专题08杠杆及力矩平衡（教师版） 2023全国初中物理自主招生专题大揭秘

第1 页/ 共43 页 一．选择题（共12 小题） 1．如图所示是单臂斜拉桥的示意图。均匀桥板所受重力为G，三根平行钢索与桥面均成 30°角，而系点间距b＝b＝d＝d ．若每根钢索受力相同，则钢索上受力大小为（ ） ．G B． ． D． 【分析】以为支点，分析除点桥板的受力情况，确定出力臂，根据力矩平衡条件求解拉 力大小。可抓住对称性，采用等效的方法：除正中间外的钢索外，其余两根钢索拉力的 力矩之和等于正中间钢索的力矩的2 倍。 【解答】解：设钢板的重心与的距离为L， 以为支点，除点外桥板受到重力G 和三根钢索的拉力， 由于每根钢索所受拉力大小相等，等距离分布，根据对称性可知，除正中间外的钢索 外，其余两根钢索拉力的力矩之和等于正中间钢索的力矩的2 倍。 则由力矩条件得：GL＝3FLs30°，故每根钢索上受力大小：F＝ G，故D 正确，B 错 误。 故选：D。 【点评】本题关键要分析钢索分布特点，运用等效的方法分析两侧六根钢索力矩与正中 间钢索力矩的关系，即可求解。 2．粗细不均匀的电线杆，在点支起正好平衡，如图所示。若在点沿虚线将其锯断，则（ ） ．两段一样重 B．细段重 ．粗段重 D．不能确定 【分析】由图可知，电线杆被支起，处于平衡状态，先确定两边力臂的大小关系，然后 根据杠杆的平衡条件得出两边的重力的大小关系。 【解答】解：电线杆处于平衡状态，由图可知，左侧部分重心离支点较近， 第1 页/ 共43 页 故力臂较小，左侧部分重心B 离支点较远，故力臂B 较大，即B＞； G ∵ 1×＝G2×B，B＞， G ∴ 2＜G1， 即：电线杆粗段重、细段轻。 故选：。 【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，能画图得出两边的力臂大小关系是本题的关 键。 3．如图所示，、B 是两个完全相同的匀质长方形木块，长为l，叠放在一起，放在水平桌 面上，端面都与桌边平行。放在B 上，右端有 l 伸出B 外，为保证两木块不翻倒，木块B 伸出桌边的长度不能超过（ ） ． l B． l ． l D． l 【分析】应用整体法考虑，根据平衡条件得出若两长方形木块不翻到且B 伸出最长时， 应满足整体的重心应恰好在桌子的边。 【解答】解：将两个长方形木块砖看做一个整体，则其总长度为L+ L＝ ， 根据平衡条件看做，为了保持两长方形木块都不翻倒，整体的重心应恰好在桌子边缘， 所以整体重心与右边缘距离为 L× ＝ L， 由图可知B 边缘到桌子边缘的距离为x＝ L﹣ L＝ L。 故选：B。 【点评】遇到连接体问题，从整体角度分析较简单，物体不翻到的临界条件是物体的重 心应恰好在桌子的边缘。 第1 页/ 共43 页 4．如图所示的装置中，均匀木棒B 的端固定在铰链上，悬线一端绕过某定滑轮，另一端 套在木棒上使木棒保持水平，现使线套逐渐向右移动，但始终保持木棒水平，则悬线上的 拉力（棒和悬线均足够长）（ ） ．逐渐变小 B．逐渐变大 ．先逐渐变大，后又变小 D．先逐渐变小，后又变大 【分析】由图知，阻力乘以阻力臂是相等的，动力的大小变化要从动力臂的大小变化上 得出，所以要画出几条典型的情况下的力臂加以分析得出结论。 【解答】解：如图所示，G 表示杆B 的自重，L 表示杆的重心到端的距离，T 表示悬线 拉力的大小，L 表示作用于杆B 上的悬线拉力对点的力臂。 把B 视为一根可绕端转动的杠杆，则由杠杆的平衡条件应有：G×L＝T×L， 由此得：当线套在杆上逐渐向右移动时，拉力T 的动力L（L1、L2、L3、L4）经历了先 逐渐变大后又逐渐变小的过程，故悬线的拉力T 则是逐渐变小后逐渐变大。 故选：D。 【点评】当阻力和阻力臂的乘积一定时，分析省力情况就要看动力臂的大小变化，所以 本题画出图中动力臂是解决本题的关键 5．