《数学压轴题十一大攻略》九上-学生(人教版)

九年级数学上册压轴题十一大攻略 目录 专题01 韦达定理的四种考法.............................................................................................................................................................2 专题02 一元二次方程的四种实际应用.............................................................................................................................................5 专题03 二次函数图像与系数之间关系...........................................................................................................................................10 专题04 二次函数的三种实际应用问题...........................................................................................................................................15 专题05 二次函数中的线段长度问题...............................................................................................................................................22 专题06 二次函数中的面积问题.......................................................................................................................................................28 专题07 二次函数中的几何存在性问题...........................................................................................................................................31 专题08 二次函数中的定值与定点问题...........................................................................................................................................36 专题09 几何旋转综合问题............................................................................................................................................................... 41 专题10 与圆有关的最值问题........................................................................................................................................................... 46 专题11 圆的综合问题.......................................................................................................................................................................50 专题01 韦达定理的四种考法 【基础知识点】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2¿ c a． 类型一、直接运用韦达定理求代数式的值 例1 已知 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是（ ） ．0 B．1 ．2 D．-3 【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则x1 2 2017 ﹣ x1 2018 ﹣ x2的值为（ ） ．2020 B．2019 ．2018 D．2017 【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0 的两个实数根分别为 ，且 ，则k 的值 是（ ） ．－2 B．2 ．－1 D．1 【变式训练3】设α、β 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的两个实数根，则α2+2α+β 的值为_____． 类型二、降幂思想求值 例1 已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ） ． B． ． D． 【变式训练1】若 ，则 的值为_________________． 【变式训练2】若2+ 1=0 ﹣ ，则代数式4+3 的值为_____． 【变式训练3】若 ，那么代数式 的值是_________ 类型三、构造方程思想求值 例1 已知m≠1，且5m2+2010m+9=0，92+2010+5=0，则 的值为（ ） ．﹣402 B． ． D． 【变式训练1】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______． 【变式训练2】若m2+m＝－1，2－3m＝10，则代数式m2+7m－22的值为_______． 【变式训练3】若实数 、 满足 ， ，则代数式 的值为______． 【变式训练4】设实数s、t 分别满足 ，并且st≠1，求 ____ 类型四、根的取值范围问题 例1．方程 的两根分别为 ， ，且 ，则 的取值范围是____． 【变式训练1】已知x1，x2是关于x 的方程x2﹣（+1）x+1＝0 的两个实数根． （1）若x1≠x2，求实数的取值范围； （2）是否存在实数使得x1 2＝x2 2成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根． （1）若 ，求的值； （2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三角形的周长． 【变式训练3】关于x 的方程 有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【变式训练4】设关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ． （1）求 的值； （2）求证： ，且 ； （3）若 ，试求 的最大值． 专题02 一元二次方程的四种实际应用 【基础知识点】 应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用 ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝(1±x)，表示基数，x 表示平均增长率（降低率），表示变化的次数，b 表示变化次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程；b 将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之 间的关系列方程 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义 类型一、增长率问题 例1 某蔬菜种植基地2020 年蔬菜产量为40 吨，预计2022 年蔬菜产量比2021 年增加20 吨．若蔬菜产量的年平均 增长率为x，则下面所列的方程正确的是（ ）． ． B． ． D． 【变式训练1】疫情形势下，我国坚持“动态清零”的防控措施，使很多地区疫情蔓延形势得以有效控制，并逐步 恢复生产．某商店今年1 月份的销售额仅2 万元，3 月份的销售额已达到45 万元，从1 月份到3 月份，该店销售额 平均每月的增长率是（ ） ．50% B．625% ．20% D．25% 【变式训练2】河南省地方育经费总投入逐年增加，2017 年为215467 亿元，2019 年为266852 亿元．若设育经费 总投入平均每年增长的百分率为 ，则下面所列方程中正确的是（ ） ． B． ． D． 【变式训练3】华为某型号手机经过2 次降价后的价格是2 次降价前价格的 ，则每次降价的平均百分比是 （ ） ．10% B．20% ．15% D．25% 类型二、利润问题 例1 某商场销售一种小商品，每件进货价为190 元，调查发现，当销售价为210 元时，平均每天能销售8 件；当销 售价每降低2 元时，平均每天就能多销售4 件． (1)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280 元，求每件小商品的销售价应定为多少元？ (2)设每件小商品降价 元，每天的销售总利润为 元，求 与 之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时， 每天的总利润最大？最大利润是多少？ 【变式训练1】冰墩墩是2022 年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未 来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50 元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的 售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/件） 60 62 68 销售量y（万件） 40 36 24 (1)直接写出y 与x 之间的函数表达式为 ； (2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352 万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？ (3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20 万件，最大利润为400 万 元，求的值． 