠MB＝ ∠B 的点M 的坐标． 解：（1）将点B 坐标代入y＝ x+并解得：＝﹣3， 故抛物线的表达式为：y＝ x2+bx 3 ﹣， 将点B 坐标代入上式并解得：b＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x 3 ﹣①； （2）过点P 作P∥y 轴交B 于点， 设点P（x， x2﹣ x 3 ﹣），则点（x， x 3 ﹣）， S 四边形PB＝S△B+S△PB， ∵S△B是常数，故四边形面积最大，只需要S△PB最大即可， S△PB＝ ×B×P＝ ×4（ x 3 ﹣﹣ x2+ x+3）＝﹣ x2+6x， ∵﹣ ＜0，∴S△PB有最大值，此时，点P（2，﹣ ）； （3）过点B 作∠B 的角平分线交y 轴于点G，交抛物线于M′，设∠MB＝ ∠B＝2α， 过点B 在B 之下作角度数为α 的角，交抛物线于点M， 过点G 作GK⊥B 交B 于点K，延长GK 交BM 于点，则GB＝B，B 是G 的中垂线， B＝4，＝3，则B＝5， 设：G＝GK＝m，则K＝B﹣B＝5 4 ﹣＝1， 由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝ ， 则G＝GK＝ ，G＝2G＝ ，点G（0，﹣ ）， 在Rt△GK 中，GK＝G＝ ，G＝﹣G＝3﹣ ＝ ， 则s∠GK＝ ＝ ，s∠GK＝ ， 则点K（ ，﹣ ），点K 是点G 的中点，则点（ ，﹣ ）， 则直线B 的表达式为：y＝ x﹣ …②， 同理直线BG 的表达式为：y＝ x﹣ …③ 联立①②并整理得：27x2 135 ﹣ x+100＝0， 解得：x＝ 或4（舍去4）， 则点M（ ，﹣ ）； 联立①③并解得：x＝﹣ ， 故点M′（﹣ ，﹣ ）； 故点M（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+4 交x 轴于（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y 轴于点， 连接B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上一点，设P 点的横坐标为m． ①当点P 在第一象限时，过点P 作PD⊥x 轴，交B 于点D，过点D 作DE⊥y 轴，垂足 为E，连接PE，当△PDE 和△B 相似时，求点P 的坐标； ②请直接写出使∠PB＝ ∠B 的点P 的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+4 交x 轴于（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴ ， 解得， ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）令x＝0，得 ＝4， ∴（0，4）， ∴＝4， ∵B（3，0）， ∴B＝3， 设直线B 的解析式为y＝kx+（k≠0），则 ， 解得， ∴直线B 的解析式为：y＝ ， 设P（m， ），则D（m， ）， ∴DP＝ ，DE＝m， ∴ ， ∵∠B＝∠PDE＝90°， ∴当△PDE 和△B 相似时，有两种情况： 当△PDE∽△B 时，则 ，即 ＝ ， 解得，m＝ ， ∴P（ ， ）； 当△PDE∽△B 时，则 ，即 ＝ ， 解得，m＝2， ∴P（2，4）． 综上，当△PDE 和△B 相似时，点P 的坐标（ ， ）或（2，4）； ②过B 作BP 平分∠B，交抛物线于点P，交于点M，过M 作M⊥B 于点，如图1， 则∠PB＝ ∠B，M＝M， 在Rt△BM 和Rt△BM 中， ， Rt ∴ △BM Rt ≌ △BM（L）， ∴B＝B＝3， 设M＝t，则M＝M＝t，M＝4﹣t， ＝B﹣B＝ ﹣3＝2， ∵M2+2＝M2， ∴t2+22＝（4﹣t）2， ∴t＝ ， ∴M（0， ）， 设BM 的解析式为：y＝mx+ （m≠0）， 代入B（3，0）得，m＝ ， ∴直线BM 的解析式为：y＝﹣ ， 解方程组 得， ， ， ∴P（ ， ）， 取M（0， ）关于x 轴的对称点，K（0，﹣ ），连接BK，延长BK，交抛物线于点 P'，如图2 所示， 则∠BP＝ ∠B， 设直线BK 的解析式为y＝px （p≠0）， 代入B（3，0）得，p＝ ， ∴直线BK 的解析式为：y＝ ， 解方程组 得 ， ， ∴P'（ ， ）， 综上，使∠PB＝ ∠B 的点P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）． 【例3】．已知如图，抛物线y＝x2+bx 4 ﹣（≠0）交x 轴于、B 两点（点在B 点的左侧）， 交y 轴于点 ．