《数学压轴题十一大攻略》九上-答案(人教版)

（北京）股份有限公司 专题01 韦达定理的四种考法 【基础知识点】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2¿ c a． 类型一、直接运用韦达定理求代数式的值 例1 已知 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是（ ） ．0 B．1 ．2 D．-3 【答】 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ，∴ = =0， 故选：． 【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则x1 2 2017 ﹣ x1 2018 ﹣ x2的值为（ ） ．2020 B．2019 ．2018 D．2017 【答】B 【详解】 x1，x2是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根， ， ， ． 故选B． 【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0 的两个实数根分别为 ，且 ，则k 的值 是（ ） ．－2 B．2 ．－1 D．1 【答】D 【解析】 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ， ， ， ， ， ，整理得出： ，解得： ， 故选：D． 【变式训练3】设α、β 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的两个实数根，则α2+2α+β 的值为_____． 【答】2017 【详解】解：∵α 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的根， α ∴ 2+α 2018 ﹣ ＝0，∴α2＝﹣α+2018， α ∴ 2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018， α ∵、β 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的两个实数根，∴α+β＝﹣1， α ∴ 2+2α+β＝﹣1+2018＝2017． 故答为2017． 类型二、降幂思想求值 （北京）股份有限公司 例1 已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】∵与b 是方程 的两根 + ∴b=1，2--1=0，b2-b-1=0，∴2=+1，b2=b+1 ∵ ，同理： ∴ 故选：D． 【变式训练1】若 ，则 的值为_________________． 【答】 【详解】 ， ①． ①等式两边同乘 得， 代回原式． ． 故答为 ． 【变式训练2】若2+ 1=0 ﹣ ，则代数式4+3 的值为_____． 【答】2 【详解】∵ ， ∴ ， ， ∴ 【变式训练3】若 ，那么代数式 的值是_________ 【答】- 6 【详解】由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x（x2+x）+x2-7，然后将其整体代入求值即可． 解：∵ ， ∴x2+x=1， ∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6 故答为−6 类型三、构造方程思想求值 例1 已知m≠1，且5m2+2010m+9=0，92+2010+5=0，则 的值为（ ） ．﹣402 B． ． D． 【答】 （北京）股份有限公司 【详解】将92+2010+5=0 方程两边同除以2，变形得：5×（ ）2+2010× +9=0，,又5m2+2010m+9=0， m ∴ 与 为方程5x2+2010x+9=0 的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m• = = ． 故选 【变式训练1】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______． 【答】 【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ， ∴m，是方程 的两实数根， ∴ ， ， ∴ ， 故答为： 【变式训练2】若m2+m＝－1，2－3m＝10，则代数式m2+7m－22的值为_______． 【答】−21 【详解】∵ ， ， ∴原式=(m2＋m)−2(2−3m)=−1−20=−21， 故答为：−21． 【变式训练3】若实数 、 满足 ， ，则代数式 的值为______． 【答】98 【解析】∵实数 、 满足 ， ， ∴ 、 是方程 的两个根，∴ ， ， ∴ = = ， 故答是：98． 【变式训练4】设实数s、t 分别满足 ，并且st≠1，求 ____ 【答】-5 【详解】由题意得s 与 是方程 的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积， 代入代数式即可求出结果． 把方程 转化为 s ∴与 是方程 的两个根 （北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ 类型四、根的取值范围问题 例1．方程 的两根分别为 ， ，且 ，则 的取值范围是____． 【答】 【详解】根据根与系数的关系得到x1+x2= m ﹣，x1x2=m 3 ﹣， x ∵ 1＜0＜x2＜1， x ∴ 1x2＜0，x1 1 ﹣＜0，x2 1 ﹣＜0， m 3 ∴﹣＜0，（x1 1 ﹣）（x2 1 ﹣）＞0， x1x2﹣（x1+x2）+1＞0，即m 3+m+1 ﹣ ＞0，解得m＞1， 1 ∴＜m＜3． 【变式训练1】已知x1，x2是关于x 的方程x2﹣（+1）x+1＝0 的两个实数根． （1）若x1≠x2，求实数的取值范围； （2）是否存在实数使得x1 2＝x2 2成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答】（1） 且 ；（2）存在，的值为1 或-1 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得：≠0 且≠1． 故实数的取值范围是：≠0 且≠1； （2）存在； ①若x1＝x2，则 ， 解得：＝1； ②若x1+x2＝0，则 ， 解得：＝﹣1． 综上所述，＝1 或﹣1． 【变式训练2】已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根． （1）若 ，求的值； （2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三角形的周长． 【答】（1）6；（2）17 【详解】解：（1）由题意得： ， ∴ （北京）股份有限公司 解得： ∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根， ∴ 得： ∴ （2）①当7 为底，即 时，则 ， 即 解得 把=2 代入方程得 ∴ 3+3 ∵ ＜7（舍去） ②当7 为腰，，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(+1)+2+5=0， 解得 当 时， =22， 解得 ， ∴三角形的周长为3+7+7=17； 当 时， =10， 解得 7+7 ∵ ＜15（舍去） 综上，三角形的周长为17． 