如图所示，均匀细杆B 质量为M，端装有转轴，B 端连接细线通过滑轮和质量为m 的 重物相连，若杆B 呈水平，细线与水平方向夹角为θ 时恰能保持平衡，则下面表达式中不 正确的是（ ） 第1 页/ 共43 页 ．M＝2msθ B．滑轮受到的压力为2mg ．杆对轴的作用力大小为mg D．杆对轴的作用力大小 【分析】先对物体进行受力分析，由二力平衡得出绳子的拉力，然后对杆进行受力分 析，由共点力的平衡即可求出杆的重力与绳子的拉力之间的关系． 【解答】解：、由题可知，物体受到重力和绳子的拉力处于平衡状态，所以绳子的拉力 与物体的重力大小相等，为mg； 对杆B 进行受力分析如图： 设B 杆的长度为L，由图可知，杆的重力产生的力矩是顺时针方向的力矩，力臂的大小 是 L； 绳子的拉力产生的力矩是逆时针方向的力矩，力臂的大小是Lsθ，过转轴的力不产生力 矩，由力矩平衡得： Mg• L＝mgLsθ 解得：M＝2msθ，故正确； B、由题图可知，两根绳子的拉力的方向之间有夹角，所以两根绳子的拉力的合力大小 第1 页/ 共43 页 要小于2mg，即滑轮受到的压力小于2mg，故B 错误； 、由受力图可知，轴对杆的作用力的方向的反向延长线一定过绳子的拉力的延长线与重 力的作用线的交点，由于重力的作用线过杆的中点，所以可知力F 与绳子的拉力与水平 方向之间的夹角是相等的，并且力：Fsθ＝mgsθ，所以F 与绳子的拉力的大小也相等， 即F＝mg，则杆对轴的作用力大小为mg，故正确； D、由于M＝2msθ，且F＝mg，得：F＝ ，所以杆对轴的作用力大小为 ，故D 正确。 本题选错误的，故选：B。 【点评】该题同时考查共点力作用下物体的平衡与力矩平衡，解题的关键是正确画出杆 的受力图，找出各个力的力臂，然后又力矩平衡条件即可解答． 6 “ ” ．有一不倒翁，形状可以简化成由半径为R 的半球体与顶角为74°的圆锥体组成（如图 “ ” “ 所示），它的重心在对称轴上。为使不倒翁在任意位置都能恢复竖直状态，则该不倒 ” 翁的重心到半球体的球心的距离必须大于（ ） ．0 B． ． D． 【分析】可以把这个看成一个杠杆，B 点就是支点，从图中可以看出当重心在BD 右侧 的时候，杠杆才会旋转，而重心又在对称轴上，所以就是BD 和D 交点D。 【解答】解：如图所示，连接BE，延长，并过B 点做B 的垂线交于点D，按题意，至 少当其发生最大倾倒时，其重点仍在B “ ” 点右侧位置，则不倒翁在任意位置都能恢复竖 直状态。那么此时在ΔBD 和ΔDB 中，不难证明它们是相似三角形。即ΔBD ΔDB ∽ ， ∠ 故 DB ∠ ＝ BD＝ ＝37°， 则D＝B•t37°≈B×075≈ 。 第1 页/ 共43 页 故选：D。 【点评】此题考查重心，关键是确定重心的位置，要求学生具备一定的数学知识，难度 较大。 7．如图所示，直径为36m 的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均 匀、长度为47m 的光滑杆B 搁置在半球碗上，碗的厚度不计，杆平衡时碗内部分B 段与碗 外部分B 段的长度之比为（ ） ．38：9 B．35：12 ．32：15 D．27：20 【分析】因为杆是光滑的，所以没有摩擦力，杆受三个力：重力、点的支持力和B 点的 支持力。以B 支点列出杠杆平衡条件，再根据力的平衡（杆在方向合力为零，其实在任 意方向合力都是零）列一个方程。再加上球直径的条件可以求解。 