专题09密度及固体压强（教师版） 2023全国初中物理自主招生专题大揭秘

第1 页/ 共34 页 一．选择题（共15 小题） 1 ．有体积和质量都相同的铝球、铁球和铜球，下列说法中可能存在的是（ ） ．铝球是实心的，而铁球和铜球是空心的 B．铝球是空心的，而铁球和铜球是实心的 ．铜球是实心的，铁球和铝球也是实心的 D．铁球是实心的，铝球和铜球却是空心的 【分析】根据铝、铁、铜的密度关系，利用ρ＝ 得出质量相同的铝球、铁球和铜球中 材料的实际体积关系，然后结合三球的体积相等判断出三球是实心的还是空心的。 【解答】解：铝、铁、铜的密度大小关系为ρ 铜＞ρ 铁＞ρ 铝，因为铝球、铁球和铜球的 质量相等， 所以，由ρ＝ 的变形式V＝ 可知，三球中各自材料的体积关系为V 铜＜V 铁＜V 铝， 又因三球的体积相等，所以铜球和铁球一定是空心的，铝球可能是实心，也可能是空 心，故正确、BD 错误。 故选：。 【点评】本题考查学生对密度公式及其变形的灵活运用，从公式可直接看出三个实心球 的体积大小，从而判断出空心部分的体积；同时锻炼学生的空间想象能力。 2．有三个质量相等，外半径也相等的空心的铜球、铁球和铝球，已知ρ 铜＞ρ 铁＞ρ 铝如 果在三个球的空心部分灌满水，则灌水后，三个球的质量为m 铜、m 铁、m 铝的的关系应 该是（ ） ．m 铜＞m 铁＞m 铝 B．m 铜＜m 铁＜m 铝 ．m 铜＝m 铁＝m 铝 D．m 铁＜m 铜＜m 铝 【分析】已知三个空心金属球的外半径相等，据此可知三个金属空心球的体积关系，根 据三个空心金属球的质量、体积关系和ρ 铜＞ρ 铁＞ρ 铝这两个条件，由密度公式变形可 分别算出三个球的实心体积，从而比较出三球的空心体积大小，据此可知空心部分注满 水后总质量的大小关系。 【解答】解：已知三个空心金属球的外半径相等，因此三个金属空心球的体积相等； 又已知三个空心金属球的质量相等，因此三种金属的质量关系：m 铁球＝m 铝球＝m 铜球， 三种金属的密度关系ρ 铜＞ρ 铁＞ρ 铝， 第1 页/ 共34 页 由ρ＝ 可得，金属的体积关系：V 铝＞V 铁＞V 铜，所以三个球的空心部分的关系：V 铝 空＜V 铁空＜V 铜空， 所以若在空心部分注满水后，总质量最大的是铜球，总质量最小的是铝球，即m 铜＞m 铁＞m 铝。 故选：。 【点评】此题除了考查学生对密度的理解及其灵活运用外，还同时锻炼学生解题的速 度，即从公式可直接看出三个实心球的体积大小，从而判断出空心部分的体积，然后即 可知在空心部分注满水后，总质量的大小。 3．用一架底座已调成水平而横梁未调成水平的等臂托盘天平去称量物体的质量，当物体放 在左盘时，右盘内放上质量为m1 的砝码，横梁正好能水平；若将物体放在右盘内，左盘 放上质量为m2 的砝码，横梁正好水平，不考虑游码的移动，且设m1＞m2，则物体的质 量M 及横梁原来的状态是（ ） ．M＝ 横梁左高右低 B．M＝ 横梁右高左低 ．M＝ （m1+m2 ） 横梁右高左低 D．M＝ （m1+m2 ） 横梁左高右低 【分析】先根据m1＞m2确定原来横梁的偏转情况，再两次利用杠杆平衡条件求出物体 的质量。 【解答】解： 根据题意可知，该天平为等臂天平，设横梁水平平衡时两侧力臂都为L，物体的质量为 M， 由题知，不考虑游码的移动，m1＞m2，所以原来横梁是右高左低， 无论物体放在哪一侧，由于横梁右端较高，横梁右侧较轻，所以右盘需要一定的质量用 于平衡天平的横梁。 设右盘中用于平衡横梁所需的质量为m0（它相当于一个平衡螺母，在计算时应减去这 部分质量）， （1）当物体放在天平的左盘时，由杠杆平衡条件得：Mg•L＝（m1 m ﹣ 0）g•L﹣﹣﹣﹣ 第1 页/ 共34 页 ① （2）当物体放在天平的右盘时，由杠杆平衡条件得：m2g•L＝（M m ﹣ 0）g•L﹣﹣﹣﹣ ② ①化简可得：M＝m1 m ﹣ 0﹣﹣﹣﹣③ ②化简可得：m2＝M m ﹣ 0﹣﹣﹣﹣④ ③﹣④得：M m ﹣ 2＝m1 M ﹣ ， 解得物体的质量：M＝ （m1+m2）。 