专题03速度合成及小船过河（教师版） 2023全国初中物理自主招生专题大揭秘

第1 页/ 共19 页 一．选择题（共7 小题） 1．如图所示，均质细杆的上端靠在光滑竖直墙面上，下端B 置于光滑水平面上，现细杆 由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆端与B 端的速度大小之比为 时，细杆与水平面 间夹角θ 为（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 【分析】、B 两点沿杆方向的分速度大小相等，根据题意求出细杆与水平面间的夹角。 【解答】解：、B 两点速度如图所示 、B 两点沿细杆方向的分速度相等，则vsθ＝vBsθ 由题意可知：v：vB＝ ：1，解得：θ＝60°，故正确，BD 错误。 故选：。 2 “ ” “ ”“ ”“ ”“ ．《综合国力十三五国家科技创新规划》提出，要加强深空 深海 深地 深 ” “ ” 蓝领域的战略高科技部署，其中深海领域主要是深海探测和研究。如图所示是上海交 通大学某科研小组在某次深海探测结束后，利用牵引汽车将某探测器M 从海面起吊上岸的 过程简化图，不计滑轮摩擦和绳子质量，牵引汽车以速度v 向左匀速运动，当牵引汽车端 绳子与水平方向的夹角为θ 时，探测器M 的速率为（ ） 第1 页/ 共19 页 ．v B．vsθ ．vsθ D． 【分析】将汽车的运动分解为沿绳和垂直于绳的方向，沿绳方向的分速度的大小等于探 测器M 的速度大小。 【解答】解：将汽车的速度按沿绳方向和垂直绳子方向进行分解，如图 汽车沿绳子方向的速度的大小等于M 的速度的大小，根据平行四边形定则得，v∥＝vsθ 探测器M 上升的速率即为v∥，故正确，BD 错误。 故选：。 3．如图所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变．船行驶时相对水的速度大小始终不 变．一开始船从岸边点出发，船身始终垂直河岸，船恰好沿B 航线到达对岸B 点耗时t1， B 与河岸的夹角为60°．调整船速方向，从B 点出发沿直线B 返航回到点耗时t2．则t1：t2 为（ ） ．1：1 B．1：2 ．1：3 D．1：4 【分析】根据船头指向始终与河岸垂直，结合运动学公式，可列出河宽与船速的关系 式，当路线与河岸垂直时，可求出船过河的合速度，从而列出河宽与船速度的关系，进 而即可求解． 第1 页/ 共19 页 【解答】解：设水流速度为v， 去程时船头朝向始终与河岸垂直，且航线B 与岸边夹角为60°， 那么小船在静水中的速度大小为v＝ v， 当船头指向始终与河岸垂直，则有：t1＝ ＝ ； 当回程时行驶路线与去程时航线相同，则有：t2＝ ； 设合速度与船在静水中速度方向夹角为α， 依据正弦定理，则有： ＝ ，解得：α＝30° 因此回头时的船的合速度为：v 合＝ ＝v 那么合速度在垂直河岸方向的分速度为v′＝ v； 则t2＝ ＝ 因此去程与回程所用时间之比为1：2，故B 正确，D 错误； 故选：B。 4．如图所示，河宽L＝200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u＝02x （x 是离最近的河岸的距离）。一小船在静水中的速度v＝10m/s，小船自处出发，渡河 时，船头始终垂直河岸方向，到达对岸B 处，设船的运动方向与水流方向的夹角为θ，下 列说法正确的是（ ） ．小船渡河时间大于20s B．、B 两点间距离为200 m ．到达河中央前小船加速度大小为02m/s2 D．在河中央时，θ 最小，且tθ＝05 【分析】将船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度 第1 页/ 共19 页 等于静水速，根据河宽以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的时间；水流速与到河 岸的最短距离x 成正比，是成线性变化的，知水流速的平均速度等于 处的水流速；根 据平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，从而求出B 的直线距离，最后根据水流速度 与距离的关系，得出在河中央处，水流速度，再结合三角知识，即可求解夹角的最小 值。 【解答】解：、渡河的时间t＝ ＝ s＝20s，故错误； B、水流速的平均速度等于 处的水流速，则有：u＝02× ＝02× m/s＝10m/s 所以沿河岸方向上的位移为：x＝ut＝200m 所以B 的直线距离为：s＝ m＝200 m，故B 错误； 、船在静水中速度是不变，而水流速度满足u＝02x（x 是离河岸的距离），因x＝vt， 那么u＝2t，因此到达河中央前小船加速度大小为2 m/s2，故错误； D、当到达中央时，水流速度为u＝02x＝02×100m/s＝20m/s，由三角知识，则有tθ＝ ＝05，故D 正确。 故选：D。 5．宽为d 的河中水速为v1，船速为v2，船过河的最短路程为s，则下列关系正确的是 （ ） ．若v1＞v2，s＝（ ）d B．若v1＞v2，s＝（ ）d ．若v1＜v2，s＝（ ）d D．