【解答】解：如图：光滑杆B 的重心在D 点，为半球形碗的球心，杆受三个力：重力 G、点的支持力F2 和B 点的支持力F1，以B 为支点，则根据杠杆的平衡条件得： G×BDsθ＝F2×Bsθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① 沿杆的方向上受力的合力为零， 即G×sθ＝F2×sθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② 由 得：BDtθ＝Btθ， BD ∴ ＝B×t2θ＝B×（ ）2， 第1 页/ 共43 页 即BD×B＝E2， ∵在ΔBE 中，BE2＝B2+E2，且BD＝B﹣ ， ∴（B﹣ ）×B＝BE2 B ﹣ 2， 代入数据得：（B﹣ ×47）×B＝362 B ﹣ 2， 即：4×B2 47×B 2592 ﹣ ﹣ ＝0， 解得：B＝32m，B＝﹣2025m（舍去） B ∴：B＝32m：（47m 32m ﹣ ）＝32：15。 故选：。 【点评】本题考查杠杆平衡条件的应用，知道物体处于静止平衡时合力为零，本题的关 键是各边长之间的关系，难点是、B 两点的支持力的方向判断。 8．如图所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为L，为保 证砖块不倒下，6 号砖块与7 号砖块之间的距离S 将不超过（ ） ． L B．2L ． L D． L 【分析】因两部分对称，则可只研究一边即可；1 砖受2 和3 支持力而处于平衡状态， 则可由力的合成求得1 对2 的压力；而2 砖是以4 的边缘为支点的杠杆平衡，则由杠杆 的平衡条件可得出2 露出的长度，同理可求得4 露出的长度，则可求得6、7 相距的最大 距离。 【解答】解：由于1 号砖处于平衡状态，则1 号砖对2 号砖的压力应为 ； 当1 号砖放在2 号砖的边缘上时，6 号砖块与7 号砖块之间的距离最大； 2 号砖处于杠杆平衡状态，设2 号砖露出的长度为x，则2 号砖下方的支点距重心在（ ﹣x）处； 第1 页/ 共43 页 由杠杆的平衡条件可知：G（ ﹣x）＝ x， 解得：x＝ ； 设4 号砖露出的部分为x1，则4 号砖下方的支点距重心在（ ﹣x1）处；4 号砖受到的 压力为G+ ； 则由杠杆的平衡条件可知：G（ ﹣x1）＝（G+ ）x1， 解得x1＝ ； 则6 号砖块与7 号砖块之间的最大距离应为： L+2（x+x1）＝L+2（ + ）＝ L。 故选：。 【点评】本题考查了杠杆的平衡条件在生活中的应用，在解题时应注意明确找出杠杆的 支点及受到的力，再利用杠杆的平衡条件列式求解。 9．如图所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上 面的支座B 顶住。现在杆的左端处施加一个向下的作用力，则（ ） ．、B 两处的弹力均增加，且ΔF＝ΔFB B．、B 两处的弹力均增加，且ΔF＞ΔFB ．处的弹力减小，B 处的弹力增大，且|ΔF|＞ΔFB D．处的弹力增大，B 处的弹力减小，且ΔF＞|ΔFB| 【分析】①在点不施加力时，分别以B、为支点，由杠杆平衡条件得出关于在、B 处弹 力的方程； 第1 页/ 共43 页 ②在点施加力F 时，分别以B、为支点，由杠杆平衡条件得出关于在、B 处弹力的方 程； 联立方程组求得弹力变化值进行比较得出答。 【解答】解： （1）在点不施加力时，以B 为支点，由杠杆平衡条件可知，G×B＝F×B；﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣① 以为支点，由杠杆平衡条件可知，G×＝FB×B；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② （2）在点施加力F 时，以B 为支点，由杠杆平衡条件可知，F×B+G×B＝F′×B；﹣﹣﹣ ﹣﹣③ 以为支点，由杠杆平衡条件可知，F×+G×＝FB′×B；﹣﹣﹣﹣﹣﹣④ ③﹣①得： F′×B F×B ﹣ ＝F×B+G×B G×B ﹣ ＝F×B， ΔF ∴ ＝F′ F ﹣＝ ， ④﹣②得： FB′×B F ﹣ B×B＝F×+G× G× ﹣ ＝F×B ΔF ∴ B＝FB′ F ﹣ B＝ ， ΔF ∴ ＞ΔFB， 故选：B。 