《数学压轴题九大攻略》七上-答案(人教版)

1 （北京）股份有限公司 攻略01 绝对值的三种化简方法 绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是利用数 轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本攻略就这两块难点详细做出分析。 【知识点梳理】 1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|| 2 绝对值的意义 ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距 离越近，绝对值越小。 3 绝对值的化简： 类型一、利用数轴化简绝对值 例1．有理数、b、在数轴上位置如图，则 的值为（ ）． ． B． ．0 D． 【答】 【详解】根据数轴上点的位置得： ，且 ， 则 ， ， ， 则 ． 故选． 例2．有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 的值是( ) ．-1 B．1 ．3 D．-3 【答】D 【详解】解：根据数轴可知：－1<<0，0<b<1，||<|b|， ∴原式 ． 故选：D． 【变式训练1】已知，数 、 、的大小关系如图所示：化简 ____． 1 （北京）股份有限公司 【答】 【详解】由数轴可得：b＜0，0＜＜， ∴（+）＞0，（b-）＜0，（-）＜0，（b-）＜0， ∴ +-（-b）-2（-）+3（-b） =+-+b-2+2+3-3b=2-2b+2， 故答为：2-2b+2． 【变式训练2】有理数、b、在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ． （2）化简： 【答】（1）＜，＜，＞；（2）2-2b-2 【详解】解：由图可知，＜0，b＞0，＞0，且|b|＜||＜||， （1）b−＜0，＋b＜0，−＋＞0；故答为：＜，＜，＞； （2） ＝−b−-b-+=2-2b-2． 【变式训练3】有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示： （1）填空： ______0； ______0； ______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简： 【答】（1）<，<，>；（2） 【详解】（1）从数轴可知： ， ，故答为：<，<，>； （2） ， ． 【变式训练4】有理数、b、在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空_____0，b_____0，﹣b______0，b_____0． (2)化简：||+|b+| | | ﹣﹣． 【答】(1)＜，＞，＞，＜；(2)b 【解析】(1)解：由有理数、b、在数轴上的位置可知，＜0＜b＜， ∴﹣b＞0，b＜0 故答为：＜，＞，＞，＜； (2)由有理数、b、在数轴上的位置可得， b+＞0，﹣＞0， ||+| ∴ b+| | | ﹣﹣＝﹣+b+ + ﹣＝b． 类型二、利用几何意义化简绝对值 1 （北京）股份有限公司 例1 同学们都知道，|5-（-2）|表示5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为5 与-2 两数在数轴上所对的两点之间的 距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________； （2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008 和1005 所对的两点距离相等，则x=________； （3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x 所对点到-5 和2 所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数 x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答】（1）7；（2） ；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值为3． 【详解】（1）|5-（-2）|= =7，故答为：7 （2）∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008 和1005 所对的两点距离相等， ∴x 所对点为-1008 和1005 所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0， | ∵x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得： ，答为： （3）当x+5=0 时，x=-5，当x-2=0 时，x=2， 当x＜-5 时，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范围内不成立，舍去） 当-5≤x＜2 时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7， ∵x 为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1 当x≥2 时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2， 综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2， 故答为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2 （4）∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x 所对点到3 和6 所对的两点距离之和， ∴由（2）得3≤x≤6 时|x-3|+|x-6|的值最小， | ∴x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3． 【变式训练1】阅读下面的材料： 点、B 在数轴上分别表示实数、b，、B 两点之间的距离表示为∣B∣，当、B 两点中有一点在原点时，不妨设点在原 点，如图1，∣B∣＝∣B = ∣∣b = - ∣∣b∣；当、B 两点都不在原点时： ①如图2，点、B 都在原点的右边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - = ∣∣∣b-= - ∣b∣； ②如图3，点、B 都在原点的左边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - =- ∣∣∣ b-（-）= - ∣b∣； ③如图4，点、B 在原点的两边： ∣B = + ∣∣∣∣B = + ∣∣∣∣b =+ ∣ （-b）= - ∣b∣， 综上，数轴上、B 两点之间的距离∣B = - ∣∣b∣． 