若v1＜v2，s＝d 第1 页/ 共19 页 【分析】（1）当船速大于水速时，船头斜向上，船的合速度与河岸垂直，船可以垂直 渡河，船渡河的最短路程等于河宽； （2）船速小于水速时，船不可能垂直渡河，船的最短路程大于河宽，当船速垂直于船 的合速度时，船渡河的路程最短。 【解答】解：、D、当船速大于水速即：v1＜v2时，船可以垂直渡河，船的最小路程等 于河宽，s＝d，如图（1）所示；故错误，D 错误； 、B、当船速小于水速即：v1＞v2时，船不能垂直渡河，当船的合速度与船速垂直时， 船的路程最短，如图（2）所示： sθ＝ ＝ ，船的最小路程s＝ ＝ d．故正确，B 错误； 故选：。 6．如图所示，河宽为L，河水流速为u，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为 v。出发时两船相距d，行驶过程中两船船身均与岸边成45°，乙船最终到达正对岸的点， 两船始终没有相遇。则下列说法正确的是（ ） ．v：u＝1： B．两船行驶的路程相等 ．两船同时到达河对岸 D．L＞ 【分析】根据乙船恰好能直达正对岸的点，知v＝ u．小船的运动分解为平行于河岸 和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，可以比较出两船到达对岸的 时间以及甲船沿河岸方向上的路程，再根据渡河时间，从而确定不相撞时，两船间距。 【解答】解：、乙船恰好能直达正对岸的点，根据速度合成与分解，知vs45°＝u，解 第1 页/ 共19 页 得：v＝ u。 将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时 性，两船在垂直河岸方向的速度大小相等，则有甲乙两船到达对岸的时间相等，故错 误，正确。 B、由图可知，甲船在水中行驶的路程大于乙船的路程，故B 错误； D、由题意可知，两船在垂直河岸方向的位移总是相等，且两船在水流方向的速度大小 相等，因不相遇，则d 不得小于2L，即L 小于或等于 ，故D 错误。 故选：。 7．如图所示，小车在岸上拉船，轻绳一端固定在竖直墙壁上，另一端跨过车后的定滑 轮与船相连，拉车的两段轻绳水平。小车以速度v 匀速向左运动，当轻绳与水平面的夹角 为θ 时，船的速度大小为（ ） ．2vsθ B． ． D． 【分析】先判断出小船的运动为合运动，将其运动沿着绳子和垂直绳子分解，由于动滑 轮的存在，绳子方向的速度为小车速度的2 倍。 【解答】解：将船的速度分解为沿绳子方向的速度v1和垂直绳子方向的速度，可知 v1＝v 船sθ 结合动滑轮的特点，对小车而言 v1＝2v 则 故BD 错误，正确； 故选：。 二．多选题（共3 小题） （多选）8．如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从点先后两次渡河到对岸，船 第1 页/ 共19 页 在静水中行驶的速度为u，第一次船头向着B 方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1； 第二次船头向着方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2．若B、与河岸的垂线方向的夹 角相等，则有（ ） ．t1＝t2 B．t1＜t2 ．s1＜s2 D．s1＞s2 【分析】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据垂直于河岸方向上的 分速度比较运行的时间．再通过比较沿河岸方向上的位移，根据平行四边形定则比较出 实际的位移大小． 【解答】解：、因为B、与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上的分速 度相等，渡河时间t＝ ．所以两次渡河时间相等。故正确，B 错误； 、船头向着B 方向行驶时，沿河岸方向的分速度v∥＝usθ+v， 船头向着方向行驶时，沿河岸方向行驶的分速度v∥′＝v us ﹣ θ＜v∥，水平方向上的位移x1 ＞x2， 根据平行四边形定则，则s1＞s2．故错误，D 正确。 故选：D。 （多选）9．如图所示，M、PQ 分别表示小河的两岸．小河流水速度恒定，方向由M 指 向，甲、乙两只小船先后在河岸的处开始渡河，小船甲以最短时间过河，小船乙以最短位 移过河，两只小船都沿轨迹B 到达对岸的B 点，B 与河岸的夹角为θ ，则（ ） ．两船在静水中的速度大小之比V 甲：V 乙＝1：sθ B．两船在静水中的速度大小之比V 甲：V 乙＝1：sθ ．两船过河的时间之比t 甲：t 乙＝sθ：1 D．两船过河的时间之比t 甲：t 乙＝s2θ：1 【分析】根据运动的合成可知，由题意可知，小船甲垂直河岸过河时，时间才是最短； 第1 页/ 共19 页 而乙由于在静水中的速度小于水流速度，因此当合速度与在静水中的速度相垂直时，小 船乙能以最短位移过河，从而根据三角函数关系，即可求解． 【解答】解：、根据题意可作出，两船运动的速度合成图，如图所示，则有： 因而解得：V 甲：V 乙＝1：sθ，故正确，B 错误； 、过河时间与两船在垂直河岸方向的分速度成正比，因此将乙船速度沿垂直河岸分解， 则有v⊥＝v 乙sθ， 所以两船过河的时间之比t 甲：t 乙＝V 甲：V⊥＝s2θ：1，故错误，D 正确； 故选：D。 （多选）10．甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，河水流速为v0，已知在 静水中划船速度大小均为v，出发时两船相距为2d，甲乙两船的船头均与河岸成45° 角，且乙船正好垂直岸到达对岸的点，如图所示，则下列判断正确的是（ ） ．两船同时到达对岸 B．乙船先到达对岸 ．v＝2v0 D．甲船也在点靠岸 【分析】由运动的独立性可知，渡河时间取决于船垂直于河岸的速度，由两船的速度可 第1 页/ 共19 页 求得渡河时间； 根据乙船的合运动可知船速与水速的关系； 先求得甲船沿水流方向的速度，根据渡河时间可求得甲过河时在水流方向上通过的距 离，则可判断在何处靠岸． 【解答】解：、由于两船的速度大小相等，且与河岸的夹角相同，所以船速在垂直于河 岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性原理，船速度平行于河岸的分量将不影响船 行驶到对岸所用的时间，所以两船同时到岸，正确，B 错误； 、因乙船正对垂直河岸过河，故vs45°＝v0，故v＝ v0，故错误； D、甲船沿水流方向的速度为vs45°+v0＝2v0，在相同的时间内，甲船通过的位移x 甲＝ 2v0t， 船到达对岸的时间t＝ ＝ ，故船沿水流方向通过的位移x 甲＝2d，故甲船 也在点靠岸，故D 正确； 故选：D。 三．填空题（共7 小题） 11．某河流两岸相距120 米，河水流速为2 米/秒，某人要从点到对岸下游B 点B 间距为 150 米，此人在水中的游泳速度为12 米/秒，在岸上奔跑的速度为5 米/秒，如果此人要 用最短的时间过河，则他从点到B 点需用时 122s 。 【分析】该题要分为两个过程，一是以最短的时间过河，到达河的对岸时，此时并没有 到达B 点，人还要沿河岸向B 点奔跑。两个过程所用时间的和即为最短时间。 【解答】解：人以最短的时间渡河，设时间为t1，则有t1＝ ＝ ＝100s 此过程人随河水向下游漂游的距离为：s＝v 水t1＝2×100＝200m 人到达河对岸时距离B 的距离为：L＝s﹣ ＝200﹣ ＝110m 第1 页/ 共19 页 人渡河后在以5m/s 的速度向B 点跑去，到达B 的时间为t2，则有：t2＝ ＝ ＝22s 所以从点到B 点需用时为：t＝t1+t2＝100+22＝122s 故答为：122s 12．如图所示，一个长直轻杆B 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当B 杆和墙的夹角为θ 时，杆的端沿墙下滑的速度大小为V1，B 端沿地面的速度大小为V2，则V1、V2 的关系 是 V1＝V2tθ ． 【分析】将、B 两点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，抓住两点沿杆子方向 上的分速度相等，求出v1和v2的关系． 【解答】解：将点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速 度为v1∥＝v1sθ，将B 点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上 的分速度v2∥＝v2sθ．由于v1∥＝v2∥，所以v1＝v2tθ． 故答为：v1＝v2tθ． 13．物体穿在光滑的竖直杆上，人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉，使其向上运动，到达如 图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，物体速度大小为v，此刻人拉绳的速度大小是 v0sθ ，若物体的重力是mg，人的拉力是F ，此刻物体的加速度大小为 。 【分析】将的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，根据平行四边形定则结合的运 动的速度，即可求解人拉绳的速度，对受力分析，根据牛顿第二定律求解加速度。 【解答】解：将的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，拉绳子的速度 等于沿绳子方向的分速度，根据平行四边形定则得，运动速度为：v 人＝v0sθ； 第1 页/ 共19 页 若物体的重力是mg，人的拉力是F，此刻物体的加速度大小为＝ ＝ 。 故答为：v0sθ； 。 14．如图所示，飞机起飞时以300km/的速度斜向上飞，飞行方向与水平方向夹角为37°， 则飞机在水平方向上的分速度大小约为 240 km/。（s37°≈06，s37°≈08） 【分析】飞机以300km/的速度斜向上飞行，方向与水平方向成37°角，合速度为飞机的 实际速度，将合速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，根据平行四边形定则作图求 解． 【解答】解：将合速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，如图所示： 故水平方向的分速度为：v2＝vs37°＝300km/×08＝240km/ 故答为：240 15．