《数学压轴题九大攻略》八上-答案(人教版)

（北京）股份有限公司 专题01 三角形边或角关系的三种模型 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三 角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。 类型一、燕尾角模型 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ， ，那么 的度数是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【详解】延长BE 交F 的延长线于，连接，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ,故选：． 【变式训练1】如图，若 ，则 ____________． （北京）股份有限公司 【答】230° 【详解】解：如图 ∵∠E=∠E+ 2=115° ∠ ，∠2=∠D+∠， ∴∠E+∠D+ =115° ∠ ， ∵∠E= 1+ ∠ ∠F=115°，∠1= + ∠∠B， ∴∠+∠B+∠F=115°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F=230°， 故答为：230°． 【变式训练2】如右图，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+∠＝__． 【答】360° 【详解】解：由图形可知：∠BP＝∠＋∠B，∠DPQ＝∠＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠M＝∠G＋∠， ∵∠BP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠M＝360°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＝∠BP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠M＝360°． 故答为：360°． 【变式训练3】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠＝__． 【答】900° 【详解】解：连EF，G，如图 ， 6 ∵边形BDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， 1 ∵∠＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠＝180°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F∠＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠＝720°＋180°， （北京）股份有限公司 ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠＝900°， 故答为：900°． 【变式训练4】模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2， ，则 __________ ； ②如图3， __________ ； （2）拓展应用： ①如图4， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ， ， 则 __________ ； ②如图5， 、 分别为 、 的10 等分线 ．它们的交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ； ③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则 __________ ； ④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之同的数量关系为__________． 【答】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B- +2 ∠ ∠D=0 【详解】解：（1）①∠B= + ∠∠B+ =60°+20°+30°=110° ∠ ； + ②∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F=∠B+∠DE=2×130°=260°； （北京）股份有限公司 （2）①∠B1=∠B-∠B1-∠1=∠B- （∠B+∠）=∠B- （∠B-∠） =∠B- （120°-50°）=120°-35°=85°； ②∠B7=∠B- （∠B-∠）=120°- （120°-50°）=120°-10°=110°； ③∠DB=180°-（∠BD+∠BD）=180°- （∠B-∠）=180°- （120°-44°） =142°； ④∠BD= ∠B=∠B+∠D+ ∠B， ∠B=∠B+ + ∠∠B， 联立得：∠B- +2 ∠ ∠D=0． 类型二、折叠模型 例1 如图，在 中， ，将 沿直线折叠，点落在点D 的位置，则 的度数是（ ）． ． B． ． D．无法确定 【答】B 【详解】解：由折叠的性质得： ， 根据外角性质得： ， ， 则 ，则 ． 故选：B． 【变式训练1】如图，将△B 纸片沿DE 折叠，使点落在点'处，且'B 平分∠B，'平分∠B，若∠B'＝120°，则∠1+ 2 ∠的 度数为（ ） （北京）股份有限公司 ．90° B．100° ．110° D．120° 【答】D 【详解】解：如图，连接'，∵'B 平分∠B，'平分∠B， ' ∴∠B= ∠B，∠'B= ∠B， ∵∠B'=120°，∴∠'B+ ' ∠B=180°-120°=60°， ∴∠B+∠B=120°，∴∠B=180°-120°=60°， ∵沿DE 折叠，∴∠D'=∠D'，∠E'=∠E'， 1= ∵∠ ∠D'+∠D'=2∠D'，∠2=∠E'+∠E'=2∠E'， 1+ 2=2 ∴∠ ∠ ∠D'+2∠E'=2∠B=2×60°=120°， 故选：D． 【变式训练2】如图，把△B 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠＝55°，∠1＝95°，则∠2 的度数为（ ） ． ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：∵∠＝55°， ∴∠EF＋∠FE＝180°－55°＝125°， （北京）股份有限公司 ∴∠FEB＋∠EF＝360°－125°＝235°， 由折叠可得：∠B′EF＋∠EF′＝∠FEB＋∠EF＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， 1 ∵∠＝95°， 2 ∴∠＝110°－95°＝15°， 故选：B． 【变式训练3】如图,将△B 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+ 2=80°, ∠ 则∠B 的度数为（ ） ．20° B．30° ．40° D．