48 二次函数与线段和角的数量关系问题

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 二次函数与线段和角的数量关系问题 【真题再现】 1．（2020 年泰州第26 题）如图，二次函数y1＝（x﹣m）2+，y2＝6x2+（＜0，m＞0，＞ 0）的图象分别为1、2，1交y 轴于点P，点在1上，且位于y 轴右侧，直线P 与2在y 轴 左侧的交点为B． （1）若P 点的坐标为（0，2），1的顶点坐标为（2，4），求的值； （2）设直线P 与y 轴所夹的角为α． ①当α＝45°，且为1的顶点时，求m 的值； ②若α＝90°，试说明：当、m、各自取不同的值时，PA PB 的值不变； （3）若P＝2PB，试判断点是否为1的顶点？请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）①如图1 中，过点作⊥x 轴于，过点P 作PM⊥于M．证明M＝PM＝m，根据 M+M＝M+P＝，构建关系式即可解决问题． ②如图2 中，由题意B⊥y 轴，求出P，PB 的长即可解决问题． （3））如图3 中，过点作⊥x 轴于，过点P 作PK⊥于K，过点B 作BE⊥KP 交KP 的延 长线于E．设B（b，6b2+），由P＝2PB，推出[ 2 ﹣b，（﹣2b﹣m）2+]，由BE∥K，推 出BE AK = PB PA =1 2，推出K＝2BE，由此构建关系式，证明m＝﹣2b 即可解决问题． 【解析】（1）由题意m＝2，＝4， ∴y1＝（x 2 ﹣）2+4， 把（0，2）代入得到¿−1 2． （2）①如图1 中，过点作⊥x 轴于，过点P 作PM⊥于M． ∵y1＝（x﹣m）2+＝x2 2 ﹣mx+m2+， ∴P（0，m2+）， ∵（m，）， ∴PM＝m，＝， ∵∠PM＝45°， ∴M＝PM＝m， ∴m+m2+＝， ∵m＞0， ∴m＝﹣1． ②如图2 中，由题意B⊥y 轴， ∵P（0，m2+）， 当y＝m2+时，m2+＝6x2+， 解得x＝± ❑ √6 6 m， ∴B（−❑ √6 6 m，m2+）， ∴PB¿ ❑ √6 6 m， ∵P＝2m， ∴ PA PB = 2m ❑ √6 6 m =¿ 2❑ √6． （3）如图3 中，过点作⊥x 轴于，过点P 作PK⊥于K，过点B 作BE⊥KP 交KP 的延长 线于E． 设B（b，6b2+）， ∵P＝2PB， ∴点的横坐标为﹣2b， [ 2 ∴﹣b，（﹣2b﹣m）2+]， ∵BE∥K， ∴BE AK = PB PA =1 2， ∴K＝2BE， ∴（﹣2b﹣m）2+﹣m2﹣＝2（m2+ 6 ﹣b2﹣）， 整理得：m2 2 ﹣bm 8 ﹣b2＝0， ∴（m 4 ﹣b）（m+2b）＝0， ∵m 4 ﹣b＞0， ∴m+2b＝0， ∴m＝﹣2b， ∴（m，）， ∴点是抛物线1的顶点． 2．（2020 年淮安第27 题）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4 的图象与直线l 交于（﹣1， 2）、B（3，）两点．点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线l 于点M， 交该二次函数的图象于点，设点P 的横坐标为m． （1）b＝ 1 ，＝ ﹣ 2 ； （2）若点在点M 的上方，且M＝3，求m 的值； （3）将直线B 向上平移4 个单位长度，分别与x 轴、y 轴交于点、D（如图②）． ①记△B 的面积为S1，△的面积为S2，是否存在m，使得点在直线的上方，且满足S1﹣S2 ＝6？若存在，求出m 及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由． ②当m＞﹣1 时，将线段M 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、F、．若 ∠FB+∠D﹣∠BF＝45°，直接写出直线F 与该二次函数图象交点的横坐标． 