53 二次函数中的四边形综合问题

二次函数中的四边形综合问题 1、如图，抛物线 与y 轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作B⊥x 轴， 垂足为点(3，0) （1）求直线B 的函数关系式； （2）动点P 在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点P 作P⊥x 轴，交直线B 于点M，交 抛物线于点 设点P 移动的时间为t 秒，M 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点，点重合的情况），连接M，B，当t 为何值时，四边形BM 为 平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BM 是否菱形？请说明理由 【答】（1） ；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1 或2 时；四边形BM 为平行四边形； t=1 时，平行四边形BM 是菱形，t=2 时，平行四边形BM 不是菱形，理由见解析 【解析】 解：（1）x=0 时，y=1， ∴点的坐标为：（0，1）， B⊥x ⊥ 轴，垂足为点（3，0）， ∴点B 的横坐标为3， 当x=3 时，y= ， ∴点B 的坐标为（3， ）， 设直线B 的函数关系式为y=kx+b， ， 解得， ， 则直线B 的函数关系式 （2）当x=t 时，y= t+1， ∴点M 的坐标为（t， t+1）， 当x=t 时， ∴点的坐标为 （0≤t≤3）； （3）若四边形BM 为平行四边形，则有M=B， ∴ ， 解得t1=1，t2=2， ∴当t=1 或2 时，四边形BM 为平行四边形， ①当t=1 时，MP= ，P=2， M= ∴ =M，此时四边形BM 为菱形， ②当t=2 时，MP=2，P=1， M= ∴ ≠M，此时四边形BM 不是菱形． 2、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋与x 轴交于点，B，B＝2，与y 轴交于点，对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋＞0 的解集： ． （3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐 标为： ． 【答】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1 或x＞3；（3）（2，－1） 【解析】（1）如图，∵B＝2，对称轴为直线x＝2． ∴点的坐标是（1，0），点B 的坐标是（3，0）． 把、B 两点的坐标代入得：¿，解得：¿， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；． （2）由图象得：不等式x2＋bx＋＞0，即y＞0 时，x＜1 或x＞3； 故答为：x＜1 或x＞3； （3）（2，－1）． y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴顶点坐标为（2，-1）， 当E、D 点在x 轴的上方，即DE B ∥，E=B=BD=DE=2，此时不合题意， 如图，根据“菱形DBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D 是抛物线y=x2-4x+3 的顶点坐 标，即（2，-1）， 故答是：（2，-1）． 3、如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ①用含 的代数式表示线段 的长； ②连接 ， ，求 的面积最大时点 的坐标； （3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一点，是否存在 这样的点 和点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由 【答】（1）y＝x2 4 ﹣x+3；（2）①用含m 的代数式表示线段PD 的长为﹣m2+3m；②△PB 的面积最大时点 P 的坐标为（ ，﹣ ）；（3）存在这样的点M 和点，使得以点、E、M、为顶点的四边形是菱形．点M 的坐标为M1（2，3），M2（2，1 2 ﹣ ），M3（2，1+2 ）． 【解析】 （1）∵抛物线y＝x2+bx+3（≠0）经过点（1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为y＝x2 4x+3 ﹣ ； （2）①设P（m，m2 4m+3 ﹣ ）， 将点B（3，0）、（0，3）代入得直线B 解析式为yB＝﹣x+3． ∵过点P 作y 轴的平行线交直线B 于点D， D ∴（m，﹣m+3）， PD ∴ ＝（﹣m+3）﹣（m2 4m+3 ﹣ ）＝﹣m2+3m． 答：用含m 的代数式表示线段PD 的长为﹣m2+3m． S ② PB △＝S PD △+S BPD △ ＝ B•PD＝﹣ m2+ m ＝﹣ （m﹣ ）2+ ． ∴当m＝ 时，S 有最大值． 当m＝ 时，m2 4m+3 ﹣ ＝﹣ ． P ∴（ ，﹣ ）． 答：△PB 的面积最大时点P 的坐标为（ ，﹣ ）． （3）存在这样的点M 和点，使得以点、E、M、为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1）， EF=F=2 ∴ ， E=2 ∴ ， 根据菱形的四条边相等， ME=E=2 ∴ ，∴M（2，1-2 ）或（2，1+2 ） 当EM=EF=2 时，M（2，3） ∴点M 的坐标为M1（2，3），M2（2，1 2 ﹣ ），M3（2，1+2 ）． 