模型06 三角形——8字模型-解析版

三角形 模型（六）——8 字模型 ◎结论：如图，与BD 相交于点，则∠+∠B=∠+∠D 【证明】在△B 中，∠+∠B+∠1=180° 在△D 中，∠+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠+∠B=∠+∠D 1：若 BP，DP 分别是∠B，∠D 的平分线，则∠P= 1 2 （∠＋∠） 2：若∠BP= 1 3 ∠B,∠DP= 1 3 ∠D，则∠P= 1 3 ∠+ 2 3 ∠ 3： B+B+D+D＞+BD 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，B 和D 相交于点，∠＝∠，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ） ．∠B＝∠D B．∠1＝∠＋∠D ．∠2＞∠D D．∠＝∠D 【答】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠＋∠D＋∠D＝180°，∠＋∠B＋∠B＝180°，∠＝∠，∠D＝∠B， ∴∠B＝∠D， 1 ∵∠＝∠2＝∠＋∠D， 2 ∴∠＞∠D， 故选项，B，正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠1=60°，则∠+ B+ + D+ E+ F= ∠ ∠∠ ∠ ∠ （ ） ．240° B．280° ．360° D．540° 【答】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠的和，然后在五星中求得∠1 与另外四个角的和，加在一起即可． 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3= + E ∠∠，∠2= F+ D ∠ ∠， 1+ 2+ 3=180° ∵∠ ∠ ∠ ，∠1=60°， 2+ 3=120° ∴∠ ∠ ， 即：∠+ E+ F+ D=120° ∠ ∠ ∠ ， B+ =120° ∵∠ ∠ ， + B+ + D+ E+ F=240° ∴∠∠ ∠∠ ∠ ∠ ． 故选． 【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部 分来分别求出来，然后再加在一起． 3．（2022·天津市汇文中学八年级阶段练习）如图是由线段B，D，DF，BF，组成的平面图形， ，则 的度数为 ． B． ． D． 【答】 【详解】∵如图可知 ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故选 ． 点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠+ + ∠∠F+∠B﹣ ∠D=180°，此题难度不大． 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + + ∠∠∠K 的度数为__． 【答】1080° 【分析】连KF，G，根据边形的内角和定理得到7 边形BDEFK 的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠＋∠B＋∠＋ ∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠＝180°，则 ∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠＝900°＋180°，即可得到∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F ＋∠G＋∠＋∠＋∠K 的度数． 【详解】解：连KF，G，如图， 7 ∵边形BDEFK 的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， 1 ∵∠＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠＝180°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠＝900°＋180°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠＋∠K＝1080°． 故∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠＋∠K 的度数为1080°． 故答为：1080°． 【点睛】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和为（－2）×180°（≥3 的整数）． 2．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ， ， 保持 不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应___________（填“增加”或“减少”）___ ________度． 【答】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D、∠E、∠DE 之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠+∠B=50°+60°=110°， ∴∠B=180°-110°=70°， ∴∠DE=70°， 如图，连接F 并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DF=20°+∠DF， ∠EFM=∠E+∠EF=30°+∠EF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+ DF+30°+ EF=50°+ DE=50°+70°=120° ∠ ∠ ∠ ， 要使∠EFD=110°，则∠EFD 减少了10°， 若只调整∠D 的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DF+∠E+∠EF=∠D+∠E+∠ED=∠D+30°+70°= ∠D+100°， 因此应将∠D 减少10 度； 故答为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是 理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的 思想方法． 3．（2022·全国·八年级专题练习）如图， ， ， ， ，求 和 的度数． 【答】 ， 【分析】由 ，可得 ，根据三角形外角性质可得 ，因为 ，即可求得 的度数；根据三角形外角的性质可得 ，即可得 的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，采用了数形结合的思想方法．找到相应等量关系的角 是解题的关键． 4．（2022·全国·八年级）阅读材料： 如图1，B、D 交于点，我们把△D 和△B 叫做对顶三角形． 结论：若△D 和△B 是对顶三角形，则∠+∠D＝∠B+∠． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠+∠B+∠E+∠DB+∠E 的度数． 解：连接D，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+ 2 ∠， 在△D 中，∵∠+∠D+∠D＝180°， 即∠+ 3+ 1+ 2+ 4 ∠ ∠ ∠ ∠＝180°， + ∴∠∠E+∠B+∠E+DB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F＝ ； （2）如图②，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G＝ ； （3）如图③，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+∠＝ ； （4）如图④，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠M+∠＝ ； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接D，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BD＋∠D，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BED＋∠DE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接B、DE，由对顶角三角形可知∠EB＋∠BD＝∠DE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接D、E，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠G＋∠EG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接D，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BD＋∠D，则∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BED＋∠DE，则∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接B、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EB＋∠BD＝∠DE＋∠BED， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＝五边形DEFG 的内角和＋△B 的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接D、E， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠G＋∠EG， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠M＋∠＝六边形BFGM 的内角和＋△D 的内角和＋△DE 的内角和＝（6－ 2）×180°＋360°＝1080°． 故答为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△D 和△B 叫做对顶三角形的性质及多边形 的内角和定理解答是解答此题的关键． 1．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图1，已知线段 、 相交于点，连接 、 ，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”．试解答下列问题： (1)在图1 中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1 的条件下， 和 的平分线 和 相交于点P，并且与 、 分别相交于M、． 请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数：___________个； ②若 ，试求 的度数； ③若 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 、 之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推 理过程；若不存在，请说明理由； ④若 和 ∠为任意角， ，试问 与 、 之间是否存在一定的数量关系？若存 在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) 6 ①② ③存在（理由见解析）④存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点M、、为顶点的能构成“8 字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8 字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出 的度数． ③和②同理 ④利用“8 字形”的数量关系并结合“ ， ”即可得出结论． (1) 解： 在 中， 在 中， （对顶角相等） (2) ①解：以M 为交点的有1 个，即为 和 以为交点的有4 个，即为 和 ， 和 ， 和 ， 和 ②解： P 平分 ，P 平分 由（1）中的结论得： 整理得： ③解： 理由如下： P 平分 ，P 平分 由（1）中的结论得： 整理得： ④解： 理由如下： 由（1）中的结论得： 整理得： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8 字形”模型是解决本题的关键． 2．（1）如图①，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F 的度数； （2）如图②，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+∠的度数； （3）如图③，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G 的度数． 【答】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）连接D，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠＝∠BD＋∠D，进而将问题转化为求四边形DEF 的内角 和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形BDEF 的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形BDE 的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接D， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠＝∠BD＋∠D， ∴∠BF＋∠B＋∠＋∠DE＋∠E＋∠F＝∠BF＋∠BD＋∠D＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形DEF 的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BF＋∠B＋∠＋∠DE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠B＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠的度数等于六边形BDEF 的内角和， ∴∠B＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GE＋∠FE， ∠BG＋∠B＋∠＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G 的度数等于五边形BDE 的内角和， ∴∠BG＋∠B＋∠＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．