故选：。 【点评】本题考查杠杆平衡条件的应用，注意无论任何的杠杆，当杠杆静止或匀速转动 时，都属于杠杆平衡，都符合杠杆平衡条件。 4．现有密度分别为ρ1 和ρ2 的两种液体，且ρ1＜ρ2，在甲杯中盛满这两种液体，两种液 体的质量各占一半；在乙杯中也盛满这两种液体，两种液体的体积各占一半，假设两种液 体之间不发生混合现象，甲、乙两个杯子也完全相同，则（ ） ．甲杯内液体的质量大 B．两杯内液体的质量一样大 ．乙杯内液体的质量大 D．无法确定 【分析】由题意可知两烧杯的容积相等即两杯中液体的体积相等，根据密度公式分别表 示出甲杯液体和乙杯液体的质量，然后两者相减，利用数学的不等式关系即可得出答。 【解答】解：设杯子的容积为V，两液体的密度为ρ1、ρ2，则 甲杯： 两液体的质量均为 m 甲， 杯子中液体的体积V＝ + ＝ × ， 乙杯：两液体的体积均为 ， m 乙＝ （ρ1+ρ2 ）＝ × × （ρ1+ρ2 ）＝m 甲× ＝m 甲× 第1 页/ 共34 页 ， 因为 m 乙﹣m 甲＝m 甲× m ﹣ 甲＝m 甲（ ﹣1）＝m 甲× ＞0 所以m 乙＞m 甲。 故选：。 【点评】本题考查了密度公式的应用，关键是表示两种情况小杯中液体的质量和隐含条 “ ” 件完全相同的甲、乙两个烧杯的应用。 5．如图所示，两个完全相同的容器装有两种不同的液体，已知甲图中的液重大于乙图中的 液重，由此可以肯定（ ） ．甲图中液体密度小于乙图中液体密度 B．甲图中液体密度大于乙图中液体密度 ．甲图中容器底部的压强小于乙图中容器底部的压强 D．甲图中容器底部的压强大于乙图中容器底部的压强 【分析】（1）由图可知，甲图中的液体的体积大于乙图中的液体的体积，故甲图中的 液重大于乙图中的液重会出现多种可能； （2）根据p＝ 分析解答。 【解答】解：（1）甲图中的液重大于乙图中的液重，根据G＝mg 知甲图中液体质量大 于乙图中的液体质量， 由图可知，甲图中体积大于乙图中体积，由ρ＝ 知，若密度相等，则甲中质量一定会 大于乙中质量； 若甲的密度大于乙的密度，则甲的质量更要大于乙的质量； 第1 页/ 共34 页 若甲的密度小于乙的密度，也有可能甲的质量大于乙的质量； 所以甲图中液体密度可能大于乙图中液体密度、可能小于乙图中液体密度、也可能等于 乙图中液体密度，故B 错误； （2）因为甲图中的液重大于乙图中的液重， 所以甲图中液体对容器底的压力大于乙图中液体对容器底的压力， 又因为是两个完全相同的容器， 所以容器的底面积相同， 根据p＝ 知，甲图中容器底部的压强大于乙图中容器底部的压强，故错误，D 正确。 故选：D。 【点评】本题应注意题干中图的分析，应明确甲中体积大于乙中体积这一关键信息，再 由密度公式进行分析即可。 6．现有许多完全相同的零件，要用天平测出每个零件的质量，但手头只有一个100 克砝 码。当左盘放400 个零件，右盘放这个砝码，天平不能平衡。如果再在右盘上放15 个 零件，天平恰能平衡。这时可求得每个零件的质量约为（ ） ．028 克B．026 克 ．024 克D．025 克 【分析】（1）天平其实是一个等臂杠杆，此题由于所给砝码所限，使用天平不能直接 “ 测量多个零件质量的大小；根据当左盘放400 个零件，右盘放100g 砝码，天平不能平 衡。如果再在右盘上放15 ” 个零件，天平恰能平衡可知：385 个零件的质量为100g。 （2）多个零件总质量m 总＝m1×．其中m1为一个零件的质量，为零件的个数，由此入 手即可求出每个零件的质量。 【解答】解：因为当左盘放400 个零件，右盘放100g 砝码，天平不能平衡。