已知＝＝2B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△E 的面积； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PB＝∠E，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）对于抛物线y＝x2+bx 4 ﹣， 令x＝0，则y＝﹣4， ∴（0，﹣4）， ∴＝4， ∵＝＝2B， ∴＝4，B＝2， ∴（﹣4，0），B（2，0）， ∵点，B 在抛物线y＝x2+bx 4 ﹣上， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为y＝ x2+x 4 ﹣； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝ x2+x 4 ﹣①， ∵直线y＝2x+m②与抛物线有且只有一个交点E， 联立①②得， ， ∴ x2﹣x﹣（4+m）＝0， ∴△＝1+4× （4+m）＝0， ∴m＝﹣ ， ∴ x2﹣x﹣ ＝0， ∴x1＝x2＝1， ∴E（1，﹣ ）， ∴直线E 的解析式为y＝﹣ x 2 ﹣ 如图1，记直线E 与y 轴的交点为F，则F（0，﹣2）， ∴S△E＝ F×|xE﹣x|＝ ×2×|1﹣（﹣4）|＝5； （3）由（2）知，E（1，﹣ ）， Ⅰ、当点P 在x 轴上方时，如图2， 将线段E 以点E 为旋转中心顺时针旋转90°得到线段EG，连接G，则∠EG＝45°， 在Rt△中，＝， ∴∠＝45°＝∠EG， ∴∠E＝∠G， ∴点P 是G 与抛物线的交点， 过点E 作M∥x，过点作M⊥M 于M，过点G 作G⊥M 于G， ∵（﹣4，0），E（1，﹣ ）， ∴M＝ ，ME＝5， ∴∠ME＝∠EG＝90°， ∴∠ME+∠EM＝90°， 由旋转知，E＝EG，∠EG＝90°， ∴∠EM+∠EG＝90°， ∴∠ME＝∠EG， ∴△ME≌△EG（S）， ∴E＝M＝ ，G＝ME＝5， ∴（ ，﹣ ），G（ ， ）， ∴直线G 的解析式为y＝ x+ ③， ∵抛物线的解析式为y＝ x2+x 4 ﹣④， 联立③④解得， 或 ， ∴P（ ， ）， Ⅱ、由Ⅰ知，点G 的坐标为G（ ， ），（ ，﹣ ）， ∴点G 与点关于x 轴对称， ∴点P 是直线与抛物线的交点， ∵（﹣4，0）， ∴直线的解析式为y＝﹣ x﹣ ⑤， 联立④⑤，解得， 或 ， ∴P（ ，﹣ ），即满足条件的点P 的坐标为P（ ， ）或（ ，﹣ ）． 变式训练 【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝（x+1）（x 3 ﹣）与x 轴相交于、B 两点，与y 轴的交 于点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式的一般式． （2）若抛物线上有一点P，满足∠＝∠PB，求P 点坐标． （3）直线l：y＝kx﹣k+2 与抛物线交于E、F 两点，当点B 到直线l 的距离最大时，求 △BEF 的面积． 解：（1）把（0，﹣3）代入y＝（x+1）（x 3 ﹣）， 得﹣3＝﹣3，解得＝1， 所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣），即y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）当点P 在直线B 的下方时，如图1，过点B 作BE⊥B 交P 的延长线于点E，过点E 作EM⊥x 轴于点M， ∵y＝（x+1）（x 3 ﹣）， ∴y＝0 时，x＝﹣1 或x＝3， ∴（﹣1，0），B（3，0）， ∴ ， ∵B＝＝3， ∴∠B＝45°，B＝3 ， ∵∠＝∠PB， t ∴ ， ∴BE＝ ， ∵∠BE＝90°， ∴∠MBE＝45°， ∴BM＝ME＝1， ∴E（4，﹣1）， 设直线E 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线E 的解析式为 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 当点P 在直线B 的上方时，过点B 作BF⊥B 交P 于点F，如图2， 同理求出BF＝ ，F＝B＝1， ∴F（2，1）， 求出直线F 的解析式为y＝2x 3 ﹣， ∴ ， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴P（4，5）． 综合以上可得点P 的坐标为（4，5）或（ ）； （3）∵直线l：y＝kx﹣k+2， ∴y 2 ﹣＝k（x 1 ﹣）， ∴x 1 ﹣＝0，y 2 ﹣＝0， ∴直线y＝kx﹣k+2 恒过定点（1，2），如图3，连接B，当B⊥直线l 时，点B 到直线l 的距离最大时， 求出直线B 的解析式为y＝﹣x+3， ∴k＝1， ∴直线l 的解析式为y＝x+1， ∴ ， 解得： ， ， ∴E（﹣1，0），F（4，5）， ∴ ＝10． 1．如图，已知直线B：y＝x 3 ﹣与x、y 轴分别交于、B 两点；抛物线y＝x2 2 ﹣x﹣m 与y 轴 交于点，与线段B 交于D、E 两点（D 在E 左侧） （1）若D、E 重合，求m 值； （2）连接D、E，若∠BD＝∠BE，求m 值； （3）连接D，若D＝E，求m 值． 