【变式训练3】关于x 的方程 有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【答】（1）-2＜＜-1；（2）2＜＜3；（3）＞3 【详解】解：∵关于x 的方程x2-2x++2=0 有两个不相等的实根， = ∴△（-2）2-4（+2）＞0， ∴＜-1 或＞2． 设方程x2-2x++2=0 的两根为α，β， α+β=2，αβ=+2． （1）∵两根都小于0， α+β=2 ∴ ＜0，αβ=+2＞0， 解得：-2＜＜0， （北京）股份有限公司 又 ，＜0； ∵＜-1 或＞2， -2 ∴ ＜＜-1； （2）∵两根都大于1， ∴（α-1）（β-1）＞0， αβ- ∴ （α+β）+1＞0， +2-2 ∴ ＞-1， ∴＜3， 又 ，＞1； 又＜-1 或＞2， 2 ∴＜＜3； （3））∵一根大于1，一根小于1， ∴（α-1）（β-1）＜0， αβ- ∴ （α+β）+1＜0， +2-2 ∴ ＜-1， ∴＞3 【变式训练4】设关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ． （1）求 的值； （2）求证： ，且 ； （3）若 ，试求 的最大值． 【答】（1） ；（2）见解析；（3） 取最大值 ． 【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， ∴ ， ∴ （2）证明：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根， Δ=1-4≥0, ∴ ∴ ，即 ， ∴ ， ， 由此可知： 且 （北京）股份有限公司 ∴ 且 命题得证． （3）解：由题 ， 当 时， 取最大值 ， 又∵ ， ∴ 满足条件． 即当 时， 取最大值 ． （北京）股份有限公司 专题02 一元二次方程的四种实际应用 【基础知识点】 应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用 ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝(1±x)，表示基数，x 表示平均增长率（降低率），表示变化的次数，b 表示变化次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程；b 将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之 间的关系列方程 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义 类型一、增长率问题 例1 某蔬菜种植基地2020 年蔬菜产量为40 吨，预计2022 年蔬菜产量比2021 年增加20 吨．若蔬菜产量的年平均 增长率为x，则下面所列的方程正确的是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40（1+x）x=20， 故选：． 【变式训练1】疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形势得以有效控制，并逐步 恢复生产．某商店今年1 月份的销售额仅2 万元，3 月份的销售额已达到45 万元，从1 月份到3 月份，该店销售额 平均每月的增长率是（ ） ．50% B．625% ．20% D．25% 【答】 【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万 元， 由题意可得：2（1+x）2=45， 解得：x1=05=50%，x2=-25（不合题意舍去）， 答：该店销售额平均每月的增长率为50%； 故选． 【变式训练2】河南省地方育经费总投入逐年增加，2017 年为215467 亿元，2019 年为266852 亿元．若设育经费 总投入平均每年增长的百分率为 ，则下面所列方程中正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】解：设育经费总投入平均每年增长的百分率为 ，则 ， 故选： （北京）股份有限公司 【变式训练3】华为某型号手机经过2 次降价后的价格是2 次降价前价格的 ，则每次降价的平均百分比是 （ ） ．10% B．20% ．15% D．25% 【答】B 【详解】设平均降低率为x，起始价格为m 元，根据题意，得 ， 解得x=02 或x=18(舍去)， 故选B． 类型二、利润问题 例1 某商场销售一种小商品，每件进货价为190 元，调查发现，当销售价为210 元时，平均每天能销售8 件；当销 售价每降低2 元时，平均每天就能多销售4 件． (1)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280 元，求每件小商品的销售价应定为多少元？ (2)设每件小商品降价 元，每天的销售总利润为 元，求 与 之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时， 每天的总利润最大？最大利润是多少？ 【答】(1)每件小商品的销售价应定为204 元或200 元销售 (2)每件小商品降价8 元时，每天的总利润最大，最大利润是288 元 【解析】(1)解：设每件小商品的销售价应降价x 元销售， 由题意得： ，∴ ， 解得 或 ， ∴每件小商品的销售价应降价10 元或6 元销售， ∴每件小商品的销售价应定为204 元或200 元销售； (2)解：由题意得 ， ∴当 时，最大，最大为288 元， ∴每件小商品降价8 元时，每天的总利润最大，最大利润是288 元． 【变式训练1】冰墩墩是2022 年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未 来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50 元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的 售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/件） 60 62 68 销售量y（万件） 40 36 24 (1)直接写出y 与x 之间的函数表达式为 ； (2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352 万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？ (3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20 万件，最大利润为400 万 元，求的值． 【答】(1) ；(2)每件冰墩墩定价为58 元；(3) （北京）股份有限公司 【解析】(1)由表可知单价为60 元时，可买40 万件，每上涨2 元，销量就降4 万件，据此有 ，整 理即可得： ； (2) ，解得 ， ∵尽量给客户优惠，∴每件冰墩墩定价为58 元； (3)设销售总利润为，由题意，得 ， 又∵ ，则 ∵二次项系数 ，抛物线开口向下， ①若 ，则当 时， ，不符合题意，舍去 ②若 ，即 当 时， 随 的增大而增大，∴ 时， 最大， 此时 解得 ， （舍），∴ ． 