如果再在 右盘上放15 个零件，天平恰能平衡， 所以400 个﹣15 个＝385 个零件的总质量为100g，则每个零件的质量m＝ ≈026g。 故选：B。 【点评】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数 学思维方式进行解答。若被测物体的质量小于或接近测量工具的分度值时，需要用累积 法。 7．把质量相等的两种液体（密度分别为ρ1、ρ2）混合，设混合后的总体积不变，则混合 第1 页/ 共34 页 液体的密度为（ ） ． B．ρ1ρ2 ． D． 【分析】要算混合液体的密度，我们应该用混合液体的质量除以混合液体的体积去进行 计算； 当两种液体的质量相等时，我们可设每种液体的质量为m，则混合液体的质量为2m， 然后根据公式V＝ ，得出这两种液体的体积表达式，从而就可以得出混合液体的体 积表达式，最后根据密度公式得出混合液体的密度表达式。 【解答】解：设液体的质量为m，则混合液体的质量为2m， 两种液体的体积分别为V1＝ ，V2＝ ，则混合液体的体积为V＝V1+V2＝ + ， 所以混合液体的密度为ρ＝ ＝ ＝ 。 故选：D。 【点评】本题考查了混合液体密度的计算，关键是熟练运动密度的公式及其变形，并明 确解答的前提是混合前后液体的体积不变。 8．如图所示，甲、乙两个完全相同的直角三棱劈放置在水平桌面上，三棱劈的密度均匀且 底面为矩形，若分别沿两物体图中虚线将右上侧切掉Δm 甲和Δm 乙，且Δm 甲＜Δm 乙，则剩余部分对桌面的压强p 甲和p 乙的大小关系为（ ） 第1 页/ 共34 页 ．p 甲＞p 乙B．p 甲＜p 乙 ．p 甲＝p 乙D．都有可能 【分析】用割补法把剩余的三棱劈补成柱体，再根据公式 求得。 【解答】解：用割补法把剩余的三棱劈补成柱体，如图所示： 因为物体放在水平桌面上，所以柱体对水平桌面的压力： F 甲＝G 甲，F 乙＝G 乙， 则补成的甲柱体对桌面的压强：p 甲′ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ρ 甲甲g， 同理补成的乙柱体对桌面的压强：p 乙′＝ρ 乙乙g； 剩余的三棱劈与补成的柱体相比，压力减小一半（重力减小一半），底面积不变，则压 强减小一半， 第1 页/ 共34 页 所以剩余的甲三棱劈对桌面的压强：p 甲＝ p 甲′＝ ρ 甲甲g﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ① 剩余的乙三棱劈对桌面的压强：p 乙＝ p 乙′＝ ρ 乙乙g﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② 由题知ρ 甲＝ρ 乙，剩余三棱劈的高度乙＞甲， 所以由①②可得p 乙＞p 甲。 故选：B。 【点评】本题考查固体压强的比较主要是对压强公式p＝ 的掌握与理解，以及知道水 平面上压力与重力的关系，需运用补割法，先比较补成柱体的压强，再比较剩余三棱劈 对地的压强，注意剩余三棱劈对地的压强为柱体压强的一半。 9．如图所示，体积相同、密度分别为ρ、ρB 的、B 两立方体正对叠放于水平桌面上，且 ρ：ρB＝1：3．对B 的压强为p，B 对桌面的压强为pB．现逐渐减小的体积，但始终保 持的形状为立方体且密度不变。在的体积减小的过程中，p 与pB 的比值（ ） ．始终变大 B．始终变小 ．先减小后变大 D．先增大后减小 【分析】固体能大小不变的传递压力，所以B 对地面的压力等于、B 物体的重力，设立 方体的边长为，B 立方体的边长为b，根据压强公式表示出p 与pB，然后可知其比值的 变化。 【解答】解：设立方体的边长为，B 立方体的边长为b，立方体的密度为ρ，则B 立方 体的密度为3ρ， 则对B 的压强为p＝ρg， B 对桌面的压强为pB＝3ρgb+ ， 所以 ＝ ， 第1 页/ 共34 页 当＝b 时， ＝ ， 当＝ b 时， ＝ ， 当＝ b 时， ＝ ， 当＝ b 时， ＝ ， 所以，在的体积减小的过程中，p 与pB的比值始终变小。 