专题61 二次函数背景下的相似三角形问题（原卷版）(1)

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三 角形存在性问题”． 【相似判定】 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的 判定方法，解决问题． 【题型分析】 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1 或2 个动点，即可分为“单动 点”类、“双动点”两类问题． 【思路总结】 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1 基本是不会用的，这里也一样不怎么用， 对比判定2、3 可以发现，都有角相等！ 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角． 然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可 优先考虑思路1． 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？ 搞定这两个问题就可以了． 模型介绍 【例1】．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2 交x 轴于点，B，交y 轴于点，点M 是第一象限 内抛物线上一点，过点M 作M⊥x 轴于点．若△M 与△B 相似，求点M 的横坐标． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4 与x 轴、y 轴分别相交于点和 点，抛物线y＝x2+kx+k 1 ﹣图象过点和点，抛物线与x 轴的另一交点是B， （1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B 点坐标； （2）若在y 轴负半轴上存在点D，能使得以、、D 为顶点的三角形与△B 相似，请求出 点D 的坐标． 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（1，0），B 两点，与y 轴交于点（0， 3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）过点B 作x 轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PB 与△B 相似，请求出点P 的 例题精讲 坐标． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交 于点，且过点D（2，﹣3）．点P、Q 是抛物线y＝x2+bx+上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 在直线D 下方时，求△PD 面积的最大值． （3）直线Q 与线段B 相交于点E，当△BE 与△B 相似时，求点Q 的坐标． 1．抛物线y＝﹣x2平移后的位置如图所示，点，B 坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设 平移后的抛物线与y 轴交于点，其顶点为D． （1）求平移后的抛物线的解析式和点D 的坐标； （2）∠B 和∠BD 是否相等？请证明你的结论； （3）点P 在平移后的抛物线的对称轴上，且△DP 与△B 相似，求点P 的坐标． 2．如图，已知△B 中，∠B＝90°，以B 所在直线为x 轴，过点的直线为y 轴建立平面直角坐 标系．此时，点坐标为（﹣1，0），B 点坐标为（4，0） （1）试求点的坐标； （2）若抛物线y＝x2+bx+过△B 的三个顶点，求抛物线的解析式； （3）点D（1，m）在抛物线上，过点的直线y＝﹣x 1 ﹣交（2）中的抛物线于点E，那 么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D 为顶点的三角形与△BE 相似？若存 在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由． 3．如图已知直线y＝ x+ 与抛物线y＝x2+bx+相交于（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物 线y＝x2+bx+交y 轴于点（0，﹣ ），交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 为直线B 下方的抛物线上一动点，当△PB 的面积最大时，求△PB 的面积及 点P 的坐标； （3）若点Q 为x 轴上一动点，点在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QM 与△MD 相似 时，求点的坐标． 4．如图，已知抛物线 经过△B 的三个顶点，其中点（0，1），点B（﹣9， 10），∥x 轴，点P 是直线下方抛物线上的动点． （1）直接写出：b＝ ，＝ ； （2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线B，分别交于点E，F，当四边形EP 的面积最 大时，求点P 的坐标； （3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点Q，使得以，P，Q 为顶点的三角 形与△B 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线 经过点（﹣2，0），B（0，﹣4），与x 轴交于另一点，连接 B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S△PB＝S△PB，求直线P 的表达式； （3）在抛物线上是否存在点D，直线BD 交x 轴于点E，使△BE 与以，B，，E 中的三点 为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明 理由． 6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+6 经过两点（﹣1，0），B（3，0），是抛物线与y 轴的交 点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线P 与x 轴交于点 Q，当∠BQ＝∠B 时，求此时P 点坐标； （3）点M 在抛物线上运动，点在y 轴上运动，是否存在点M、点使得∠M＝90°，且△M 与△B 相似，如果存在，请求出点M 和点的坐标． 7．如图，抛物线 与x 轴交于，B 两点，点，B 分别位于原点的左、右 两侧，B＝3＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为点，D， ． （1）求b，的值； （2）求直线D 的函数解析式； （3）求∠DB 的度数； （4）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线B 上，当△BD 与△BPQ 相似 时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标． 8．在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（4，0）两 点，与y 轴交于点（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接D，B 交于点E，求 的最大值； （3）如图2，连接，B，过点作直线l∥B，点P，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探 究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△B？若存在，请求出所有符合条 件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，直线y＝﹣ x+与x 轴交于点（3，0），与y 轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+ 经过点，B． （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M 为线段上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线B 及抛物线分别交于点 P，．若以B，P，为顶点的三角形与△PM 相似，求点M 的坐标； （3）将抛物线在0≤x≤3 之间的部分记为图象L，将图象L 在直线y＝t 上方部分沿直线y ＝t 翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为，最小 值为b，若﹣b≤3，请直接写出t 的取值范围． 10．如图所示，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴相交于点，B、两点的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），直线y＝ kx+3k 经过点，与y 轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E 是抛物线上一动点（不与点重合），连接E，过点E 作EF⊥x 轴，垂足为F， 若△EF 是等腰直角三角形，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，若在直线y＝kx+3k 上存在一点G 使得△DFG 与△相似，求出k 的值． 