【分析】（1）将点坐标代入二次函数解析式中，求出b，进而得出二次函数解析式，再 将点B 坐标代入二次函数中，即可求出的值； （2）先表示出点M，的坐标，进而用M＝3 建立方程求解，即可得出结论； （3）①先求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线B 的解析式，进而表示出 S1，S2，最后用S1﹣S2＝6 建立方程求出m 的值； ②先判断出F∥，进而求出直线F 的解析式，再判断出F∥x 轴，进而求出点F 的坐标， 即可求出直线F 的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结论． 【解析】（1）将点（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4 中，得﹣1﹣b+4＝2， ∴b＝1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， 将点B（3，）代入二次函数y＝﹣x2+x+4 中，得＝﹣9+3+4＝﹣2， 故答为：1，﹣2； （2）设直线B 的解析式为y＝kx+，由（1）知，点B（3，﹣2）， ∵（﹣1，2）， ∴{ −k+a=2 3k+a=−2， ∴{ k=−1 a=1 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+1， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， ∵点P（m，0）， ∴M（m，﹣m+1），（m，﹣m2+m+4）， ∵点在点M 的上方，且M＝3， ∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3， ∴m＝0 或m＝2； （3）①如图1，由（2）知，直线B 的解析式为y＝﹣x+1， ∴直线D 的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5， 令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝5， ∴（5，0）， ∵（﹣1，2），B（3，﹣2）， ∴直线的解析式为y¿−1 3x+5 3 ，直线B 的解析式为y＝x 5 ﹣， 过点作y 轴的平行线交于K，交B 于，∵点P（m，0）， ∴（m，﹣m2+m+4），K（m，−1 3 m+5 3 ），（m，m 5 ﹣）， ∴K＝﹣m2+m+4+1 3 m−5 3 =−¿m2+4 3 m+7 3 ，＝﹣m2+9， ∴S2＝S△¿ 1 2K×（x﹣x）¿ 1 2（﹣m2+4 3 m+7 3 ）×6＝﹣3m2+4m+7， S1＝S△B¿ 1 2×（x﹣xB）＝﹣m2+9， ∵S1﹣S2＝6， ∴﹣m2+9﹣（﹣3m2+4m+7）＝6， ∴m＝1+❑ √3（由于点在直线上方，所以，舍去）或m＝1−❑ √3； ∴S2＝﹣3m2+4m+7＝﹣3（1−❑ √3）2+4（1−❑ √3）+7＝2❑ √3−¿1， S1＝﹣m2+9＝﹣（1−❑ √3）2+9＝2❑ √3+¿5； ②如图2， 记直线B 与x 轴，y 轴的交点为，L， 由（2）知，直线B 的解析式为y＝﹣x+1， ∴（1，0），L（0，1）， ∴L＝， ∴∠LD＝∠L＝45°， ∴∠D+∠B＝45°， 过点B 作BG∥， ∴∠BG＝∠B， ∴∠D+∠BG＝45°， ∵∠FB＝∠BG+∠FBG，∠FB+∠D﹣∠BF＝45°， ∴∠BG+∠FBG+∠D﹣∠BF＝45°， ∴∠FBG＝∠BF， ∴BG∥F， ∴∥F， ∵（﹣1，2）， ∴直线的解析式为y＝﹣2x， ∵（5，0）， ∴直线F 的解析式为y＝﹣2x+10， 过点，F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线，交于点Q，S， 由旋转知，M＝MF，∠MF＝90°， ∴△MF 是等腰直角三角形， ∴∠FM＝45°， ∵∠＝45°， ∴∠FM＝∠， ∴F∥x 轴， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F（4，2）， ∴直线F 的解析式为y¿ 1 2x①， ∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4②， 联立①②解得，{ x=1+❑ √65 4 y=1+❑ √65 8 或{ x=1−❑ √65 4 y=1−❑ √65 8 ， ∵m＞﹣1， ∴直线F 与该二次函数图象交点的横坐标为1+❑ √65 4 ． 