故选：B。 【点评】本题考查了压强大小的计算和密度公式的应用，关键是物体可以大小不变的传 递压力和水平面上物体的压力和物重相等，难点是判断两者的压强之比。 10．把同种材料制成的甲、乙两个正立方体放在水平桌面上，甲、乙对桌面的压强分别为 p1和p2 ，如图所示，若把甲放在乙的上面，则此时乙对桌面的压强为（ ）． ．p1+p2 B．p1 2+p2 2 ． D． 【分析】设两正方体的密度为ρ，边长分别为和b，根据把同种材料制成的甲、乙两个 正方体水平桌面上，甲、乙对桌面的压强分别为p1和p2，利用压强公式变形分别求出、 b，然后利用 求出把甲放在乙的上面时，乙对桌面的压强。 【解答】解：将质量分布均匀的正方体放在水平桌面上对桌面产生压强： ＝ ＝ρg 设甲正方体的边长为，乙正方体的边长为b，把同种材料制成的甲、乙两个正立方体， 放在水平桌面上，甲、乙对桌面的压强分别为p1和p2，则甲乙的压强可表示为： 第1 页/ 共34 页 p1＝ρg，p2＝ρgb， 甲乙的边长可表示为： ， ， 现在把甲放在乙的上面，则甲、乙对桌面的压力为： ＝ ＝ ＝ ， 乙与桌面的接触面积为： ， 则乙对桌面的压强为： 故选：。 【点评】本题涉及到重力的计算和压强的大小及其计算，涉及的知识点不是很多，但是 有一定的难度，特别要注意的是压力和受力面积的对应性。 11．实心均匀正方体甲、乙按如图所示放置在水平桌面上，已知它们对桌面的压强相等。 现将乙在桌面外的部分沿竖直方向切去，切去的比例为。甲按相同比例沿水平方向切去 一部分，并将切去部分叠放在对方剩余的上方，此时甲、乙对桌面的压力分别为F 甲、F 乙，压强分别为p 甲、p 乙 。关于压力、压强的大小关系，下列判断正确的是（ ） 第1 页/ 共34 页 ．F 甲＝F 乙、p 甲＞p 乙 B．F 甲＞F 乙、p 甲＜p 乙 ．F 甲＝F 乙、p 甲＜p 乙 D．F 甲＜F 乙、p 甲＞p 乙 【分析】切割前，明确甲、乙对桌面的压力和接触面积，利用压强的定义式及压强相等 比较它们的重力大小；按相同的比例切割后且将切下的部分分别放到对方的上面，利用 作差法比较其压力和压强的大小关系，即可判断。 【解答】解：未切割前，设甲、乙的重力分别为G 甲、G 乙，甲、乙的底面积分别为S 甲、S 乙； 由于桌面水平，则甲、乙对桌面的压力分别为F′甲＝G 甲，F′乙＝G 乙； 由图可知，甲的接触面积S 甲大于乙的接触面积（1﹣）S 乙，且它们对桌面的压强相 等，则根据G＝F＝pS 可知甲的重力较大，即G 甲＞G 乙； 由压强的定义式可得，未切割前，甲、乙对桌面的压强分别为p′甲＝ 、p′乙 ＝ ； 依题意可知，甲、乙未切割前对桌面的压强相等，即 ； 化简可得：1﹣＝ ； 甲、乙切去比例均为，并将切去部分叠放在对方剩余的上方， 则甲对桌面的压力变为F 甲＝（1﹣）G 甲+G 乙，乙对桌面的压力变为F 乙＝（1﹣）G 乙 +G 甲； F 甲﹣F 乙＝[（1﹣）G 甲+G 乙] [ ﹣（1﹣）G 乙+G 甲]＝（1﹣）（G 甲﹣G 乙）﹣（G 甲﹣G 乙）＝（1 2 ﹣）（G 甲﹣G 乙）； 第1 页/ 共34 页 由图可知，＜ ，所以F 甲﹣F 乙＝（1 2 ﹣）（G 甲﹣G 乙）＞0，即F 甲＞F 乙； 切割并叠放后，甲对桌面的压强：p 甲＝ ， 乙对桌面的压强为：p 乙＝ ； 则p 甲﹣p 乙＝ （将1﹣＝ 代入到前面式子中，再通分化简即可得到），因为G 甲＞G 乙，所以p 甲﹣p 乙＜ 0，则p 甲＜p 乙； 由此可知，D 错误，B 正确； 故选：B。 【点评】本题考查了压力、压强的大小比较，明确物体对桌面的压力及其变化，并利用 作差法比较其大小是解答本题的难点。 