2.1由比例线段产生的函数关系问题

21 由比例线段产生的函数关系问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年东营市中考第25 题 如图1，抛物线过点(0, 0)、E(10, 0)，矩形BD 的边B 在线段E 上（点B 在点的左侧）， 点、D 在抛物线上，设B(t, 0)，当t＝2 时，B＝4． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t 为何值时，矩形BD 的周长有最大值？ 最大值是多少？ （3）保持t＝2 时的矩形BD 不动，向右平移抛 物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G、，且直线G 平分矩形BD 的面积时，求抛物线平 移的距离． 图1 例 2023 年重庆市中考B 卷第25 题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于点、B，与y 轴交于 点，其中B(3,0)，(0,－3)． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 是直线下方抛物线上一动点，过点P 作PD⊥于点D，求PD 的最大值及此 时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5 个单位，点E 为点P 的对应点，平移 后的抛物线与y 轴交于点F，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来． 图1 例 2023 年眉山市中考第26 题 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋与x 轴交于(－3, 0)、B(1,0)两点，与y 轴交于点(0, 3)，点P 是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P 在直线上方的抛物线上时，连结BP 交于 点D．如图1，当 的值最大时，求点P 的坐标及 的最大值； （3）过点P 作x 轴的垂线交直线于点M，连结P． 将△PM 沿直线P 翻折，当点M 的对应点M′恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐 标． 图1 例 2023 年大连市中考第26 题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线1：y＝x2 与抛物线2：y＝－x2＋bx＋交于点、 B，且、B 两点的横坐标分别为－2 和1，过点作//x 轴与抛物线1相交于点，以、 长为 邻边向上方作矩形DE． （1）求抛物线2的解析式； （2）将矩形DE 先向左平移m 个单位长度，再向下平移个单位长度，得到矩 形′′D′E′，平移后点的对应点′在抛物线1上． ①求关于m 的解析式，并直接写出自变量m 的取值范围； ②设直线′E′交抛物线1于点P，交抛物线2于点Q，当点E′是PQ 的中点时，求m 的值； ③抛物线2与边E′D′、′′分别相交于点M、，点M、在抛物线2的对称轴的同侧，当M ＝ 时，求点′的坐标． 图1 备用图 例 2023 年扬州市中考第28 题 在平面直角坐标系中，已知点在y 轴的正半轴上． （1）如果四个点(0, 0)、(0, 2)、(1, 1) 、(－1, 1)中恰有三个点在二次函数y＝x2（为常 数，且≠0）的图像上． ①＝_________； ②如图1，已知菱形BD 的顶点B、、D 在该二次函数的图像上，且D⊥y 轴，求菱形 的边长； ③如图2，已知正方形BD 的顶点B、D 在该二次函数的图像上，点B、D 在y 轴的同 侧，且点B 在点D 的左侧，设点B、D 的横坐标分别为m、，试探究－m 是否为定值．如 果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形BD 的顶点B、D 在二次函数y＝x2（为常数，且＞0）的图像上，点 B 在点D 的左侧，设点B、D 的横坐标分别为m、，直接写出m、满足的等量关系式． 图1 图2 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》强化训练篇（黄皮书）中 （23 连云港27）【问题情境 建构函数】（1）如图1，在矩形BD 中，B＝4，M 是D 的中点，E⊥BM，垂足为E．设B＝x，E＝y，试用含x 的代数式表示y． 【由数想形 新知初探】（2）在上述表达式中，y 与x 成函数关系，其图像如图2 所示． 若x 取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2 上补全 函数图像． 图1 图2 【数形结合 深度探究】（3）在“x 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得 出以下结论：①函数值y 随x 的增大而增大；②函数值y 的取值范围是 ＜y＜ ； ③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在函数图像上存在四点、B、、D，使得四边 形BD 是平行四边形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归 拓展总结】（4）若将（1）中的“B＝4”改成“B＝2k”，此时y 关于x 的函 数表达式是____________；一般地，当k≠0，x 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、 二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3 条即可）． （23 衡阳26）如图，已知抛物线y＝x2－2x＋3 与x 轴交于点(－1, 0)和点B，与y 轴交 于点，联结，过B、两点作直线． （1）求的值； （2）将直线B 向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、′两点．在直线B′′上 方的抛物线上是否存在定点D，无论m 取何值时，都是点D 到直线B′′的距离最大，若存在， 请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在点P，使∠PB＋∠＝45°，若存在，请求出直线BP 的解析式； 若不存在，请说明理由． 备用图