专题04 勾股定理应用的四种题型全攻略（教师版）

专题04 勾股定理应用的四种题型全攻略 类型一、最短距离问题 例．如图，长方体的底面边长分别为1m 和3m，高为6m．如果用一根细线从点开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要( ) ．8 m B．10 m ．12 m D．15 m 【答】B 【详解】解：将长方体沿着 边侧面展开，并连接 ，如下图所示： 由题意及图可知： ， ， 两点之间，线段最短，故 的长即是细线最短的长度， 中，由勾股定理可知： ， 故所用细线最短需要 ． 故选：B． 【变式训练1】如图，有一个棱柱，底面是边长为25 厘米的正方形，侧面都是长为12 厘米 的长方形．在棱柱一底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃B 点的食物，那它需要爬行的最短 路程是______厘米． 【答】13 【详解】解：把长方体展开为平面图形，分两种情形： 如图1 中，B= (m)， 如图2 中，B= (m)， 13 ∵ ＜ ，∴爬行的最短路径是13m， 故答为：13． 【变式训练2】如图，圆柱的高为8m，底面半径为2m，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁， 它想吃到上底面B 处的食物，已知四边形DB 的边D、B 恰好是上、下底面的直径，问：蚂 蚁吃到食物爬行的最短距离是__________m．( 取3) 【答】10 【详解】解：把圆柱体沿着 直线剪开，得到矩形如下： 则 的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为 ，底面半径 ， 则可以知道 ， 底面周长， 底面周长为 ， ， 根据勾股定理得出 ，即 ， ． 答：蚂蚁至少要爬行 路程才能食到食物， 故答为：10 【变式训练3】如图，在一个长B 为6m，宽D 为4m 的矩形草地上放着一根长方体木块， 已知该木块的较长边和场地宽D 平行，横截面是边长为1m 的正方形，一只蚂蚁从点处爬 过木块到达点处需要走的最短路程是______m． 【答】 【详解】解：由题意得，将木块表面展开，相当于是B+2 个正方形的宽， 即长为6+2×1=8m，宽为4m，最短路径为： ，故答为： ． 类型二、水杯中的筷子问题 例．如图，将一根长30m 的筷子，置于底面直径为10m，高24m 的装满水的无盖圆柱形水 杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为m，则的取值范围是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：如图，当筷子的底端在D 点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短， ∴＝BD＝24(m)； 当筷子的底端在点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长， 在Rt△BD 中，D＝10m，BD＝24m， ∴B＝ (m)， 所以的取值范围是：24m≤≤26m． 故选：． 【变式训练1】如图，玻璃杯的底面半径为3m，高为8m，有一只长12m 的吸管任意斜放 于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为( )m ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【详解】解：如图： 玻璃杯的底面半径为3m，高为8m， ∵D＝6，D＝8，∴BD＝ m， 露出杯口外的长度为＝12−10＝2m， 故选：B． 【变式训练2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一 根芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面， 求水的深度是( )尺 ．8 B．10 ．13 D．12 【答】D 【详解】解：设芦苇的长为x 尺，即B=x 尺，则B=(x-1)尺，=5 尺 由题意可得： ，∴ ，解得 ，∴ 尺 故选D 【变式训练3】如图，八年级一班的同学准备测量校人工湖的深度，他们把一根竹竿 竖 直插到水底，此时竹竿 离岸边点处的距离 米．竹竿高出水面的部分 长02 米，如果把竹竿的顶端拉向岸边点处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度 为( ) ．15 米 B．17 米 ．18 米 D．06 米 【答】 【详解】解：设BD 的长度为xm，则B=B=(x+02)m， 在Rt△DB 中，082+x2=(x+02)2，解得x=15．故选：． 类型三、格问题 例．如图，在4×4 的正方形格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格点上，D⊥B 于点D，则D 的长为( ) ． B．2 ． D．3 【答】B 【详解】解：由勾股定理得：B ， ，B ， ∵B2+2＝25，B2＝25，∴B2+2＝B2，∴∠B＝90°， ∴S△B ，∴ ，∴D＝2， 故选：B． 【变式训练1】如图，在 的正方形格中，每个小正方形的边长均为1，点 、 、 都 在格点上， 于 ，则 的长为 __． 【答】4 【详解】由勾股定理得： ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答为：4． 【变式训练2】如图，在 的正方形格中，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，则 ______． 【答】45° 【详解】解：取正方形格中格点Q，连接PQ 和BQ，如下图所示： ∴E=PF，PE=QF，∠EP=∠PFQ=90°， ∴△PE≌△PQF(SS), ∴∠PB=∠QPF， ∵PF∥BE， ∴∠PB=∠BPF， ∴∠PB+∠PB=∠QPF+∠BPF=∠QPB， 又Q²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，B²=5²=25， ∴Q²+QB²=20+5=25=B²， ∴△QB 为直角三角形，∠QB=90°， ∵PQ²=2²+1²=5=QB²， ∴△PQB 为等腰直角三角形， ∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°， ∴∠PB+∠PB=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°， 故答为：45°． 