【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的应用，知道选择不同的支点求弹力是本题的 关键。 10．将一根均匀的木棒B，放在支点上，由于＜B，木棒不能保持水平，现在木棒右端截去 与等长的一段并置于上，木棒恰好能平衡。则：B 为（ ） ． B．1：2 ．1：3 D．1：4 第1 页/ 共43 页 【分析】设单位长度木棒重为m0g，求出左边木棒重G1、右边木棒重G2，根据杠杆平 衡条件可得关于m0、L、LB的方程，约去m0可解得L 与LB的比值。 【解答】解： 如图，设单位长度木棒重为m0g， 则左边木棒重： G1＝2m0g×L， 右边木棒重： G2＝m0g×（LB L ﹣） 根据杠杆平衡条件可得： G1× ＝G2× ， 即：2m0g×L× ＝m0g×（LB L ﹣）× ， 解得： L：LB＝1：（ +1）。 故选：。 【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的掌握和运用，设单位长度木棒重为m0g，求 出左右两边木棒重是本题的关键。 11．如图所示，两根硬杆B、B 用铰链连接于、B、，整个装置处于静止状态。关于B 杆对 B 杆作用力的方向正确的是（ ） 第1 页/ 共43 页 ．若计B 杆重力，而不计B 杆重力时，由指向B B．若计B 杆重力，而不计B 杆重力时，由指向B ．若不计B 杆重力，而计B 杆重力时，由B 指向 D．若不计B 杆重力，而计B 杆重力时，由B 指向 【分析】如图所示，杠杆B、B 与墙壁组成一个三角形，和端固定在墙壁上，B 拉着 B。 【解答】解：如图如果考虑B 重力，则B 的重力方向竖直向下，不计B 杆重力时，B 在 B 支持力的作用下被支起，力的方向由B 到．如果不考虑B 重力，而计B 杆重力时，B 重力方向向下，B 在上面拉着B，力的方向由B 指向。 故选：。 【点评】此题考查了拉力，重力，支持力的作用，要会分析图。 12．如图所示，均匀木棒水平搁在一个圆柱体B 上，二者的接触点为D，且D：D＝17： 15，当圆柱体围绕其固定中心轴顺时针方向转动时，与棒的右端紧靠着的木板E 恰能沿 光滑竖直墙面匀速下滑，若木棒与圆柱体之间、木棒与木板之间动摩擦系数相同，则该 动摩擦系数为（ ） ．040 B．030 ．025 D．020 【分析】（1）木板E 沿光滑竖直墙面匀速下滑，其重力与所受的木板的滑动摩擦力大 小相等。对木板而言，力矩平衡，由力矩平衡条件求解木板E 对木棒的摩擦力。 （2）根据力平衡条件，研究竖直方向，可得到圆柱体B 对木棒的支持力。 （3）对木棒水平方向力平衡，可求出木板对木棒的弹力，由f＝μ 求解动摩擦因数。 【解答】解： （1）设木棒的重心位置在棒的点，木棒与木板间的摩擦力大小为f2，则对木棒，根据 第1 页/ 共43 页 力矩平衡得 G•D＝f2•D 得f2＝G• ＝ 木板E 沿光滑竖直墙面匀速下滑，则有木板E 的重力GE＝f2＝ G； （2）根据木棒受力衡得， 竖直方向：圆柱体B 对木棒的支持力1＝G+f2＝ G； （3）设木棒与圆柱体间的摩擦力大小为f1，木棒与木板间的弹力大小为2， 则f1＝μ1＝2， 又GE＝f2＝ G，1＝ G，代入解得，μ＝025。 故选：。 【点评】本题中木板E 受力平衡，木棒不仅力平衡，力矩也平衡，根据力平衡条件和力 矩平衡条件结合处理本题，分析受力情况是关键。 二．多选题（共1 小题） （多选）13．