3．（2020 年常州第28 题）如图，二次函数y＝x2+bx+3 的图象与y 轴交于点，过点作x 轴 的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点（1，0），且顶点为D，连接、B、BD、 D． （1）填空：b＝ ﹣ 4 ； （2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线P 交直线BD 于点Q．若∠QD＝ ∠B，求点P 的坐标； （3）点E 在直线上，点E 关于直线BD 对称的点为F，点F 关于直线B 对称的点为G， 连接G．当点F 在x 轴上时，直接写出G 的长． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，当点Q 在点D 上方时，过点作E⊥B 于E，设BD 与x 轴交于点 F，可得点E（1，3），E＝BE＝3，E＝1，可得∠EB＝∠EB＝45°，t∠E¿ AE EC =1 3，∠BF ＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BD＝90°，可求∠E＝∠DB，可得∠B＝∠FD，可得点F 与点Q 重合，即可求点P 坐标； 当点Q 在点D 下方时，过点作⊥DB 于，在线段B 的延长线上截取F＝Q，连接Q 交抛 物线于点P，先求直线BD 解析式，点F 坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出Q 解析式，联立方程组，可求点P 坐标； （3）设直线与BD 的交点为，作⊥BD 于，过点作M⊥x 轴，过点E 作EM⊥M，连接 G，GF，先求出∠＝45°，由轴对称的性质可得E＝F，∠EB＝∠FB＝45°，由“S”可证 △EM≌△KF，可得EM＝K¿ 9 5 ，M＝KF，可求F＝6，由轴对称的性质可得点G 坐标，即 可求解． 【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3 的图象过点（1，0）， 0 ∴＝1+b+3， ∴b＝﹣4， 故答为：﹣4； （2）∵b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2 4 ﹣x+3 ∵抛物线y＝x2 4 ﹣x+3 的图象与y 轴交于点，过点作x 轴的平行线交抛物线于另一点B， ∴点（0，3），3＝x2 4 ﹣x+3， ∴x1＝0（舍去），x2＝4， ∴点B（4，3）， ∵y＝x2 4 ﹣x+3＝（x 2 ﹣）2 1 ﹣， ∴顶点D 坐标（2，﹣1）， 如图1，当点Q 在点D 上方时，过点作E⊥B 于E，设BD 与x 轴交于点F， ∵点（0，3），点B（4，3），点（1，0），E⊥B， ∴点E（1，3），E＝BE＝3，E＝1， ∴∠EB＝∠EB＝45°，t∠E¿ AE EC =1 3， ∴∠BF＝45°， ∵点B（4，3），点（1，0），点D（2，﹣1）， ∴B¿ ❑ √9+9=¿3❑ √2，D¿ ❑ √1+1=❑ √2，BD¿ ❑ √(4−2)❑ 2+(3+1) 2=¿2❑ √5， ∵B2+D2＝20＝BD2， ∴∠BD＝90°， t ∴∠DB¿ CD BC = ❑ √2 3 ❑ √2=1 3=¿t∠E， ∴∠E＝∠DB， ∴∠E+∠EB＝∠DB+∠BF， ∴∠B＝∠FD， 又∵∠QD＝∠B， ∴点F 与点Q 重合， ∴点P 是直线F 与抛物线的交点， 0 ∴＝x2 4 ﹣x+3， ∴x1＝1，x2＝3， ∴点P（3，0）； 当点Q 在点D 下方上，过点作⊥DB 于，在线段B 的延长线上截取F＝Q，连接Q 交抛 物线于点P， ∵⊥DB，F＝Q， ∴F＝Q， ∴∠FD＝∠QD， ∴∠QD＝∠B， ∵⊥BD， ∵点B（4，3），点D（2，﹣1）， ∴直线BD 解析式为：y＝2x 