《数学压轴题九大攻略》八上-学生(人教版)

（北京）股份有限公司 八年级数学上册压轴题九大攻略 目录 攻略01 三角形边或角关系的三种模型.............................................................................................................................................2 攻略02 全等三角形中的六种模型梳理.............................................................................................................................................6 攻略03 与角平分线有关的辅助线的三种考法...............................................................................................................................17 攻略04 轴对称问题的三种考法.......................................................................................................................................................25 攻略05 整式乘除法的三种考法全攻略...........................................................................................................................................30 攻略06 乘法公式压轴题的四种考法...............................................................................................................................................36 攻略07 因式分解的六种方法大全...................................................................................................................................................44 攻略08 分式方程解的三种考法.......................................................................................................................................................50 攻略09 分式方程实际应用的三种考法...........................................................................................................................................53 攻略01 三角形边或角关系的三种模型 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三 角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。 类型一、燕尾角模型 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ， ，那么 的度数是（ ）． ． B． ． D． 【变式训练1】如图，若 ，则 ____________． 【变式训练2】如右图，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+∠＝__． （北京）股份有限公司 【变式训练3】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠＝__． 【变式训练4】模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2， ，则 __________ ； ②如图3， __________ ； （2）拓展应用： ①如图4， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ， ， 则 __________ ； ②如图5， 、 分别为 、 的10 等分线 ．它们的交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ； ③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则 __________ ； ④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之同的数量关系为__________． （北京）股份有限公司 类型二、折叠模型 例1 如图，在 中， ，将 沿直线折叠，点落在点D 的位置，则 的度数是（ ）． ． B． ． D．无法确定 【变式训练1】如图，将△B 纸片沿DE 折叠，使点落在点'处，且'B 平分∠B，'平分∠B，若∠B'＝120°，则∠1+ 2 ∠的 度数为（ ） ．90° B．100° ．110° D．120° 【变式训练2】如图，把△B 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠＝55°，∠1＝95°，则∠2 的度数为（ ）． ． B． ． D． 【变式训练3】如图,将△B 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+ 2=80°, ∠ 则∠B 的度数为（ ） ．20° B．30° ．40° D．50° 【变式训练4】如图，将矩形纸片 沿 折叠，点 落在边 上的点 处，点 落在点 处，若 ，则 的度数为（ ）． （北京）股份有限公司 ．42° B．69° ．44° D．32° 类型三、“8”字模型 例1 如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G， ． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 【变式训练1】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“ 字形”，试说明： ． （2）如图②， ， 分别平分 ， ，若 ， ，求 的度数． （北京）股份有限公司 （3）如图（3），直线 平分 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量关系是__； （4）如图（4），直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量 关系是________． （北京）股份有限公司 攻略02 全等三角形中的六种模型梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证 明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。 例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△B 的边B 到D，使D＝B，过D 作DE∥B 交延长线于点E，求证：△B≌△ED． 【理解与应用】 如图2，已知在△B 中，点E 在边B 上且∠E＝∠B，点E 是D 的中点，若D 平分∠BE． （1）求证：＝BD； （2）若BD＝3，D＝5，E＝x，求x 的取值范围． 【变式训练1】如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ， ． （1）求证 ； （2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，求 的值． （北京）股份有限公司 【变式训练2】（1）如图1，已知 中，D 是中线，求证： ； （2）如图2，在 中，D，E 是B 的三等分点，求证： ； （3）如图3，在 中，D，E 在边B 上，且 ．求证： ． 【变式训练3】在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线 于点 ． 直线 于点 ， 连接 ， ． （1）如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ． （2）若直线 绕点 旋转到图2 的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 ， ， ，求 的长度． （3）若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系． （北京）股份有限公司 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2 次全等） 例．在等边三角形B 的两边B、所在直线上分别有两点M、，P 为△B 外一点，且∠MP＝60°，∠BP＝120°，BP＝ P．探究：当点M、分别在直线B、上移动时，BM，，M 之间的数量关系． (1)如图①，当点M、在边B、上，且PM＝P 时，试说明M＝BM+． (2)如图②，当点M、在边B、上，且PM≠P 时，M＝BM+还成立吗？ 答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． (3)如图③，当点M、分别在边B、的延长线上时，请直接写出BM，，M 之间的数量关系． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点E、F 分别在直线 、 上，且 ． (1)当点E、F 分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由． (2)当点E、F 分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若 不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由． （北京）股份有限公司 【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求 证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量 关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D 作 ，垂足为点E，请 直接写出线段 、 、 之间的数量关系． 