【变式训练3】如图，每个小正方形的边长都为1，△B 是格点三角形，点D 为的中点，则 线段BD 的长为 _____． 【答】 【详解】解： ， ， ， ， ∠ ∴ B＝90°， ∵点D 为的中点， ∴BD 为边上的中线，∴BD＝ ，故答为： 类型四、勾股弦图问题 例．如图是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的正方形图，已知大正方形 面积为49，小正方形面积为4，若用x，y 表示直角三角形的两直角边(x＞y)，则下列四个 说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9． 其中说法正确的是( ) ．②③ B．①②③ ．②④ D．①②④ 【答】B 【详解】如图所示， ∵△B 是直角三角形， ∴根据勾股定理： ，故①正确； 由图可知 ，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为 ，即 ，故③正确； 由 可得 ，又∵ ， 两式相加得： ，整理得： ， ，故④错误； 故正确的是①②③．故答选B． 【变式训练1】如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得 到一个正方形，该正方形由4 个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游 活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 ， ， ，则阴影部分的面积是( ) ．169 B．25 ．49 D．64 【答】 【详解】解： ， ， ， ， 则阴影部分的面积是 ， 故选：． 【变式训练2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其 为“赵爽弦图”，如图1，图2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成， 记图中正方形BD、正方形EFG、正方形MKT 的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFG 的 边长为3，则S1+S2+S3的值是( ) ．20 B．27 ．25 D．49 【答】B 【详解】在Rt△FG 中，由勾股定理得：G2+F2=GF2， ∵八个直角三角形全等，四边形BD，四边形EFG，四边形MKT 是正方形， ∴G=KG=F，F=DG=KF， ∴S1=(G+DG)2=G2+DG2+2G•DG=G2+F2+2G•DG=GF2+2G•DG， S2=GF2， S3=(KF-F)2=KF2+F2-2KF•F=KF2+KG2-2DG•G=FG2-2G•DG， ∵正方形EFG 的边长为3，∴GF2=9， ∴S1+S2+S3=GF2+2G•DG+GF2+FG2-2G•DG=3GF2=27，故选：B． 【变式训练3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯 定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学 家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图①)，后人称之为“赵爽弦图”，流 传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为， b，斜边长为，用含，b，的代数式表示： (1)大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________； (2)四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出，b，之间的关系式为____ ___________； (3)如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是 _________________； (4)如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆， 则图中两个月形图(阴影部分)的面积和为_______________． 【答】(1) ， ；(2) ， ；(3) ；(4)75 【详解】解：(1)由题意得：大正方形面积 ，小正方形面积 ，故答为： ， ； (2)由题意得：四个直角三角形的面积和为 ， ∴根据图中面积关系，可列出，b，之间的关系式为 ， ∴ ，故答为： ， ； (3)设这个直角三角形的短直角边为，长直角边为b，斜边为， 由题意得： ， ， ， ∵ ，∴ ， 故答为： ； (4)如图所示，∠B=90°，=5，B=3， ∴ ， ∴S 阴影=SB 为直径的半圆+S 为直径的半圆+S△B-SB 为直径的半圆 ． 课后训练 1．已知圆柱形茶杯的高为12 厘米，底面直径为5 厘米，将长为20 厘米的筷子沿底面放入 杯中，筷子露在杯子口外的长度是x 厘米，则x 的取值范围是( )厘米． ．无法确定 B． ． D． 【答】D 【详解】解：如图所示： ∵B=5m，B=12m，∴= =13， ∴D=20-13=7(m)，筷子露在外面的最长长度=20-12=8(m)． 故答为：8≥x≥7． 2．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4 圈，正好从点绕到正上方的B 点，已知圆柱底面周 长是3m，高为5m，则所需彩带最短是______m． 【答】13 【详解】解：如图，线段即为所需彩带最短， 由图可知 ，∴由勾股定理得， ， 故答为：13． 3．