5 ﹣， ∴点F（5 2，0）， ∴直线解析式为：y¿−1 2x+1 2 ， ∴{ y=−1 2 x+ 1 2 y=2 x−5 ， 解得{ x=11 5 y=−3 5 ， ∴点坐标为（11 5 ，−3 5 ）， ∵F＝Q， ∴点Q（19 10，−6 5 ）， ∴直线Q 解析式为：y¿−4 3 x+4 3 ， 联立方程组{ y=−4 3 x+ 4 3 y=x❑ 2−4 x+3 ， 解得：{ x1=1 y1=0或{ x❑2=5 3 y❑2=−8 9 ， ∴点P（5 3，−8 9 ）； 综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（5 3，−8 9 ）； （3）如图，设直线与BD 的交点为，作⊥BD 于，过点作M⊥x 轴，过点E 作EM⊥M， 连接G，GF， ∵点（0，3），点（1，0）， ∴直线解析式为：y＝﹣3x+3， ∴{ y=−3 x+3 y=2 x−5 ， ∴{ x=8 5 y=−9 5 ， ∴点坐标为（8 5，−9 5 ）， ∵点坐标为（11 5 ，−3 5 ）， ∴2＝（11 5 −¿1）2+（3 5）2¿ 9 5，2＝（11 5 −8 5）2+（−3 5 + 9 5）2¿ 9 5 ， ∴＝， ∴∠＝45°， ∵点E 关于直线BD 对称的点为F， ∴E＝F，∠EB＝∠FB＝45°， ∴∠EF＝90°， ∴∠EM+∠FM＝90°， 又∵∠EM+∠ME＝90°， ∴∠ME＝∠FM， ∴△EM≌△KF（S） ∴EM＝K¿ 9 5 ，M＝KF， ∴点E 的横坐标为−1 5 ， ∴点E（−1 5 ，18 5 ）， ∴M¿ 27 5 =¿KF， ∴F¿ 8 5 + 27 5 −¿1＝6， ∵点F 关于直线B 对称的点为G， ∴F＝G＝6，∠BF＝∠GB＝45°， ∴∠GF＝90°， ∴点G（1，6）， ∴G¿ ❑ √1❑ 2+(6−3)❑ 2=❑ √10． 4．（2020 年镇江第28 题）如图①，直线l 经过点（4，0）且平行于y 轴，二次函数y＝x2 2 ﹣x+（、是常数，＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l 于点，图象的顶点为 D，它的对称轴与x 轴交于点，直线DM、D 分别与x 轴相交于、B 两点． （1）当＝﹣1 时，求点的坐标及AC BC 的值； （2）随着的变化，AC BC 的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，B＝2BE，DE 交抛物线于点F．若FB＝ FE，求此时的二次函数表达式． 【分析】（1）证明△DMG∽△D，△DB∽△DT，求出¿ 5 2，B¿ 5 3，即可求解； （2）点D（1，1 4 ﹣），（4，1+5），则ME＝2，DE＝﹣4，由（1）的结论得： ¿ 1−4 a −2a ，B¿ 1−4 a −3a ，即可求解； （3）利用△FE∽△DE，求出F（5 3−5 12a，1 6−2 3），即可求解． 【解析】（1）分别过点M、作MG⊥D 于点E，T⊥D 于点T， ∵MG∥T∥x 轴， ∴△DMG∽△D，△DB∽△DT， ∴MG AC = DG DC ，BC TN = DC DT ， ∵＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+， 将M（﹣1，1）代入上式并解得：＝4， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4， 则点D（1，5），（4，﹣4）， 则MG＝2，DG＝4，D＝5，T＝3，DT＝9， ∴2 AC = 4 5 ，BC 3 =5 9，解得：¿ 5 2，B¿ 5 3， ∴AC BC =3 2； （2）不变， 理由：∵y＝x2 2 ﹣x+过点M（﹣1，1），则+2+＝1， 解得：＝1 3 ﹣， ∴y＝x2 2 ﹣x+（1 3 ﹣）， ∴点D（1，1 4 ﹣），（4，1+5）， ∴MG＝2，DG＝﹣4，D＝1 4 ﹣，F＝3，DF＝﹣9， 由（1）的结论得：¿ 1−4 a −2a ，B¿ 1−4 a −3a ， ∴AC BC =3 