质量分别为m1 和m2、长度分别为L1、L2 的两根均匀细棒的一端相互连在 一起，构成一个直角形细棒B，放在粗糙的水平桌面上，两棒与桌面间的动摩擦系数相 同，现在两棒的连接端处施加一水平外力F 使棒做匀速直线运动，F 的方向如图所示， 则以下判断中正确的是（ ） ．若L1＞L2，则m1＜m2 B．若L1＜L2，则m1＞m2 ．若L1＝L2，则m1＜m2 D．若L1＝L2，则m1＞m2 【分析】因为棒做匀速直线运动，因此棒一定受到与拉力F 大小相等，方向相反的作用 力，即为摩擦力的合力，然后根据影响摩擦力的因素和二力合成即可判断出和B 所受摩 擦力的大小，从而确定出质量关系。 【解答】解：由题意可知，直角形细棒B 沿着F 的方向做匀速直线运动，把该运动分解 第1 页/ 共43 页 为沿图中虚线方向的两个匀速直线运动，则两根均匀细棒的摩擦力方向如下图所示，两 个摩擦力的合力与拉力F 平衡； 从图中可知，fB＞f，由于接触面的粗糙程度相同，因此摩擦力的大小不同是由于L1、L2 的两根质量不同决定的，与长度无关，即质量越大，摩擦力越大，故m1＜m2。 故选：。 【点评】本题考查二力平衡的条件的应用、不同直线上二力的合成以及决定滑动摩擦力 的因素；本题的难点是根据摩擦力的合力画出两个摩擦力；注意线段的长短代表力的大 小。 三．填空题（共10 小题） 14．如图所示，质量分布均匀的圆柱体重G＝500，圆柱体高D＝40m，底面直径B＝ 30m，若要使该圆柱体的点离开地面，则需要在D 点施加的最小的力是 150 。 【分析】根据杠杆平衡原理，确定出使杠杆平衡的动力方向，然后利用几何关系求出力 臂，再利用平衡条件求出最小力的大小。 【解答】解：由杠杆平衡条件可知，在阻力与阻力臂一定的情况下，动力臂越大，动力 越小， 由图示可知，要使圆柱体的点离开地面，力臂为DB 时最大，力作用在D 端，且与DB 垂直时力最小， 第1 页/ 共43 页 动力臂L1＝DB＝ ＝ ＝50m， 阻力臂L2＝ B＝ ×30m＝15m， 由杠杆平衡条件得：FL1＝GL2， 最小作用力：F＝ ＝ ＝150。 故答为：150。 【点评】根据杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2 可知，在杠杆中的阻力、阻力臂一定的情况 下，要使所使用的动力最小，必须使动力臂最长；而在通常情况下，连接杠杆中支点和 动力作用点这两点所得到的线段是最长的。 15．如图所示，一块均匀的厚木板长16 米，重400 牛，对称的搁在相距8 米的、B 两个支 架上。 （1）若小金的体重为500 牛，站在点静止时，支架上受到木板的压力为 900 牛；从 点出发向左走到离点 32 米处时，木板将开始翘动。 （2）若一个人从点出发要安全移动到最左端，则他的体重G 的取值范围为 不大于 400 牛。 【分析】（1）把人和木板看做整体受力分析可知，受到支架竖直向上的支持力、竖直 向下的总重力作用处于平衡状态，根据力的平衡条件求出木板受到的支持力，支架上受 到木板的压力和木板受到的支持力是一道相互作用力，二力大小相等，据此求出支架上 受到木板的压力；小金从点出发向左走到离点L 时木板恰好没有翘动，此时木板的支点 第1 页/ 共43 页 为，且此时木板水平方向处于平衡状态，根据杠杆的平衡条件得出等式即可求出答； （2）当人到达最左端且木板恰好不翘动时，人的重力最大，根据杠杆的平衡条件得出 等式即可求出人的最大重力，然后得出答。 【解答】解： （1）把人和木板看做整体受力分析可知，受到支架竖直向上的支持力、竖直向下的总 重力作用处于平衡状态， 所以，木板受到的支持力F 支持＝G 木板+G 人＝400+500＝900， 因支架上受到木板的压力和木板受到的支持力是一道相互作用力， 所以，支架上受到木板的压力F 压＝F 支持＝900； 设木板的长度L＝16m，小金从点出发向左走到离点L 时木板恰好没有翘动， 此时木板的