4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点，B 点的坐标为（3，0）， 与y 轴交于点（0，﹣3），点P 是直线B 下方抛物线上的任意一点． （1）求这个二次函数y=x2+bx+的解析式． （2）连接P，P，并将△P 沿y 轴对折，得到四边形PP′，如果四边形PP′为菱形,求点P 的坐标． （3）如果点P 在运动过程中，能使得以P、、B 为顶点的三角形与△相似，请求出此时点P 的坐标． 【答】（1）y=x2 2x 3 ﹣ ﹣（2）（2）（2+❑ √10 2 ，-3 2 ）（3）P、、B 为顶点的三角形与△相似，此时点P 的 坐标（1，﹣4） 【解析】（1）将B、点代入函数解析式，得：¿，解得：¿，这个二次函数y＝x2+bx+的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）∵四边形PP′为菱形，∴与PP′互相垂直平分，∴yP¿−OC 2 =−3 2 ，即x2 2 ﹣x 3 ﹣¿−3 2 ，解得：x1 ¿ 2+❑ √10 2 ，x2¿ 2−❑ √10 2 （舍），P（2+❑ √10 2 ，−3 2 ）； （3）∵∠PB＜90°，∴分两种情况讨论： ①如图1，当∠PB＝90°时，过P 作P⊥y 轴于点，B 的解析式为y＝x 3 ﹣，P 的解析式为y＝﹣x 3 ﹣，设点P 的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P 代入代入y═x2 2 ﹣x 3 ﹣中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣ 4）； ＝1，＝3，B¿ ❑ √3 2+3 2=3 ❑ √2，P¿ ❑ √1 2+（−4+3） 2=❑ √2，此时BC CP =CO AO =¿3，△∽△PB； ②如图2，当∠BP＝90°时，作P⊥y 轴于，作BD⊥P 于D． ∵P⊥PB，∴△P∽△BDP，∴PH HC = BD PD ．设点P 的坐标为（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣），则P=m，=－（m2 2 ﹣m﹣ 3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2 2 ﹣m 3 ﹣），PD=3－m，∴ m −m 2+2m =−(m 2−2m−3) 3−m ，∴ 1 m−2=−(m+1)，解得：m¿ 1+❑ √5 2 或1−❑ √5 2 （舍去）．当m¿ 1+❑ √5 2 时，m2 2 ﹣m 3= ﹣ −5+❑ √5 2 ． ∵△P∽△BDP，∴PC PB = HC PD =−m 2+2m 3−m = ❑ √5−1 5−❑ √5= 1 ❑ √5= ❑ √5 5 ≠CO AO ¿3，以P、、B 为顶点的三角形与△不 相似． 综上所述：P、、B 为顶点的三角形与△相似，此时点P 的坐标（1，﹣4）． 5、如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝x2+bx﹣ 的图象经过点（﹣1，0），（2，0），与y 轴交 于点B，其对称轴与x 轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标； （2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，求 PB+PD 的最小值； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点，使得以、B、M、为顶点的四边形为菱形， 则这样的点共有 个． 【答】（1） ，抛物线的顶点坐标为（ ）；（2）最小值为 ；（3） 5 个 【解析】 (1)∵二次函数 的图象经过点( 1 ﹣，0)(2，0)， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的表达式为 ， ∵y= ， ∴抛物线的顶点坐标为( )； (2)如图，连接B，作D⊥B 于，交B 于P，此时 PB+PD 最小． 理由：∵=1，B= ， ∴ ， ∵ ， ∴∠B=30°， ∴P= PB， ∴ PB+PD=P+PD=D， ∴此时 PB+PD 最短(垂线段最短); ∵抛物线的顶点坐标为( )， ∴ ， ∵∠B=30°， ∴∠D=60°， 在Rt△D 中，∵∠D=90°，D= ，∠D=60°， s60°= ∴ ， ∴D= ， ∴ PB+PD 的最小值为 ； (3)①以为圆心B 为半径画弧，因为B＞D，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且M=B，即M 点存在两个， 所以满足条件的点有两个； ②以B 为圆心B 为半径画弧，因为 ，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=B，即M 点有两个， 所以满足条件的点有两个； ③线段B 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时M=BM，因为M 点有一个，所以满足条件的点有一个； 则满足条件的点共有5 个， 故答为：5． 