1 （北京）股份有限公司 回答下列问题： (1)数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是________，数轴上表 示1 和-3 的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x 和-1 的两点和B 之间的距离是________，如果∣B =2 ∣ ， 那么x 为__________． (3)当代数式∣x+1 + ∣∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________． 【答】(1)3，3，4；(2) ，1 或-3；(3) 【解析】(1)解：数轴上表示2 和5 的两点之间的距离为 ， 数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离为 ， 数轴上表示1 和-3 的两点之间的距离为 ； 故答为：3，3，4； (2)解：数轴上表示x 和-1 的两点和B 之间的距离是 ， 根据题意得 ，即 ，所以x=1 或-3， 故答为 ，1 或-3； (3)解：代数式∣x+1 + ∣∣x-2∣可以看成x 到-1 和2 的距离和，只有在-1 和2 之间才会有最小距离3，所以x 的取值为 ， 故答为： ． 【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3 和2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上 表示数m 和数的两点之间的距离可以表示为|m | ﹣．那么，数轴上表示数x 与5 两点之间的距离可以表示为 ， 表示数y 与﹣1 两点之间的距离可以表示为 ． （2）如果表示数和﹣2 的两点之间的距离是3，那么＝ ；若数轴上表示数的点位于﹣4 与2 之间，求|+4|+|﹣ 2|的值； （3）当＝ 时，|+5|+| 1|+| 4| ﹣ ﹣的值最小，最小值是 ． 【答】（1）3，5，|x-5|，|y+1|；（2）1 或-5；|+4|+|-2|=6；（3）1，9． 【详解】（1）数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是4-1=3；表示-3 和2 两点之间的距离是2-（-3）=5；一般地， 数轴上表示数m 和数的两点之间的距离可以表示为|m-|．那么，数轴上表示数x 与5 两点之间的距离可以表示为| x-5|，表示数y 与-1 两点之间的距离可以表示为|y+1|． 故答为：3，5，|x-5|，|y+1|； （2）如果表示数和-2 的两点之间的距离是3，那么|-（-2）|=3， |+2|=3 ∴ ，∴+2=3 或+2=-3，解得=1 或=-5； |+4|+|-2| ∵ 表示数与-4 的距离与和2 的距离之和， 若数轴上表示数的点位于-4 与2 之间，则|+4|+|-2|的值等于2 和-4 之间的距离，等于6． 即|+4|+|-2|=6，故答为：1 或-5； 1 （北京）股份有限公司 （3）|+5|+|-1|+|-4|表示一点到-5，1，4 三点的距离的和， ∴当=1 时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9． ∴当=1 时，|+5|+|-1|+|-4|的值最小，最小值是9．故答为：1，9． 【变式训练3】（问题提出） 的最小值是多少？ （阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的点到原 点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1 的距离； 就可以看作 这个数在数轴上 对应的点到1 和2 两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 的最小值． 我们先看 表示的点可能的3 种情况，如图所示： （1）如图①， 在1 的左边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1． （2）如图②， 在1，2 之间（包括在1，2 上），看出 到1 和2 的距离之和等于1． （3）如图③， 在2 的右边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当 在1，2 之间（包括在1，2 上）时， 有最小值1． （问题解决） （1） 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是 ． （2）请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ． （3） 的最小值为 ． （4） 的最小值为 ． （拓展应用）如图，已知 使到-1，2 的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ． 【答】（1）这个数在数轴上对应的点到4 和7 两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）6；（4）1021110；拓展 应用 ． 【详解】（1） 的几何意义是这个数在数轴上对应点到4 和7 两个点的距离之和； 当在4 和7 之间时（包括4，7 上）， 1 （北京）股份有限公司 可以看出到4 和7 的距离之和等于3，此时 取得最小值是3； 故答为：这个数在数轴上对应的点到3 和6 两个点的距离之和，最小值是3 （2）当取中间数2 时，绝对值最小， 的最小值是1+0+1=2； 如图所示： 故答为：2，2； （3）当取最中间数时，绝对值最小， 的最小值是 ； （4）当取中间数1011 时，绝对值最小， 的最小值为： 1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010= ； 拓展应用 ∵使它到-1，2 的距离之和小于4，∴ ， ∴①当 时，则有 ，解得： ，∴ ； ②当 时，则有 ，∴ ， ③当 时，则有 ，解得： ，∴ ， 综上： ，数轴上表示如下： 类型三、分类讨论法化简绝对值 例1 化简： 【答】 【解析】试题解析：①当 时，原式 ②当 时，原式 ③当 时，原式 ④当 时，原式 1 （北京）股份有限公司 综上所述： 【变式训练1】若 ，则 的值为_________． 【答】0 或2 或4 【详解】∵ ， ∴、b、三个数中必定是一正两负， ∴当 时， ，此时 当 时， ，此时 当 时， ，此时 故答为：0 或2 或4 【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若，b 均不为零，求 的值． 请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母，b 中有2 个正，0 个负时，x= ；②当两个字母，b 中有1 个正，1 个负时，x= ；③当两个 字母，b 中有0 个正，2 个负时，x= ；综上，当，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若，b，均不为零，求 的值． ②若，b，均不为零，且+b+=0，直接写出代数式 的值． 