《数学压轴题九大攻略》七上-学生(人教版)

1 七年级数学上册压轴题九大攻略 目录 攻略01 绝对值的三种化简方法.........................................................................................................................................................1 攻略02 数轴上的三种动点问题.........................................................................................................................................................6 攻略03 代数式化简求值的四种考法...............................................................................................................................................12 攻略04 整式中加减无关型的三种考法...........................................................................................................................................15 攻略05 整式中的两种规律探索问题...............................................................................................................................................19 攻略06 一元一次方程特殊解的四种考法.......................................................................................................................................25 攻略07 一元一次方程实际应用的六种考法...................................................................................................................................30 攻略08 线段上动点问题的三种考法...............................................................................................................................................43 攻略09 几何中动角问题的两种考法...............................................................................................................................................53 攻略01 绝对值的三种化简方法 绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是利用数 轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本攻略就这两块难点详细做出分析。 【知识点梳理】 1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|| 2 绝对值的意义 ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距 离越近，绝对值越小。 3 绝对值的化 简： 类型一、利用数轴化简绝对值 例1．有理数、b、在数轴上位置如图，则 的值为（ ）． ． B． ．0 D． 例2．有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 的值是( ) ．-1 B．1 ．3 D．-3 【变式训练1】已知，数 、 、的大小关系如图所示：化简 ____． 【变式训练2】有理数、b、在数轴上的位置如图． 1 （1）判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ． （2）化简： 【变式训练3】有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示： （1）填空： ______0； ______0； ______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简： 【变式训练4】有理数、b、在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空_____0，b_____0，﹣b______0，b_____0． (2)化简：||+|b+| | | ﹣﹣． 类型二、利用几何意义化简绝对值 例1 同学们都知道，|5-（-2）|表示5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为5 与-2 两数在数轴上所对的两点之间的 距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________； （2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008 和1005 所对的两点距离相等，则x=________； （3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x 所对点到-5 和2 所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数 x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式训练1】阅读下面的材料： 点、B 在数轴上分别表示实数、b，、B 两点之间的距离表示为∣B∣，当、B 两点中有一点在原点时，不妨设点在原 点，如图1，∣B∣＝∣B = ∣∣b = - ∣∣b∣；当、B 两点都不在原点时： 1 ①如图2，点、B 都在原点的右边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - = ∣∣∣b-= - ∣b∣； ②如图3，点、B 都在原点的左边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - =- ∣∣∣ b-（-）= - ∣b∣； ③如图4，点、B 在原点的两边： ∣B = + ∣∣∣∣B = + ∣∣∣∣b =+ ∣ （-b）= - ∣b∣， 综上，数轴上、B 两点之间的距离∣B = - ∣∣b∣． 回答下列问题： (1)数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是________，数轴上表 示1 和-3 的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x 和-1 的两点和B 之间的距离是________，如果∣B =2 ∣ ， 那么x 为__________． (3)当代数式∣x+1 + ∣∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________． 【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3 和2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上 表示数m 和数的两点之间的距离可以表示为|m | ﹣．那么，数轴上表示数x 与5 两点之间的距离可以表示为 ， 表示数y 与﹣1 两点之间的距离可以表示为 ． （2）如果表示数和﹣2 的两点之间的距离是3，那么＝ ；若数轴上表示数的点位于﹣4 与2 之间，求|+4|+|﹣ 2|的值； （3）当＝ 时，|+5|+| 1|+| 4| ﹣ ﹣的值最小，最小值是 ． 【变式训练3】（问题提出） 的最小值是多少？ （阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的点到原 点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1 的距离； 就可以看作 这个数在数轴上 对应的点到1 和2 两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 的最小值． 我们先看 表示的点可能的3 种情况，如图所示： 1 （1）如图①， 在1 的左边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1． （2）如图②， 在1，2 之间（包括在1，2 上），看出 到1 和2 的距离之和等于1． （3）如图③， 在2 的右边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当 在1，2 之间（包括在1，2 上）时， 有最小值1． （问题解决） （1） 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是 ． （2）请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ． （3） 的最小值为 ． （4） 的最小值为 ． （拓展应用）如图，已知 使到-1，2 的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ． 类型三、分类讨论法化简绝对值 例1 化简： 【变式训练1】若 ，则 的值为_________． 【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若，b 均不为零，求 的值． 请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母，b 中有2 个正，0 个负时，x= ；②当两个字母，b 中有1 个正，1 个负时，x= ；③当两个 字母，b 中有0 个正，2 个负时，x= ；综上，当，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若，b，均不为零，求 的值． 