如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，使它沿水平路面运动， 在图示位置时，若小车的速度 ，则物体的瞬时速度v1 ＝ 6 m/s。 第1 页/ 共19 页 【分析】将车和物体的速度沿绳子和垂直于绳子方向分解，抓住车和物体沿绳子方向的 分速度相等，求出物体的瞬时速度． 【解答】解：将车和物体的速度沿绳子和垂直于绳子方向分解，如图，有v1s60°＝ v2s30°． 则v1＝ ＝ m/s＝6m/s． 故答为：6。 16．如图所示，光滑直角细杆PQ 固定在竖直平面内，P 边水平，Q 边竖直，P 与Q 在点 用一小段圆弧杆平滑相连，质量均为m 的两小环、B 用长为L 的轻绳相连，分别套在P 和 Q 杆上。初始时刻，将轻绳拉至水平位置伸直，然后同时释放两小环，已知重力加速度为 g。 （1）当B 环下落 时，环的速度大小为 。 （2 ）环到达点时速度大小为 。 【分析】与B 下降的过程中系统的机械能守恒，先由速度的合成与分解求出、B 速度的 关系，然后即可求出、B 在不同点的速度。 第1 页/ 共19 页 【解答】解：（1）当B 环下落 时，两小环组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定 律得：mg ＝ 、B 两小环沿绳方向速度相等，将两小环的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向如图所 示： 则vsα＝vBsβ 由几何关系得α＝30°，β＝60° 联立解得：v＝ （2）B 下降的过程，当绳子与水平方向之间的夹α 接近90°时，β 接近0， vsα＝vBsβ 则vB接近0，则当到达点时，B 的速度等于0 两小环组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgL＝ 解得：v＝ 故答为：（1） ；（2） 。 17．如图所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达P 点时，绳子对水平方向的夹角为 θ，此时物体M 的速度大小为 vsθ （用v、θ 表示），绳子的拉力 大于 （选填：大 于、等于、小于）物体M 的重力。 第1 页/ 共19 页 【分析】小车参与两个分运动，沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分运动，由于绳子长 度一定，故物体上升的速度等于小车沿绳子方向的分速度． 【解答】解：小车参与两个分运动，沿绳子拉伸方向和垂直绳子方向（绕滑轮转动）的 两个分运动，将小车合速度正交分解，如图 物体上升速度等于小车沿绳子拉伸方向的分速度 v 物＝v1＝vsθ 可知物体的速度再增大，所以拉力大于物体重力； 故答为：vsθ．大于 四．计算题（共2 小题） 18．在有雾的早晨，一辆小汽车以25m/s 的速度在平直的公路上行驶，突然发现正前方 50m 处有一辆大卡车以10m/s 的速度在同向匀速直线行驶小汽车立即刹车做加速度大小为 5m/s2 的匀减速直线运动。从刹车时开始计时，求： （1）3s 末小汽车的速度大小； （2）通过计算（要写过程）说明小汽车会不会碰上前面的大卡车。 【分析】（1）根据速度时间公式计算汽车3s 末的速度； （2）当两车速度相等时距离最近，分别计算出他们速度相等时的位移，然后做出判断即 可。 【解答】解：（1）设小汽车初速度的方向为正方向，则 根据速度与时间的关系：v＝v0+t 则3s 末小汽车的速度：v＝25m/s 5×3m/s ﹣ ＝10m/s （2）由（1）可知，两车达到速度相同所用的时间为3s 这段时间内小汽车的位移 大卡车的位移 x2＝vt＝10×3m＝30m 第1 页/ 共19 页 因为 x2+50＞x1 故小汽车不会碰上卡车。 答：（1）3s 末小汽车的速度大小为10m/s； （2）小汽车不会碰上前面的大卡车。 19．已知小船在静水中的速率是v1＝5m/s，现让该船渡过某条河流，假设这条河流的两岸 是理想的平行线，河宽d＝100m，河水均匀流动且速率为v2＝3m/s，方向与河岸平行， s53°＝08，s53°＝06，回答下列问题： （1）若要以最短时间过河，小船船头的指向朝哪里？ （2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间t1 是多少？小船到 达对岸时向下偏移的位移x 是多少？ （3）欲使小船到达河的正对岸，则船头应与河岸上游方向的夹角α 为多大？渡河时间t2 为多少？ 【分析】（1）小船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的 速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短； （2 — ）根据匀速直线运动的位移 时间关系计算时间； （3）欲使小船到达河的正对岸，即合速度方向指向对岸，结合运动学公式，及矢量的 合成法则，即可解答。 【