2； （3）过点F 作F⊥x 轴于点，则F∥l，则△FE∽△DE， ∵FB＝FE，F⊥BE， ∴B＝E， ∵B＝2BE， 则E＝6E， ∵D＝1 4 ﹣， ∴F¿ 1−4 a 6 ， ∵B¿ 4 a−1 3a ， ∴¿ 5 4 × 4 a−1 3a =20a−5 12a ， ∴F（5 3−5 12a +¿1，1 6 −2 3）， 将点F 的坐标代入y＝x2 2 ﹣x+（1 3 ﹣）＝（x+1）（x 3 ﹣）+1 得： 1 6−2 3＝（5 3−5 12a +¿1+1）（5 3−5 12a +¿1 3 ﹣）+1， 解得：¿−5 4 或1 4 （舍弃）， 经检验¿−5 4 ， 故y¿−5 4 x2+5 2 x+19 4 ． 解法二：∵：B＝3：2，B＝2BE， ∴＝E， ∴D 与DE 关于直线D 对称， ∵D，DE 交抛物线于M，F， ∴M，F 关于直线D 对称， ∴F（3，1）， ∴1 6−2 3＝1， ∴¿−5 4 ． 故y¿−5 4 x2+5 2 x+19 4 ． 5．（2019 年宿迁28 题）如图，抛物线y＝x2+bx+交x 轴于、B 两点，其中点坐标为（1， 0），与y 轴交于点（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点P 在抛物线上，且满足∠PB＝2∠．求点P 的坐标； （3）如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点， 直线Q、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、．请问DM+D 是否为定值？如果是，请求 出这个定值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得b、的值． （2）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长P 到，使＝ B 构造等腰△B，作B 中点G，即有∠PB＝2∠BG＝2∠，利用∠的三角函数值，求BG、B 的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标． ②若点P 在x 轴上方，根据对称性，P 一定经过点关于x 轴的对称点'，求得直线'的解析 式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标． （3）设点Q 横坐标为t，用t 表示直线Q、B 的解析式，把x＝﹣1 分别代入即求得点 M、的纵坐标，再求DM、D 的长，即得到DM+D 为定值． 【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+经过点（1，0），（0，﹣3） ∴{ 1+b+c=0 0+0+c=−3 解得：{ b=2 c=−3 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x 3 ﹣ （2）①若点P 在x 轴下方，如图1， 延长P 到，使＝B，过点B 作B⊥x 轴，连接B，作B 中点G，连接并延长G 交B 于点 F，过点作⊥B 于点 ∵当x2+2x 3 ﹣＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1 ∴B（﹣3，0） ∵（1，0），（0，﹣3） ∴＝1，＝3，¿ ❑ √1 2+3 2=❑ √10，B＝4 Rt ∴ △中，s∠¿ OA AC = ❑ √10 10 ，s∠¿ OC AC =3 ❑ √10 10 ∵B＝，G 为B 中点 ∴G⊥B，BG＝G ∴∠BG＝∠G，即∠PB＝2∠BG ∵∠PB＝2∠ ∴∠BG＝∠ Rt ∴ △BG 中，∠GB＝90°，s∠BG¿ BG AB = ❑ √10 10 ∴BG¿ ❑ √10 10 B¿ 2❑ √10 5 ∴B＝2BG¿ 4 ❑ √10 5 ∵∠B+∠BG＝∠BG+∠BG＝90° ∴∠B＝∠BG＝∠ Rt ∴ △B 中，∠B＝90°，s∠B¿ HI BH = ❑ √10 10 ，s∠B¿ BI BH =3 ❑ √10 10 ∴¿ ❑