【答】（1）①2，②0，③-2，2 或0 或-2；（2）①1 或3 或-3 或-1；②-1 或1 【详解】（1）①∵、b 都是正数，∴ =， =b，∴ =1+1=2， 故答为：2； ②设是负数，b 是正数，∴ =-， =b，∴ =-1+1=0，故答为：0； ③∵、b 都是负数，∴ =-， =-b，∴ =-1-1=-2，故答为：-2； 综上，当，b 均不为零，求x 的值为2 或0 或-2； （2）①由题意可得：、b、的符号分为四种情况： 当、b、都是正数时， =1+1-1=1， 1 （北京）股份有限公司 当、b、为两正一负且、b 为正为负时， =1+1+1=3， 当、b、为一正两负且、b 为负为正时， =-1-1-1=-3, 当、b、都是负数时， =-1-1+1=-1， 综上， 的值为1 或3 或-3,或-1； ②∵，b，均不为零，且+b+=0， ∴ = ， ∴当、b、为两正一负时， =-1-1+1=-1， 当、b、为一正两负 =-1+1+1=1， 综上， 的值为-1 或1 1 （北京）股份有限公司 攻略02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那 么，本攻略对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。 【知识点梳理】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为－b 类型一、求值（速度、时间、距离） 例1．如图在数轴上点表示数，B 点表示数b，，b 满足 ＋ ＝0； (1)点表示的数为 ；点B 表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点B 与点之间的距离表示为B，请在数轴上找一点，使＝2B，则点表示的数 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1 个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2 个单位 ／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动 的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t 表示）． 【答】(1)-2；6；(2) 或14 (3)甲球与原点的距离为：t+2；当 时，乙球到原点的距离为 ；当 时，乙球到原点的距离为 【解析】(1)解：∵|+2|+|b−6|=0，∴+2=0，b−6=0，解得，=−2，b=6， ∴点表示的数为−2，点B 表示的数为6．故答为：−2；6． (2)设数轴上点表示的数为， =2 ∵ B，∴|−|=2|−b|，即|+2|=2|−6|， =2 ∵ B>B，∴点不可能在B 的延长线上，则点可能在线段B 上和线段B 的延长线上， ①当点在线段B 上时，则有−2 6 ⩽⩽， 得+2=2(6−)，解得：= ； ②当点在线段B 的延长线上时，则有>6，得+2=2(−6)，解得=14， 故当=2B 时，= 或=14；故答为： 或14． (3)∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，=2，∴甲球与原点的距离为：t+2； 乙球到原点的距离分两种情况： 当0<t 3 ⩽时，乙球从点B 处开始向左运动，直到原点， ∵B=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，乙到原点的距离：6−2t(0⩽t 3) ⩽ ； ②当t>3 时，乙球从原点处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)． 例2．如图，数轴上两个动点，B 起始位置所表示的数分别为 ，4，，B 两点各自以一定的速度在数轴上运动， 1 （北京）股份有限公司 已知点的运动速度为2 个单位/秒． (1)若，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度． (2)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8 个单位长度？ (3)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点出发作同方向的运动， 如果在运动过程中，始终有 ，求点的运动速度． 【答】(1)1 个单位/秒；(2)4 秒和20 秒；(3) 个单位/秒 【解析】(1)解：B 点的运动速度为： =1 个单位/秒． (2) + ∵B=8+4=12＞8，且点运动速度大于B 点的速度， ∴分两种情况， ①当点B 在点的右侧时，运动时间为 =4 秒． ②当点在点B 的右侧时，运动时间为 =20 秒， 综合①②得，4 秒和20 秒时，两点相距都是8 个单位长度； (3)设点的运动速度为x 个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知 8+（2-x）×t=[4+（x-1）×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x= ， 故点的运动速度为 个单位/秒． 【变式训练1】如图，将一条数轴在原点和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-10，点B 表示 10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28 个长度单位．动点P、Q 同时出发，点P 从点出发，以2 单位/秒的 速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从 点出发，以1 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复 原速．设运动的时间为t 秒．问： (1)动点P 从点运动至点需要多少时间？ (2)求P、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数． 【答】(1)动点P 从点运动至点需要19 秒； (2)P、Q 两点相遇时，t 的值为 秒，相遇点M 所对应的数是 ． 【解析】(1)解：由图可知：动点P 从点运动至分成三段，分别为、B、B， 1 （北京）股份有限公司 段时间为 ＝5，B 段时间为 =10，B 段时间为 =4， ∴动点P 从点运动至点需要时间为5+10+4=19（秒）， 答：动点P 从点运动至点需要19 秒； (2)解：点Q 经过8 秒后从点B 运动到B 段， 而点P 经过5 秒后从点运动到B 段，经过3 秒后还在B 段，∴P、Q 两点在B 段相遇， 设点Q 经过8 秒后从点B 运动到B 段，再经进y 秒与点P 在B 段相遇， 依题意得：3+y+2y=10，解得：y= ，∴P、Q 两点相遇时经过的时间为8+ = （秒）