1 ②若，b，均不为零，且+b+=0，直接写出代数式 的值． 攻略02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那 么，本攻略对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。 【知识点梳理】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为－b 类型一、求值（速度、时间、距离） 例1．如图在数轴上点表示数，B 点表示数b，，b 满足 ＋ ＝0； (1)点表示的数为 ；点B 表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点B 与点之间的距离表示为B，请在数轴上找一点，使＝2B，则点表示的数 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1 个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2 个单位 ／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动 的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t 表示）． 例2．如图，数轴上两个动点，B 起始位置所表示的数分别为 ，4，，B 两点各自以一定的速度在数轴上运动， 已知点的运动速度为2 个单位/秒． (1)若，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度． (2)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8 个单位长度？ (3)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点出发作同方向的运动， 如果在运动过程中，始终有 ，求点的运动速度． 【变式训练1】如图，将一条数轴在原点和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-10，点B 表示 10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28 个长度单位．动点P、Q 同时出发，点P 从点出发，以2 单位/秒的 1 速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从 点出发，以1 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复 原速．设运动的时间为t 秒．问： (1)动点P 从点运动至点需要多少时间？ (2)求P、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数． 【变式训练2】如图，已知 、 、 是数轴上三点，点 表示的数为4， ， ． (1)点 表示的数是______，点 表示的数是______． (2)动点 、 分别从 、 同时出发，点 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 以每秒1 个单位 长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点 的运动时间为（ ）秒． ①用含的代数式表示：点 表示的数为______，点 表示是数为______； ②当 时，点 、 之间的距离为______； ③当点 在 上运动时，用含的代数式表示点 、 之间的距离； ④当点 、 到点 的距离相等时，直接写出的值． 【变式训练3】如图，点、B 为数轴上的点（点在数轴的正半轴）， ，为B 的中点，且点表示的数为2． (1)点表示的数为______，点B 表示的数为______； (2)点M 为数轴上一动点，点是M 的中点，若 ，求点M 表示的数，并画出点M 的位置； (3)点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速 度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，设运动时间为 秒．在运动过程中，点P、Q 之间的距离为3 时，求运动时间t 的值． 1 类型二、定值问题 例1．已知：是单项式-xy2的系数，b 是最小的正整数，是多项式2m2－m32－m－2 的次数．请回答下列问题： (1)请直接写出、b、的值．＝ ，b＝ ，＝ ． (2)数轴上，、b、三个数所对应的点分别为、B、，点、B、同时开始在数轴上运动，若点以每秒1 个单位长度的速 度向左运动，同时，点B 和点分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点之间的距离表示为B，点与点B 之间的距离表示为B，点与点之间的距离表示为． ①t 秒钟过后，的长度为 （用含t 的关系式表示）； ②请问：B-B 的值是否会随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【变式训练1】如图，已知数轴上点表示的数为12，B 是数轴上一点．且 ．动点P 从点出发，以每秒5 个 单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒． (1)写出数轴上点B 表示的数___，点P 表示的数___（用含t 的代数式表示）； (2)动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，问点P 运动多少 秒时追上点Q； (3)若M 为P 的中点，为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段M 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由； 若不变，请你画出图形，并求出线段M 的长． 【变式训练2】如图，已知数轴上点表示的数为9，B 是数轴负方向上一点，且 ．动点P 从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为 秒． (1)数轴上点B 表示的数为_____，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式表示） (2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，问t 为何值时，点 P 追上点Q？此时P 点表示的数是多少？ (3)若点M 是线段 的中点，点是线段 的中点．点P 在运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？若变 化，请说明理由；若不变化，请求出 的长度； 1 【变式训练3】点、B 在数轴上对应的数分别为、b，且、b 满足 ． (1)如图1，求线段B 的长； (2)若点在数轴上对应的数为x，且x 是方程 的根，在数轴上是否存在点P 使 ，若存 在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图2，点P 在B 点右侧，P 的中点为M，为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结 论：① 的值不变；② 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该 值． 类型三、点之间的位置关系问题 例1．如图，已知在数轴上有，B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且 ．若有一动点P 从数轴上点 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数 轴向右匀速运动．设点P 的运动时间为t 秒． (1)解决问题： ①当 时，写出数轴上点B，P 所表示的数； ②若点P，Q 分别从，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？ (2)探索问题：若M 为Q 的中点，为BP 的中点．当点P 在，B 两点之间运动时，探索线段M 与线段PQ 的数量关 系（写出过程）． 例2 如图，在数轴上点表示的数为，B 点表示的数为b，点表示的数为，b 是最大的负整数，且，满足|+3|+（﹣9） 2＝0．点P 从点B 出发以每秒3 个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停 止． (1)＝ ，b＝ ； (2)点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，P+PB+P＝13，求x 的值． (3)点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4 个单位长度 和每秒5 个单位长度，假设t 秒钟时，P、M、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条 件的t 的值． 1 【变式训练1】如图，已知、B、是数轴上三点，点为原点，点表示的数为6，B＝4， B＝12． (1)写出数轴上点、B 表示的数； (2)动点P、Q 分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P 的速度是每秒6 个单位长度，点Q 的速度是每秒3 个 单位长度，点M 为P 的中点，点在线段Q 上，且＝ Q，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求数轴上点M、表示的数（用含t 的式子表示）； ②当M、B、三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t 的值． 【变式训练2】已知，如图1：数轴上有、B、三点，点表示的数为－5， 点B 表示的数为13， 点表示的数为－2， 将一条长为9 个单位长度的线段M 放在该数轴上（点M 在点的左边）． (1)求线段B 中点表示的数； (2)如图2：若从点M 与点重合开始，将线段M 以03 个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x 秒后，点恰为 线段B 的中点，求x 的值； (3)如图3：在（2）的基础上，若线段M 向右移动的同时，动点P 从点开始以06 个单位长度/秒的速度也沿数轴向 右移动，设移动的时间为t 秒，当P、、B 三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t 的值． 【变式训练3】已知、B、