6、已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3 分别与x 轴、y 轴交于、B 两点，抛物线y=-x2+bx+经过、B 两点，y 轴右侧部分抛物线上有一动点，过点作y 轴的平行线交直线l1于点D （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，在第一象限，求以D 为直径的⊙E 的最大面积，并判断此时⊙E 与抛物线的对称轴是否相切？ 若不相切，求出使得⊙E 与该抛物线对称轴相切时点的横坐标； （3）坐标平面内是否存在点M，使B、、D、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M 的坐标； 不存在，请说明理由 【答】(1)y=−x 2+2 x+3；（2）不相切， 的横坐标分别为2 和5−❑ √17 2 ；（3）M（0,1），（2,3）（0,1- 3❑ √2），（0,1+3❑ √2） 【解析】 解：（1）直线l1:y=-x+3 分别与x 轴、y 轴交于、B 两点，可得点（3，0），B 点（0，3），将、B 两点坐 标代入y=-x2+bx+，可得 ¿，可得b=2，=3 ∴抛物线的函数表达式y=−x 2+2 x+3； （2）①可得抛物线对称轴为：x=−b 2a =¿1， ∵ 在第一象限,以D 为直径的⊙E 的最大面积，即D 最长时，圆的面积最大， 设直线D 的横坐标为t，0＜t＜3， ∴D 点坐标（t，-t+3），点坐标（t，-t❑ 2+2t+3）， ∴ ¿CD∨¿=-t❑ 2+2t+3-(-t+3)= -t❑ 2+3t（0＜t＜3）， ∴当t=−b 2a =3 2 时，D 最长，此时D 最长为9 4 ， 此时圆E 的半径为9 8 ，此时D 与对称轴的距离为3 2 -1=1 2 ≠9 8 ， 故不相切 ②当D 在对称轴右边时，即1＜t＜3 时 ¿CD∨¿= -t❑ 2+3t（1＜t＜3）；圆E 的半径为t-1， 可得¿CD∨¿=2r；-t❑ 2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）； t2=2； 当D 在对称轴左边时，即即0＜t＜1 时， 有-t❑ 2+3t=2（1-t），解得：t1=5+❑ √17 2 （舍去）， t2=5−❑ √17 2 ； 综上所述：t=2 或t=5−❑ √17 2 ，⊙E 与该抛物线对称轴相切 (3)存在，由菱形性质可得M 点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3❑ √2），（0,1+3❑ √2） 7、如图，二次函数y=−x 2+3 x+m的图象与x 轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为，且与y 轴相交于 点 （1）求m 的值及点坐标； （2）在直线B 上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，两点构成的三角形面积最大，若存在，求出 此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P 为抛物线上一点，它关于直线B 的对称点为Q，当四边形PBQ 为菱形时，求点P 的坐标(直接写出 答)； 【答】(1)m=4 , C(0,4) (2) 存在, M (2,6) (3)P点坐标为(1+❑ √5,1+❑ √5)或(1−❑ √5,1−❑ √5) 【解析】解：(1) 将点B(4,0)的坐标代入二次函数y=−x 2+3 x+m，即−4 2+3×4+m=0，解得m=4， 故二次函数解析式为y=−x 2+3 x+4，令x=0，解得y=4，故C点坐标为(0,4); (2)存在， 理由：∵B(4,0)，C(0,4) ∴直线BC的解析式为y=−x+4， 当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大， ∴¿ 整理得：x 2−4 x+b=0 ∴∆=16−4 b=0， ∴b=4 ∴¿ ∴M (2,6) (3) 如图2、图3 所示，连接PQ交BC于点G。 因为四边形PBQC是菱形，所以G为BC的中点， 因为点B 、C的坐标分别为(4,0)、(0,4)，所以由中点坐标公式得G点坐标为(2,2)， 由(2)可知直线BC的解析式为y=−x+4， 由于PG⊥BC，所以设直线PG的解析式为y=x+b ， 将G(2,2)代入，求得直线PG的解析式为y=x， 将直线PG的解析式与抛物线解析式联立得： ¿，消去y得：x=−x 2+3 x+4， 解得：x=1± ❑ √5， 将x=1+❑ √5代入直线PG的解析式得y=1+❑ √5， 将x=1−❑ √5代入直线PG的解析式得y=1−❑ √5， 故当四边形PBQC为菱形时，P点坐标为(1+❑ √5,1+❑ √5)或(1−❑ √5,1−❑ √5) 8、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形B 的边，分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为(4，t)(t＞0)．二次函 数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为点D (1)当t＝12 时，顶点D 到x 轴的距离等于____； (2)点E 是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x 轴的一个公共点(点E 与点不重合)．