12．如图所示，一密度均匀的实心物块放在地面上，对地面的压强为p，若沿虚线将该物 块切去一部分，留下部分对地面的压强p' ，则（ ） ．p＜p′ B．p＞p′．p＝p′ D．无法判断 【分析】（1）设原来物块的重力为G 原，其底面积为S1，则原来物块对地面的压强为p ＝ ；若沿虚线将该物块切去一部分，设此时底面积为S2，留下部分对地面的压强 p'＝ ； （2）为了便于比较压强的变化，给原来物块增加重为G 的部分，使之成为规则物块， 第1 页/ 共34 页 根据压强公式表示出整个物块对地面的压强； 在该规则物块上沿虚线切去一部分，使剩余部分的重力仍为G 剩，底面积仍为S2，利用 压强公式表示出此时整个物块对地面的压强； 因物块是规则的，且重力和底面积是等比例减小的，所以总压强是不变的，据此结合受 力面积的变化可判断p 与p′的大小关系。 【解答】解：设原来物块的重力为G 原，其底面积为S1，则原来物块对地面的压强为p ＝ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①； 若沿虚线将该物块切去一部分，设此时底面积为S2，留下部分对地面的压强p'＝ ﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②， 为了便于比较压强的变化，给原来物块增加重为G 的部分，使之成为规则物块，如图3 所示， 则整个物块对地面的压强为p 总＝ ＝ + ＝p+ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③， 在该规则物块上沿虚线切去一部分，使剩余部分的重力仍为G 剩，底面积仍为S2，如图 4 所示， 此时整个物块对地面的压强为p 总′＝ ＝ + ＝p'+ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④， 第1 页/ 共34 页 从图3 到图4，因物块是规则的，且重力和底面积是等比例减小的，所以总压强是不变 的， 即p+ ＝p'+ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤， 因S2＜S1，所以 ＞ ， 则由⑤式可知p p' ﹣＝ ﹣ ＞0，所以p＞p′； 故D 错误，B 正确； 故选：B。 【点评】本题主要考查了有关压强和压力的大小比较，关键是在原来物块增加重为G 的 “ ” 部分，使之成为规则物块，即利用补割法来间接进行比较。 13．如图所示，甲、乙两个质量分布均匀的实心正方体分别放置在水平地面上，各自对地 面的压强相等，则下列说法正确的是（ ） ①甲正方体的密度大于乙正方体的密度 ②若将乙放在甲上，甲对地面的压强为p 甲；若将甲放在乙上，乙对地面的压强为p 乙； 则p 甲大于p 乙 ③若沿水平方向将甲、乙切去一部分，使剩余部分的高度相同（切去部分高度小于乙边 长），则甲剩余部分对地面的压强小于乙剩余部分对地面的压强 ④若沿竖直方向将甲、乙各切除一部分，使剩余部分竖直厚度相同，再将切除部分分别放 在各自剩余部分上，则水平地面分别受到甲、乙的压强p 甲小于p 乙 ④ ． 是正确的B ②④ ． 是正确的 ③ ．只有 是正确的D ①③ ． 是正确的 【分析】①实心正方体对水平地面压强：p＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ρgL，据 此根据高度关系得出密度关系； 第1 页/ 共34 页 ②将乙放在甲上时，甲对地面的压强为p 甲；将甲放在乙上时，乙对地面的压强为p 乙，根据水平面上物体的压力和自身的重力相等可知压力关系，根据边长关系可知底面 积关系，利用p＝ 比较压强关系； ③若沿水平方向将甲、乙切去一部分，使剩余部分的高