50° 【答】 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选 【变式训练4】如图，将矩形纸片 沿 折叠，点 落在边 上的点 处，点 落在点 处，若 ，则 的度数为（ ）． ．42° B．69° ．44° D．32° 【答】 【详解】由图形翻折的性质可知， ， ， ， ，利用“8”字模型， ， 故选：． 类型三、“8”字模型 （北京）股份有限公司 例1 如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G， ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 【答】（1） ；（2） ． 【详解】解：（1）∵DP 平分∠D， DP= PDF= ∴∠ ∠ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵BP 平分∠B，DP 平分∠D， DP= PDF ∴∠ ∠ ，∠BP= PB ∠ ， + DP= P+ BP ∵∠∠ ∠ ∠ ， + BP= P+ PDF ∠∠ ∠ ∠ ， + =2 P ∴∠∠ ∠， =42° ∵∠ ，∠=38°， P= ∴∠ （38°+42°）=40°． 【变式训练1】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 【答】540° 【详解】解：如图所示： （北京）股份有限公司 由三角形的外角的性质可知：∠＋∠B＝∠L，∠＋∠D＝∠ML，∠＋∠K＝∠G，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠K＝∠L＋∠ML＋∠GML＋∠G＋∠G＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“ 字形”，试说明： ． （2）如图②， ， 分别平分 ， ，若 ， ，求 的度数． （3）如图（3），直线 平分 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量关系是__； （4）如图（4），直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量 关系是________． （北京）股份有限公司 【答】（1）见解析；（2）26°；（3） ；（4） 【详解】解：（1） 180°， 180°， ． ， ； （2） ， 分别平分 ， ，设 ， ， 则有 ， ， （36°+16°）=26° （3） 直线 平分 ， 平分 的外角 ， ， ，∴ 180°- ， 180° ∴ ∵∠P+∠PD=∠PD+∠D，∠BD+∠B=∠BD+∠D，∴ ∴ 180° ∴ ， 即 90° ． （北京）股份有限公司 （4）连接PB，PD 直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ， ， ， ∵ 180°， 180° ∴ 360° 同理得到： 360° ∴ 720° ∴ 720° ∵ 180°， 180° ∴ 360°， 180°- （北京）股份有限公司 专题02 全等三角形中的六种模型梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证 明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。 例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△B 的边B 到D，使D＝B，过D 作DE∥B 交延长线于点E，求证：△B≌△ED． 【理解与应用】 如图2，已知在△B 中，点E 在边B 上且∠E＝∠B，点E 是D 的中点，若D 平分∠BE． （1）求证：＝BD； （2）若BD＝3，D＝5，E＝x，求x 的取值范围． 【答】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4 【详解】解：[探究与发现] 证明：∵DE∥B，∴∠B=∠D， 又∵B=D，∠B=∠ED，∴△B≌△ED（S）； [理解与应用]（1）证明：如图2 中，延长E 到F，使EF=E，连接DF， ∵点E 是D 的中点，∴ED=E， （北京）股份有限公司 在△DEF 与△E 中， ，∴△DEF≌△E（SS），∴=FD，∴∠FD=∠E， ∵∠E=∠B，∴∠FD=∠B，∵D 平分∠BE，∴∠BD=∠FD， 在△BD 与△FD 中， ，∴△BD≌△FD（S），∴BD=FD，∴=BD； （2）解：由（1）得：F=2E=2x，△BD≌△FD，∴B=F=2x， ∵BD=3，D=5， 在△BD 中，由三角形的三边关系得：D-BD＜B＜D+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4， 即x 的取值范围是1＜x＜4． 【变式训练1】如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ， ． （1）求证 ； （2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，求 的值． 【答】（1）见解析；（2） 【详解】（1）如图1 所示，延长 至点 ，使 ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 在 与 中， , ， ， ； （北京）股份有限公司 （2）如图所示， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ，作 ， 在 与 中， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ，设 ， ， ， ． 【变式训练2】（1）如图1，已知 中，D 是中线，求证： ； （2）如图2，在 中，D，E 是B 的三等分点，求证： ； （3）如图3，在 中，D，E 在边B 上，且 ．求证： ． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】证：（1）如图所示，延长D 至P 点，使得D=PD，连接P， （北京）股份有限公司 ∵D 是△B 的中线，∴D 为B 的中点，BD=D， 在△BD 与△PD 中， ，∴△BD≌△PD(SS)，∴B=P， 在△P 中，由三边关系可得+P＞P，∴ ； （2）如图所示，取DE 中点，连接并延长至Q 点，使得=Q，连接QE 和Q， ∵为DE 中点，D、E 为B 三等分点，∴D=E，BD=DE=E，∴D=， 在△B 和△Q 中， ，∴△B≌△Q(SS)， 同理可得：△D≌△QE，∴B=Q，D=EQ， 此时，延长E，交Q 于K 点， + ∵Q=+K+QK，+K＞K，∴+Q＞K+QK， 又∵K+QK=E+EK+QK，EK+QK＞QE，∴K+QK＞E+QE， + ∴Q＞K+QK＞E+QE， ∵B=Q，D=EQ，∴ ； （3）如图所示，取DE 中点M，连接M 并延长至点，使得M=M，连接E，E， ∵M 为DE 中点，∴DM=EM，∵BD=E，∴BM=M， 在△BM 和△M 中， ，∴△BM≌△M(SS)， 同理可证△DM≌△EM，∴B=，D=E， 此时，延长E，交于T 点， +=+ ∵ T+T，+T＞T，∴+＞T+T， 又∵T+T=E+ET+T，ET+T＞E，∴T+T＞E+E，∴+＞T+T＞E+E， （北京）股份有限公司 ∵B=，D=E，∴ ． 