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江 月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代 文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺( 尺)，将它往前推进两步( 尺)，此时踏板升高离地五尺( 尺)，则秋千绳索(或B)的长度为______尺． 【答】145 【详解】解：设=B=x 尺， ∵E=BD=5 尺，=1 尺，∴E=E-=5-1=4(尺)，E=-E=(x-4)尺， 在Rt△EB 中，E=(x-4)尺，B=x 尺，EB=10 尺， 根据勾股定理得：x2=(x-4)2+102， 整理得：8x=116，即2x=29，解得：x=145， 答：秋千绳索的长度是145 尺．故答为：145． 4《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之 不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是______尺． 【答】10 【详解】解：设竹竿x 尺，则图中BD=x． ∴B=BE-E=x-4(x＞4)，D=F-DF=x-2(x＞2)， 在直角三角形BD 中，∠BD=90°， 由勾股定理得：B2+D2=BD2，所以(x-4)2+(x-2)2=x2，整理，得x2-12x+20=0， 因式分解，得(x-10)(x-2)=0，解得x1=10，x2=2， ∵x＞4，∴x=10． 答：竹竿为10 尺． 故答为：10． 5．如图，在4×3 的正方形格中，△B 与△DE 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上，则 ∠B+∠DE＝___度． 【答】 【详解】解：连接 、 ，如下图： 由勾股定理得， ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， 为直角三角形， ∴ ∴ 故答为： 6．将四个图1 中的直角三角形，分别拼成如图2，图3 所示的正方形，则图2 中阴影部分 的面积为 _____． 【答】13 【详解】由题意知图2 中阴影部分为正方形， 设图1 中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为b， 则由图2 得：+b＝5，① 由图3 得：b﹣＝1，② 联立①②得： ，∴阴影部分的边长为 ， ∴ ，故答为：13． 7．如图，台阶阶梯每一层高 ，宽 ，长 ，一只蚂蚁从 点爬到 点，最短 路程是多少？ 【答】 【详解】 如图所示，∵它的每一级的长宽高为 ，宽 ，长 ， ∴ ， 答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点 的最短路程是 ． 8．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点B 离点的距离是 ，一只蚂 蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是多少? 【答】 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形， 如第1 个图： 长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5， ， ， 在直角三角形 中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2 个图： 长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5， ， ， 在直角三角形 中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3 个图： 长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5， ， 在直角三角形 中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是 ． 9．如图，格中小正方形的边长均为1，点、B､E 都在格的格点上，求∠BE 的度数． 【答】45° 【详解】解：由勾股定理可得 ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． 10．(1)阅读理解 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中． 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵 爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； (2)问题解决 勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形DE 的中心，作 FG⊥P，将它分成4 份，所分成的四部分和以B 为边的正方形恰好能拼成以B 为边的正方 形．若＝12，B＝5，求EF 的值． 【答】(1) ，见解析；(2)EF 为 或 【详解】解：(1) (直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)， 证明如下： ∵如图①，∵△BE≌△BF≌△DG≌△D，∴B=B=D=D=， ∴四边形BD 是菱形， ∴∠BE+∠D=90°，∴四边形BD 是正方形， 同理可证，四边形EFG 是正方形，且边长为(b ) ﹣， ∵ ，∴ ，∴ (2)由题意得：正方形DE 被分成4 个全等的四边形，设EF＝，FD＝b， 分两种情况： ①＞b 时，∴+b＝12， ∵正方形B 是由正方形DE 被分成的4 个全等的四边形和正方形BLM 拼成， ∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝B＝5， ∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴﹣b＝5， ∴ ，解得：= ，∴EF= ； ②＜b 时，同①得： ，解得：= ，∴EF= ； 综上所述，EF 为 或 ．