11．如图，已知（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝x2+bx 1 ﹣过、B 两点，并与过点的直 线y＝﹣ x 1 ﹣交于点． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形P 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线的垂线，垂足为．问：是否存在这 样的点，使以点M、、为顶点的三角形与△相似，若存在，求出点的坐标，若不存在， 请说明理由． 12．抛物线L：y＝﹣x2+bx+经过点（0，1），与它的对称轴直线x＝1 交于点B． （1）求出抛物线L 的解析式； （2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L 交于点M、．若△BM 的面 积等于1，求k 的值； （3）如图2，将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与 y 轴交于点，过点作y 轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F 为抛物线L1的对称轴与x 轴 的交点，P 为线段上一点，若△PD 与△PF 相似，并且符合条件的点P 恰有2 个，求m 的 值及相应点P 的坐标． 13．设抛物线y＝x2+bx 2 ﹣与x 轴交于两个不同的点（﹣1，0）、B（m，0），与y 轴交于 点，且∠B＝90 度． （1）求m 的值和抛物线的解析式； （2）已知点D（1，）在抛物线上，过点的直线y＝x+1 交抛物线于另一点E．若点P 在 x 轴上，以点P、B、D 为顶点的三角形与△EB 相似，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，△BDP 的外接圆半径等于 ． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+ x﹣ 与x 轴交于点、B（点 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点在y 轴的正半轴上，D 交x 轴于点F，△D 绕点 顺时针旋转得到△FE，点恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点、B、D 的坐标； （2）求证：四边形BFE 是平行四边形； （3）如图2，过顶点D 作DD1⊥x 轴于点D1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM⊥x 轴，点M 为垂足，使得△PM 与△DD1相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？ 15．如图1，经过原点的抛物线y＝x2+bx（≠0）与x 轴交于另一点（ ，0），在第一象限 内与直线y＝x 交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）在第四象限内的抛物线上有一点，满足以B，，为顶点的三角形的面积为2，求点 的坐标； （3）如图2，若点M 在这条抛物线上，且∠MB＝∠B， ①求点M 的坐标； ②在（2）的条件下，是否存在点P，使得△P∽△MB？若存在，求出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由． 16．抛物线y＝x2+6x+过（2，3），B（4，3），（6，﹣5）三点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，抛物线上一点D 在线段的上方，DE⊥B，交于点E，若满足 ． 求点D 的坐标； （3）如图②，F 为抛物线顶点，过作直线l⊥B，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴 上运动，是否存在这样的点P、Q，使得△BQP 与△BF 相似（P 与F 为对应点），若存在， 直接写出P、Q 的坐标及此时△BQP 的面积；若不存在，请说明理由． 17．如图，二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象经过（0，0），（4，4），B（3，0）三点，以点为 位似中心，在y 轴的右侧将△B 按相似比2：1 放大，得到△′B′，二次函数y＝x2+bx+ （≠0）的图象经过，′，B′三点． （1）画出△′B′，试求二次函数y＝x2+bx+（≠0）的表达式； （2）点P（m，）在二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象上，m≠0，直线P 与二次函数y＝x2+bx+ （≠0）的图象交于点Q（异于点）． ①求点Q 的坐标（横、纵坐标均用含m 的代数式表示） ②连接P，若2P＞Q，求m 的取值范围； ③当点Q 在第一象限内，过点Q 作QQ′平行于x 轴，与二次函数y＝x2+bx+（≠0）的图 象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象交于点M，（M 在的左侧），直线Q′与 二次函数y＝x2 3 ﹣x 的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′，则线段Q 的长度等于 6 ． 18．如图1，图形BD 是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝x2+b（＞0）的部分图象 围成的封闭图形．已知（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）． （1）直接写出这两个二次函数的表达式； （2）判断图形BD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形BD 上），并说明理 由； （3）如图2，连接B，D，D，在坐标平面内，求使得△BD 与△DE 相似（其中点与点E 是对应顶点）的点E 的坐标． 19．如图，直线y＝ x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛物线y＝ x2+bx+经过点， B． （）求抛物线的解析式； （Ⅱ）M（m，0）为x 轴上一个动点，过点M 作直线M 垂直于x 轴，与直线B 和抛物线 分别交于点P、． ①点M 在线段上运动，若以B，P，为顶点的三角形与△PM 相似，求点M 的坐标； ②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M，P，中恰有一点是其它两点所连线段的中点 （三点重合除外），则称M，P，三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，三点成 为“共谐点”的m 的值． 20．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（﹣4，0）、B（1，0），与y 轴交于点（0， 2）． （1）求抛物线的表达式； （2）将△B 绕B 中点E 旋转180°，得到△BD． ①求点D 的坐标； ②判断四边形DB 的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点F，使△EF 与△BD 相似？若存在，求所有满足条 件的F 点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知抛物线y＝﹣x2+3x+4 交y 轴于点，交x 轴于点B，（点B 在点的右侧）．过点作 垂直于y 轴的直线l．在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P，过点P 作直线PQ 平行 于y 轴交直线l 于点Q．连接P． （1）写出，B，三点的坐标； （2）若点P 位于抛物线的对称轴的右侧： ①如果以，P，Q 三点构成的三角形与△相似，求出点P 的坐标； ②若将△PQ 沿P 对折，点Q 的对应点为点M．是否存在点P，使得点M 落在x 轴上？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ③设P 的中点是R，其坐标是（m，），请直接写出m 和的关系式，并写出m 的取值范 围． 22．如图，抛物线y＝x2+bx+2 与x 轴交于、B 两点，且＝2B，与y 轴交于点，连接B，抛 物线对称轴为直线x＝ ，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE⊥于点E，与 交于点F，设点D 的横坐标为m． （1）求点的坐标与抛物线的表达式； （2）连接D，D，设四边形D 的面积为S． ①求S 与m 的关系式； ②当S 最大时，求D 点的坐标． （3）若点P 是对称轴上一点，当△DPF∽△B 时，求m 的值．