【变式训练3】在 中，BE，D 为 的角平分线，BE，D 交于点F． （1）求证： ； （2）已知 ． ①如图1，若 ， ，求E 的长； ②如图2，若 ，求 的大小． 类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接 交 于 点 ． 求让： （北京）股份有限公司 【变式训练1】 P 为等边△B 的边B 上一点，Q 为B 延长线上一点，且P＝Q，连PQ 交边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P 作PE⊥于E，若B＝6，求DE 的长． 【变式训练2】已知在等腰△B 中，B=，在射线上截取线段E，在射线B 上截取线段BD，连接DE，DE 所在直线交 直线B 与点M．请探究： (1)如图（1），当点E 在线段上，点D 在B 延长线上时，若BD=E，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证 明你的结论． (2)如图（2），当点E 在的延长线上，点D 在B 的延长线上时，若BD=E，则（1）中的结论还成立吗？如果成立， 请证明；如果不成立，说明理由； 类型四、旋转模型 例．如图1， ， ， ， 、 相交于点 ，连接 ． （1）求证： ，并用含 的式子表示 的度数； （2）当 时，取 ， 的中点分别为点 、 ，连接 ， ， ，如图2，判断 的形状，并加 以证明． （北京）股份有限公司 【变式训练1】四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个 角顶点放在 处，将 角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ，交直线 于 、 两点． （1）当 、 都在线段 上时（如图1），请证明： ； （2）当点 在边 的延长线上时（如图2），请你写出线段 ， 和 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ． 【变式训练2】（1）问题发现： 如图1，△B 和△DE 均为等边三角形，当△DE 旋转至点，D，E 在同一直线上，连接BE．则： ①∠EB 的度数为 °； ②线段D、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究： 如图2，△B 和△DE 均为等腰三角形，且∠B＝∠DE＝90°，点 、D、E 在同一直线上，若D＝，E＝b，B＝，求、 b、之间的数量关系． （3）探究发现： 图1 中的△B 和△DE，在△DE 旋转过程中，当点，D，E 不在同一直线上时，设直线D 与BE 相交于点，试在备用图 中探索∠E 的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【变式训练3】如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点． （北京）股份有限公司 （1）观察猜想：图1 中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说 明理由； （3）拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值． 类型五、手拉手模型 例．在等边 中，点D 在B 上，点E 在B 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF，连接F． (1)如图（1），点D 是B 的中点，点E 与点重合，连接F．若 ，求F 的长； (2)如图（2），点G 在上且 ，求证： ； (3)如图（3）， ， ，连接F．过点F 作F 的垂线交于点P，连接BP、DP．将 沿着BP 翻折 得到 ，连接Q．当 的周长最小时，直接写出 的面积． 【变式训练1】△B 和△DE 是共顶点的两个大小不一样的等边三角形． (1)问题发现： 如图1，若点，D，E 在同一直线上，连接E，BE． ①求证：△D≌△BE；②求∠EB 的度数． (2)类比探究：如图2，点B、D、E 在同一直线上，连接E，D，BE，M 为△DE 中DE 边上的高，请求∠DB 的度数 （北京）股份有限公司 及线段DB，D，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设D（或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α 为多少度，并证明． 【变式训练2】（1）如图1，锐角△B 中，分别以B、为边向外作等腰直角△BE 和等腰直角△D，使E＝B，D＝， ∠BE＝∠D＝90°，连接BD，E，试猜想BD 与E 的大小关系，不需要证明． 【深入探究】（2）如图2，四边形BD 中，B＝5，B＝2，∠B＝∠D＝∠D＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的 启发构造了如图所示的一个和△BD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计 算； 【变式思考】（3）如图3，四边形BD 中，B＝B，∠B＝60°，∠D＝30°，D＝6，BD＝10，则D＝ ． 【变式训练3】（1）问题发现： 如图1， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 在同一条直 线上，则 的度数为__________，线段 、 之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 不在一条直 线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： （北京）股份有限公司 如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为__________．（请用含 的式子表示） 类型六、一线三角模型 例在 中， ， ，直线M 经过点且 于D， 于E． (1)当直线M 绕点旋转到图1 的位置时，求证： ① ≌ ； ② ； (2)当直线M 烧点旋转到图2 的位置时，求证： ； (3)当直线M 绕点旋转到图3 的位置时，试问DE、D、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证 明． 【变式训练1】【问题解决】 （1）已知△B 中，B=，D，，E 三点都在直线l 上，且有∠BD=∠E=∠B．如图①，当∠B=90°时，线段DE，BD，E 的数量关系为：______________； 【类比探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠B<180°时，线段DE，BD，E 的数量关系是否变化，若不变，请证明： 若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （3）如图③，=B，∠B=90°，点的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点的坐标． （北京）股份有限公司 【变式训练2】（1）如图1，在△B 中，∠B＝90°，B＝，直线m 经过点，BD⊥直线m，E⊥直线m，垂足分别为点 D、E．求证：△BD≌△E； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△B 中，B＝，D、、E 三点都在直线m 上，并且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，其 中α 为任意锐角或钝角．请问结论△BD≌△E 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图3，D，E 是D，，E 三点所在直线m 上的两动点（D，，E 三点互不重合），点F 为∠B 平分 线上的一点，且△BF 和△F 均为等边三角形，连接BD，E，若∠BD＝∠E＝∠B，求证：△DEF 是等边三角形． 【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△B 中，∠B=90°，B=，直线m 经过点，BD⊥直线m，E⊥直线 m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，E 之间的数量关系是 ． 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△B 中，B=，D、、E 三点都在直线m 上，并且有 ∠BD=∠E=∠B=α，其中α 为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立， 请说明理由． 应用：（3）如图（3），D、E 是D、、E 三点所在直线m 上的两动点（D、、E 三点互不重合），点F 为∠B 平分 线上的一点，且△BF 和△F 均为等边三角形，连接BD、E，若∠BD=∠E=∠B，请直接写出△DEF 的形状是 ． （北京）股份有限公司 攻略03 与角平分线有关的辅助线的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．如图，已知 ，P 是 的平分线 上的任意一点， 交 于点D， 于点E， 如果 ，求 的长． 【变式训练1】如图， 中， ，点 分别在边 ， 上， ， ． 求证： 平分 ． 【变式训练2】图，已知E⊥B，F⊥．E＝B，F＝，BF 与E 相交于点M． (1)E＝BF； (2)E⊥BF； (3)连接M，求证：M 平分∠EMF． 【变式训练3】已知点是∠M 平分线上一点，∠BD 的两边B、D 分别与射线M、相交于B，D 两点，且∠B+∠D＝ 180°．过点作E⊥B，垂足为E． （1）如图1，当点E 在线段B 上时，求证：B＝D； （2）如图2，当点E 在线段B 的延长线上时，探究线段B、D 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠M＝60°，