解：（1）把y＝x 3 ﹣代入抛物线y＝x2 2 ﹣x﹣m 中，得x2 3 ﹣x+3﹣m＝0， ∵D、E 重合， ∴△＝9 4 ﹣（3﹣m）＝4m 3 ﹣＝0， ∴m＝ ； （2）∵y＝x 3 ﹣与x、y 轴分别交于、B 两点；抛物线y＝x2 2 ﹣x﹣m 与y 轴交于点， ∴B（0，﹣3），（0，﹣m）， ∴B＝3﹣m， 解方程组 得， ， ， ∴ ， ， ∴BD＝ ，BE＝ ， ∵∠BD＝∠BE，∠BD＝∠EB， ∴△BD∽△BE， ∴ ，即B2＝BD•BE， ∴ ， 解得，m＝1 或3， 当m＝3 时，B 与重合，不符合题意，舍去， ∴m＝1； （3）∵D＝E， ∴D2＝E2， ∴ + ， 即 ， 解得，m＝0，或m＝5 ， 当m＝0 时， 无意义，应舍去， 当m＝5+ 时，点在B 点下方，不合题意，舍去， ∴m＝5﹣ ， 2．如图①，抛物线y＝x2﹣（+1）x+与x 轴交于、B 两点（点位于点B 的左侧），与y 轴 交于点．已知△B 的面积为6． （1）求这条抛物线相应的函数表达式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠PB＝∠B，若存在，请求出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）如图②，M 是抛物线上一点，是射线上的一点，且M、两点均在第二象限内，、 是位于直线BM 同侧的不同两点．若点M 到x 轴的距离为d，△MB 的面积为2d，且∠M ＝∠B，求点的坐标． 解：（1）当y＝0 时，x2﹣（+1）x+＝0， 解得x1＝1，x2＝， ∵点位于点B 的左侧， ∴点坐标为（，0），点B 坐标为（1，0）， 当x＝0 时，y＝， ∴点坐标为（0，）， ∴B＝1﹣，＝﹣， ∵△B 的面积为6， ∴ ， ∴1＝﹣3，2＝4， ∵＜0， ∴＝﹣3， ∴y＝x2+2x 3 ﹣； （2）设直线B：y＝kx 3 ﹣，则0＝k 3 ﹣， ∴k＝3； ①当点P 在x 轴上方时，直线P 的函数表达式为y＝3x， 则 ， ∴ ， ， ∴点P 坐标为 ； ②当点P 在x 轴下方时，直线P 的函数表达式为y＝﹣3x， 则 ∴ ， ， ∴点P 坐标为 ， 综上可得 点P 坐标为 或 ； （3）过点作E⊥BM 于点E，过点作F⊥BM 于点F，设M 与B 交于点G，延长M 与x 轴 交于点； ∵B＝4，点M 到x 轴的距离为d， ∴S△MB＝ ×B×d＝ ×4×d＝2d， ∵S△MB＝2d， ∴S△MB＝S△MB， ∴ ， ∴E＝F， ∵E⊥BM，F⊥BM， ∴四边形EF 是矩形， ∴∥BM， ∵∠M＝∠B， ∴G＝G， ∵∥BM， ∴∠M＝∠MB，∠B＝∠BM， ∴∠MB＝∠BM， ∴GB＝GM， ∴G+GB＝G+GM 即B＝M， 在△MB 和△BM 中 ∴△MB≌△BM（SS）， ∴∠BM＝∠MB， ∵＝＝3，∠＝90°， ∴∠＝∠＝45°， 又∵∥BM， ∴∠BM＝∠＝45°， ∴∠MB＝45°， ∴∠BM+∠MB＝90°， ∴∠BM＝90°， ∴M、、三点的横坐标相同，且B＝M， ∵M 是抛物线上一点， ∴可设点M 的坐标为（t，t2+2t 3 ﹣）， 1 ∴﹣t＝t2+2t 3 ﹣， ∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去）， ∴点的横坐标为﹣4， 可设直线：y＝kx 3 ﹣，则0＝﹣3k 3 ﹣， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x 3 ﹣， 当x＝﹣4 时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1， ∴点的坐标为（﹣4，1）． 3．如图1，抛物线1：y＝x2+的顶点为，直线l：y＝kx+b 与抛物线1交于，两点，与x 轴交 于点B（1，0），且＝2B，S△＝4． （1）求直线l 的解析式； （2）求抛物线1与x 轴的交点坐标； （3）如图2，将抛物线1 向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线，且抛物线的顶点为 P，交x 轴负半轴于点M，交射线B 于点，Q⊥x 轴于点Q，当P 平分∠MQ 时，求m 的 值． 解：（1）∵B（1，0）， ∴B＝1， ∵＝2B， ∴＝2， ∴（0，﹣2）， 设直线l 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得 ， ∴直线l 的解析式为y＝2x 2 ﹣； （2）∵S△＝4， ∴ ， ∴x＝4， ∴y＝8 2 ﹣＝6， ∴（4，6）， 将（0，﹣2），（4，6）代入y＝x2+， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线1与的解析式为y＝ ； 令y＝0， ， 解得x＝±2， ∴抛物线1与x 轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）． （3）设抛物线表达式为：y＝ x2 2 ﹣﹣m，设点M（，0）， 则 2 2 ﹣﹣m＝0，抛物线表达式为：y＝ x2﹣ 2…③， 联立②③并解得：x＝2﹣或2+，则点（2﹣，2 2 ﹣）， 则Q＝2 2 ﹣，MQ＝2 2 ﹣， ∴△MQ 为等腰直角三角形，则∠MQ＝45°， 又点P（0，﹣