附4 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略

全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略 考点一 全等三角形的概念 考点二 利用全等图形求正方形格中角度之和 考点三 全等三角形的性质 考点四 用SSS 证明三角形全等 考点五 用SS 证明三角形全等 考点六 用S 证明三角形全等 考点七 用S 证明三角形全等 考点八 用L 证明三角形全等 考点一 全等三角形的概念 例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同； ②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分 别相等．其中正确的说法有( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【解析】 【分析】 先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答 【详解】 ①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确； ②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确； ③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确； ④全等三角形的周长、面积分别相等，正确； 故四个命题都正确， 故D 为答 【点睛】 本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角 相等、面积周长均相等 【变式训练】 1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△B 和△′B′′中，已知B＝′B′，∠＝∠′，＝′′，那 么△B≌△′B′′． 说理过程如下： 典型例题 把△B 放到△′B′′上，使点与点′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B 与点B′重合． 又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ， 所以点 与 重合．这样△B 和△′B′′重合，即△B≌△′B′′． 【答】B，'B'，∠，∠′，，''，＝''，，' 【解析】 【分析】 直接利用已知结合全等的定义得出答． 【详解】 解：把△B 放到△′B′′上，使点与点′重合，由于B＝'B'，所以可以使点B 与点B′重合．又因 为∠＝∠′，所以射线能落在射线''上，这时因为＝''，所以点 与'重合．这样△B 和△′B′′重合， 即△B≌△′B′′． 故答为：B，'B'，∠，∠′，，''，＝''，，'． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空． 考点二 利用全等图形求正方形格中角度之和 例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6 个边长相等的正方形的组合图形，则 ∠1+∠3-∠2=（ ） ．30° B．45° ．60° D．135° 【答】B 【解析】 【分析】 首先利用SS 定理判定△B≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠B，再由 ∠B+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△B 和△DBE 中 ， ∴△B≌△DBE（SS）， ∴∠3=∠B， ∵∠B+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】 此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 【变式训练】 1．（2022·山东·济南市槐荫区育学研究中心二模）如图，在 的正方形格中，求 ______度． 【答】45 【解析】 【分析】 连接 ，根据正方形格的特征即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接 ∵图中是 的正方形格 ∴ ， ， ∴ ∴ ， ∵ ∴ ，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答为：45． 【点睛】 本题考查了正方形格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三 角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形格的特征． 2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4 个相同的小正方形 组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【答】135 【解析】 【分析】 首先利用全等三角形的判定和性质求出 的值，即可得出答； 【详解】 如图所示， 在△B 和△DE 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故答是： ． 【点睛】 本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 考点三 全等三角形的性质 例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图， 和 全等，且 ， 对应 ．若 ， ， ，则 的长为（ ） ．4 B．5 ．6 D．无法确定 【答】 【解析】 【分析】 全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可． 【详解】 ∵ 和 全等， ， 对应 ∴ ∴B=DF=4 故选：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的， 指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进 一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等， 周长及面积相等③全等三角形有传递性． 【变式训练】 1．（2022·云南昆明·三模）如图， ，若 ，则 的度数 是（ ） ．80° B．70° ．65° D．60° 【答】B 【解析】 【分析】 由 根据全等三角形的性质可得 ，再利用三角形内角和进行 求解即可． 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，，E 在同一条直线上，BD⊥DE 于D， E⊥DE 于E，且△BD≌△E，D＝2m，BD＝4m，求 (1)DE 的长； (2)∠B 的度数． 【答】(1) ； (2) 【解析】 【分析】 （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DB+∠BD＝90°，根据全等三角形的性质得到 ∠DB＝∠E 等量代换即可得到结论． (1) 解：∵△BD≌△E，D＝2m，BD＝4m， ∴E＝BD＝4m， ∴DE＝D+E＝6m． (2) ∵BD⊥DE， ∴∠D＝90°， ∴∠DB+∠BD＝90°， ∵△BD≌△E， ∴∠DB＝∠E ∴∠BD+∠E＝90°， ∴∠B＝90°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关 键． 考点四 用SSS 证明三角形全等 例题：（2022·河北·平泉市育局研室二模）如图， ，点E 在B 上，且 ， ． (1)求证： ； (2)判断和BD 的位置关系，并说明理由． 