【变式训练2】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30 元/千克，每天可卖100 千克，现准备对价格 进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1 元销售量要少卖10 千克，设涨价后的销专单价为x（元/千克），且 物价局规定每千克的利润不低于12 元且不高于18 元． (1)该商品的购进价格是每千克多少元？ (2)若商店某天的利润为750 元，求售价为多少元？ (3)求该商店每天销售这种商品的最大利润． 【答】(1)该商品的进价为20 元； (2)商店某天的利润为750 元，求售价为25 元； (3)x＝32 时，有最大值960 元． 【解析】(1)设进价为元， ∵利润率为50%，∴（1+50%）＝30，解得：＝20， 所以该商品的进价为20 元； (2)∵物价局规定每千克的利润不低于12 元且不高于18 元． 12≤ ∴ x 20≤18 ﹣ ，∴x 的取值为32≤x≤38 根据题意得：[100 10 ﹣ （x-30）]（x 20 ﹣ ）＝750 ∴（400 10 ﹣ x）（x 20 ﹣ ）＝750， 解得：x1＝35，x2＝25（不合题意，舍去），∴x＝35， ∴商店某天的利润为750 元，求售价为35 元； (3)设每天的利润为，则＝（400 10 ﹣ x）（x 20 ﹣ ）＝﹣10x2+600x 8000 ﹣ ＝﹣10（x 30 ﹣ ）2+1000， 12≤ ∵ x 20≤18 ﹣ ，∴32≤x≤38， （北京）股份有限公司 -10 ∵ ＜0，抛物线开口向下，故x＞30 时，y 随x 增大而减小，∴x＝32 时，有最大值960 元． 【变式训练3】冰墩墩是2022 年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩的玩 偶，每件成本为60 元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70 元时，每个月可销售300 件，若每件的销售价增 加1 元，则每个月的销售量将减少10 件． (1)若该超市某月销售这种造型玩偶200 件，求这个月每件玩偶的销售价． (2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000 元，求这个月每件玩偶的销售价． 【答】(1)这个月每件玩偶的销售价80 元；(2)这个月每件玩偶的销售价80 元 【解析】(1)解：设这个月每件玩偶的销售价为x 元， 根据题意300-(x-70)×10=200，解得x=80 元， 答：这个月每件玩偶的销售价80 元； (2)解：设这个月每件玩偶的销售价y 元， 根据题意，得：（y-60）[300-10（y-70）]=4000， 整理得：y=80， 答：这个月每件玩偶的销售价80 元． 类型三、工程问题 例1．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000 米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程 队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30 米，大型设备每小时铺设 路面60 米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工程完工 时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000 米多了9000 米， 于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m 小时，同时，因为新 增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m 米，使用时间增加了 小时，求m 的 值． 【答】(1)300；(2)5 【解析】(1)解：设小型设备的使用时间为x 小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题意得： ，解得： ， 答：小型设备的使用时间为300 小时； (2)解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备的使用时 间为 小时， ∴ ， 整理得： ， （北京）股份有限公司 解得： （舍去）． 即m 的值为5． 【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决定由甲、 乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工，甲组原计划加工 10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的工作效 率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成任务．已知甲、 乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子；(2)400 【解析】(1)解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子 由题意得： 解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子． (2)解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子 由题意得： 整理得： 解得： ， ， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ 200+100×2=400 ∴ （袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400 袋粽子． 【变式训练2】某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146 千米，其中平地施工106 千米，隧道施 工至少是桥梁施工的9 倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3 月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施 工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254 亿元，预计二季度平地施工里程会减少7 千 米，隧道施工里程会减少2 千米，桥梁施工里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持 平，桥梁施工每千米的成本将会增加 亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 【答】(1)4；(2)2． 【解析】(1)解：设桥梁施工最多是m