【变式训练2】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30 元/千克，每天可卖100 千克，现准备对价格 进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1 元销售量要少卖10 千克，设涨价后的销专单价为x（元/千克），且 物价局规定每千克的利润不低于12 元且不高于18 元． (1)该商品的购进价格是每千克多少元？ (2)若商店某天的利润为750 元，求售价为多少元？ (3)求该商店每天销售这种商品的最大利润． 【变式训练3】冰墩墩是2022 年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩的玩 偶，每件成本为60 元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70 元时，每个月可销售300 件，若每件的销售价增 加1 元，则每个月的销售量将减少10 件． (1)若该超市某月销售这种造型玩偶200 件，求这个月每件玩偶的销售价． (2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000 元，求这个月每件玩偶的销售价． 类型三、工程问题 例1．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000 米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程 队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30 米，大型设备每小时铺设 路面60 米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工程完工 时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000 米多了9000 米， 于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m 小时，同时，因为新 增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m 米，使用时间增加了 小时，求m 的 值． 【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决定由甲、 乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工，甲组原计划加工 10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的工作效 率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成任务．已知甲、 乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【变式训练2】某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146 千米，其中平地施工106 千米，隧道施 工至少是桥梁施工的9 倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3 月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施 工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254 亿元，预计二季度平地施工里程会减少7 千 米，隧道施工里程会减少2 千米，桥梁施工里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持 平，桥梁施工每千米的成本将会增加 亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 【变式训练3】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5 至7 月份 统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从5 月份到7 月份销售量的月增长率相同．请解决 下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900 个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900 个， 在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 类型四、面积问题 例1 如图，要建一个面积为140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16 米;在与墙平行的一边，要开一扇2 米宽的门已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32 米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少 米? 【变式训练1】如图，用长为40m 的细铁丝围成一个矩形 ． （1）若这个矩形的面积等于 ，求 的长度； （2）这个矩形的面积可能等于 吗？若能，求出 的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（ 与 之比等于黄金比 ），求该矩形的面积．（结果保留根号） 【变式训练2】如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x ，且小矩形的面积是 原来矩形面积的一半，则x 的值为_________． 【变式训练3】如图，在足够大的空地上有一段长为20 米的旧墙M，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜BD，已 知矩形菜的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏． （1）所围成的矩形菜的面积为450 平方米，求所用旧墙D 的长； （2）求矩形菜BD 面积的最大值． 专题03 二次函数图像与系数之间关系 类型一、判断图像位置关系 例1 如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、 两点，则函数 的图像 可能是（ ） ． B． ． D． 【变式训练1】二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是( )． ． B． ． D． 【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数 与y＝x＋b 的图象不可能是( ) ． B． ． D． 【变式训练4】如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 ， 两点，则函数 的图像可能是（ ） ． B． ． D． 类型二、根据图像判断，b，之间关系 例1．二次函数 的图象如图所示，下列选项错误的是（ ） ． B． 时，y 随x 的增大而增大 ． D．方程 的根是 ， 例2．如图，已知抛物线 （ ， ，为常数， ）经过点 ，且对称轴为直线 ，有下 列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ，取何值，抛物线一定经过 ；⑤ ；⑥一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确结论有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式训练1】如图，二次函数 图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论： ① ； ② ； ③关于x 的一元二次方程 的两根分别为-3 和1； ④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ； ⑤ （m 为任意实数）． 其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式训练2】二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①3－b＝0；② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式训练3】抛物线 （ ）如图所示，下列结论中：① ；② ；③当 时， ；④ ．正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式训练4】已知二次函数y=x2−4x−5+1(>0)下列结论正确的是（ ） ①已知点M(4，y1)，点(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2； ②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）； ③直线y=x−1 与抛物线y=x2−4x−5+1 一定存在两个交点； ④当−3≤x≤1 时，y 的最小值是，则= ．①④ B．②③ ．②④ D．①②③④ 【变式训练5】抛物线 的对称轴是直线 ．抛物线与x 轴的一个交点在点 和点 之 间，其部分图象如图所示，下列结论：① ；② ；③关于x 的方程 有两个不相等实数 根；④若 ， 是抛物线上的两点，则 ；⑤ ．正确的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式训练6】如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与x 轴的一个交点坐标为 ，其部分图 象如图所示，下列结论：① ，② ，③方程 的两个根是 ， ，④当 时，x 的取值范围是 ，其中正确的有（ ） ．①② B．①②③ ．①③④ D．①②④ 专题04 二次函数的三种实际应用问题 类型一、图形运动问题 例1．如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点 出发，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止． 设点 运动 （秒）时， 的面积为 ，则 关于 的函数的图象大致为（ ） ． B． ． D． 【变式训练1】如图，矩形 中， ，动点P 沿着 的路径匀速运动，过点P 作 ，垂足为Q，设点P 的运动路程为x，以B，，P，Q 为顶点的四边形的面积为y，则y 与x 的大致函数图 象为（ ） ． B． ． D． 【变式训练2】如果△B 和△DEF 都是边长为2 的等边三角形，他们的边B，EF 在同一条直线l