【变式训练3】在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ． （1）如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ． （2）若直线 绕点 旋转到图2 的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 ， ， ，求 的长度． （3）若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系． 【答】（1）见解析；（2） ；（3）线段 、 和 的位置关系为 ，数量关系为 或 或 【详解】（1）证明：如图1， 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， （北京）股份有限公司 又 为 边中点， ， 在 和 中， ， ， ． （2）解：如图2，延长 与 的延长线相交于点 ， 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， ， 又 为 中点， ， 又 ，∴在 和 中， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ． （3）位置关系： ，数量关系：分四种情况讨论 ∵ 直线 于点 ． 直线 于点 ， 直线 于点 ， ∴ ， ①如图3，当直线 与线段 交于一点时， 由（1）可知 ， ，即 ， ， ， ， ∵ ， ． ②当直线 与线段 交于一点时，如图，延长 交 的延长线于点 ． （北京）股份有限公司 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， 又 为 边中点， ， 在 和 中， ， ， ． ，即 ， ， ， ， ∵ ， ． ③如图4，当直线 与线段 的延长线交于一点时． 由（2）得： ， ， ， ∴ ，即 ， ． ④当直线 与线段 的延长线交于一点时， 如图，延长 交 的延长线于点 ． （北京）股份有限公司 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， ， 又 为 中点， ， 又 ，∴在 和 中， ， ， ， ，∴ ，即 ， ． 综上所述，线段 、 和 的位置关系为 ，数量关系为 或 或 ． 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2 次全等） 例．在等边三角形B 的两边B、所在直线上分别有两点M、，P 为△B 外一点，且∠MP＝60°，∠BP＝120°，BP＝ P．探究：当点M、分别在直线B、上移动时，BM，，M 之间的数量关系． （北京）股份有限公司 (1)如图①，当点M、在边B、上，且PM＝P 时，试说明M＝BM+． (2)如图②，当点M、在边B、上，且PM≠P 时，M＝BM+还成立吗？ 答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． (3)如图③，当点M、分别在边B、的延长线上时，请直接写出BM，，M 之间的数量关系． 【答】(1)见解析；(2)一定成立；(3)M＝﹣BM 【解析】(1)证明：∵△B 为等边三角形，∴∠B＝∠B＝60°， ∵∠BP＝120°，BP＝P，∴∠PB＝∠PB＝ ×（180° 120° ﹣ ）＝30°，∴∠PBM＝∠P＝90°， 在Rt△PBM 和Rt△P 中， ，∴Rt△PBM≌Rt△P（L），∴∠BPM＝∠P＝30°， ∵∠MP＝60°，PM＝P，∴△PM 为等边三角形，∴PM＝P＝M， 在Rt△PBM 中，∠BPM＝30°，∴BM＝ PM，同理可得，＝ P，∴BM+＝M． (2)解：一定成立，理由如下：延长至，使＝BM，连接P，如图所示， 由（1）可知：∠PBM＝∠P＝90°，∴∠P＝90°，∴∠PBM＝∠P， 在△PBM 和△P 中， ，∴△PBM≌△P（SS），∴PM＝P，∠BPM＝∠P， ∵∠BPM+∠P＝60°，∴∠P+∠P＝60°，∴∠MP＝∠P， 在△MP 和△P 中， ，∴△MP≌△P（SS），∴M＝＝BM+， 故答为：一定成立． (3)解：在上截取K＝BM，连接PK，如图所示， （北京）股份有限公司 在△PBM 和△PK 中， ，∴△PBM≌△PK（SS）， ∴PM＝PK，∠BPM＝∠PK， ∵∠BPM+∠BP＝60°，∴∠PK+∠BP＝60°，∴∠KP＝60°，∴∠MP＝∠KP， 在△MP 和△KP 中， ，∴△MP≌△KP（SS），∴M＝K， ∵K＝﹣K＝﹣BM，∴M＝﹣BM． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点E、F 分别在直线 、 上，且 ． (1)当点E、F 分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由． (2)当点E、F 分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若 不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【答】(1)见解析；(2)不成立， ，见解析 【解析】(1)EF＝BE+DF， 理由：延长EB 至G，使BG＝DF，连接G， （北京）股份有限公司 ∵∠B+∠D＝180°，∠B+∠BG＝180°，∴∠D＝∠BG， 在△BG 和△DF 中， ，∴△BG≌△DF（SS），∴G＝F，∠BG＝∠DF， ∵∠EF＝ ∠BD，∴∠BE+∠DF＝∠BE+∠BG＝∠EF，即∠EG＝∠EF， 在△EG 和△EF 中， ，∴△EG≌△EF（SS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF； (2)（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE 上截取BM＝DF，连接M， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠DF＝180°，∴∠B＝∠DF， 在△BM 和△DF 中， ，∴△BM≌△DF（SS），∴M＝F，∠BM＝∠DF， ∵∠BM+∠MD＝∠DF+∠MD，∴∠BD＝∠MF， ∵∠EF＝ ∠BD，∴∠EF＝ ∠MF，∴∠EF＝∠EM， 在△ME 和△FE 中， ，∴△ME≌△FE（SS）， ∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD． 【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求 证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量 关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D 作 ，垂足为点E，请 （北京）股份有限公司 直接写出