求E·E 的最大值及取得 最大值时的二次函数表达式； (3)矩形B 的对角线B，交于点F，直线l 平行于x 轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，，连结 DM，D 当△DMF △时，求t 的值． 【解析】 (1)将B 点坐标(4，12)代入y＝x2＋bx 求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐 标公式解决问题； (2)分别用含b 的代数式表示E，E 的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出E·E 的最大值； (3)由△DM≌△F 可得M＝＝t，再分别用含b，t 的代数式表示出点M，的坐标，将点M 或点的坐标代入y ＝x2＋bx 就可以求出t 的值． 解：(2)∵二次函数y＝x2＋bx 与x 轴交于点E，∴E(－b，0)． ∴E＝－b，E＝4＋b∴E·E＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2) 2＋4 ∴当b＝－2 时，E·E 有最大值，其最大值为4 此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x； (3)如答图，过D 作DG⊥M，垂足为G，过点F 作F⊥，垂足为 ∵△DM≌△F，∴M＝＝t，DG＝F＝2 ∵D， ∴，即 第1 题答图 把x＝，y＝代入y＝x2＋bx， 得＝＋b·， 解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2 9、如图所示，直线y＝kx＋m 分别交y 轴，x 轴于(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋过，B 两点． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)设(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点作直线M 垂直x 轴交直线B 于点M，若点在第一象限内． 试问：线段M 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的情况下，以，M，，D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标． 【解析】 (1)由直线y＝kx＋m 分别交y 轴、x 轴于(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋过，B 两 点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式； (2)假设x＝t 时，线段M 的长度是最大值，可得M，，则可得M＝－＝－t2＋4t ＝－(t－2)2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答； (3)根据平行四边形的性质即可求得答． 解：(1)∵直线y＝kx＋m 分别交y 轴，x 轴于(0，2)，B(4，0)两点， ∴解得 ∴直线的表达式为y＝－x＋2， 将(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2； (2)存在． 假设x＝t 时，线段M 的长度是最大值， 由题意，得M，， ∴M＝－＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4， ∴当t＝2 时，M 有最大值4； (3)由题意可知，D 的可能位置有如答图三种情形． 当D 在y 轴上时， 设D 的坐标为(0，)， 由D＝M，得|－2|＝4， 解得1＝6，2＝－2， ∴D(0，6)或D(0，－2)； 当D 不在y 轴上时，由图可知D 为D1与D2M 的交点， ∵直线D1的表达式为y＝－x＋6，直线D2M 的表达式为y＝x－2， 由两方程联立解得D(4，4)． 综上可得，D 的坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)． 10、如图所示，抛物线y＝－x2＋6x 交x 轴正半轴于点，顶点为M，对称轴MB 交x 轴于点B，过点(2，0) 作射线D 交MB 于点D(D 在x 轴上方)，E D ∥ 交MB 于点E，EF x ∥轴交D 的延长线于点F，作直线MF (1)求点，M 的坐标； (2)当BD 为何值时，点F 恰好落在该抛物线上？ (3)当BD＝1 时， ①求直线MF 的表达式，并判断点是否落在该直线上； ②延长E 交FM 于点G，取F 中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形DE 的面积分别记为S1， S2，S3，则S1 S2 S3 ∶ ∶ ＝__3 4 8__ ∶∶ 解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)； 第2 题答图 (2)∵E∥F，∥EF，(2，0)， ∴EF＝＝2，∴B＝1， ∴点F 的横坐标为5， ∵点F 落在抛物线y＝－x2＋6x 上， ∴F(5，5)，BE＝5∵＝＝， ∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝； (3)①当BD＝1 时，BE＝3，∴F(5，3)． 设MF 的表达式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入， 得解得 ∴y＝－3x＋18 ∵当x＝6 时，y＝