【答】(1)见解析 (2) ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）运用SSS 证明即可； （2）由（1）得 ，根据内错角相等，两直线平行可得结论． (1) 在 和 中， ， ∴ (SSS)； (2) 和BD 的位置关系是 ，理由如下： ∵ ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的 关键． 【变式训练】 1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段B 上有两点E，F，在线段B 的异侧 有两点，D，且满足 ， ， ，连接F； (1) 与 相等吗？请说明理由． (2)若 ， ，F 平分 时，求 的度数． 【答】(1) ，理由见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由“SSS”可证△EB≌△DF，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得∠EB＝∠DF＝20°，可求∠EB＝120°，由角平分线的性质可 求解． (1) 解： ， 理由如下： ∵ ∴ 在 和 中 ∴ ∴ (2) 解：∵ ∴ ∴ ∵ 平分 ∴ 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形BD 中， 于点B， 于 点D，点E，F 分别在B，D 上， ， ． (1)若 ， ，求四边形EF 的面积； (2)猜想∠DB，∠EF，∠DF 三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答】(1)48 (2)∠DB＋∠EF＝2∠DF，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）连接，证明△E ≌△F，则S△E＝S△F，根据三角形面积公式求得S△F 与S△E，根据S 四边 形EF＝S△F＋S△E 求解即可； （2）由△E ≌△F 可得∠F＝∠E，∠F＝∠E，∠F＝∠E，根据垂直关系，以及三角形的外角性 质可得∠DF＋∠BE＝∠F＋∠F＋∠E＋∠E＝∠DB＋∠EF．可得∠DB＋∠EF＝2∠DF (1) 解：连接，如图， 在△E 和△F 中 ∴△E ≌△F（SSS）． ∴S△E＝S△F，∠F＝∠E． ∵B⊥B，D⊥D， ∴D＝B＝6． ∴S△F＝S△E＝ E·B＝ ×8×6＝24． ∴S 四边形EF＝S△F＋S△E＝24＋24＝48． (2) ∠DB＋∠EF＝2∠DF 证明：∵△E ≌△F， ∴∠F＝∠E，∠F＝∠E，∠F＝∠E． ∵∠DF 与∠F 互补，∠BE 与∠E 互补， ∴∠DF＝∠BE． ∵∠DF＝∠F＋∠F，∠BE＝∠E＋∠E， ∴∠DF＋∠BE＝∠F＋∠F＋∠E＋∠E ＝∠DB＋∠EF． ∴∠DB＋∠EF＝2∠DF 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判 定是解题的关键． 考点五 用SS 证明三角形全等 例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点是线段B 的中点， 且 ．求证： ． 【答】见解析 【解析】 【分析】 根据线段中点的定义得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据全等三 角形的判定定理即可得到结论 【详解】 证明：∵点是线段B 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在△D 与△B 中， ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·云南普洱·二模）如图， 和 分别在线段 的两侧，点 ， 在线段 上， ， ， 求证： ． 【答】见解析 【解析】 【分析】 利用 ，得到 ，再用 ， ，得到 ≌ （SS），然 后用三角形全等的性质得到结论即可． 【详解】 证明： ， ， 在 和 中 ， ≌ （SS）， ． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键． 2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、、E、F 共线，B=D， ∠B=∠，BF=E． 求证：△BE≌△DF． 【答】证明见解析； 【解析】 【分析】 根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SS”）；即可证 明； 【详解】 证明：∵点B、、E、F 共线，BF=E， ∴BF+EF=E+EF， ∴BE=F， △BE 和△DF 中：B=D，∠BE=∠DF，BE=F， ∴△BE≌△DF（SS）； 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定；掌握（SS）的判定条件是解题关键． 考点六 用S 证明三角形全等 例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，B⊥BD，ED⊥BD，是BD 上的一点， ⊥E，B＝D，求证：B＝DE． 【答】见解析 【解析】 【分析】 根据直角三角形全等的判定方法，S 即可判定三角形全等． 【详解】 证明：∵B⊥BD，ED⊥BD，⊥E（已知） ∴∠E＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义） ∵∠B+∠DE+∠E＝180°（平角的意义） ∠E＝90°（已证） ∴∠B+∠DE＝90°（等式性质） ∵∠B+ + ∠∠B＝180°（三角形内角和等于180°） ∠B＝90°（已证） ∴∠B+∠＝90°（等式性质） ∴∠DE＝∠ （同角的余角相等） 在△B 和△DE 中， ， ∴△B≌△DE（S） ∴B＝DE（全等三角形对应边相等） 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·广西百色·二模）如图，在△B 和△DB 中，∠＝∠D，和DB 相交于点，＝D． (1)B＝D； (2)△B≌△DB． 【答】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）证明△B≌△D（S），即可得到结论； （2）由△B≌△D，得到B＝，又＝D，得到BD＝，又由∠＝∠D，即可证得结论． (1) 证明：在△B 与△D 中， ， ∴△B≌△D（S） ∴B＝D； (2) 证明：∵△B≌△D， ∴B＝， ∵＝D， ∴B＋D＝＋， ∴BD＝， 在△B 与△DB 中， ， ∴△B≌△DB（SS）． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题 的关键． 2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知 ， ， ． (1)求证： ． (2)若 ，求 的度数． 【答】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）利用平行线的性质得 ，利用“角边角”即可证明 ； （2）由邻补角的定义求出 ，进而得到 ，再利用两直 线平行同旁内角互补求出 ． 由两直线平行得 (1) 证明： ， ， 在 和 中， ， ． (2) 解： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性 质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等； 两直线平行，同旁内角互补． 考点七 用S 证明三角形全等 例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE 与D 相交于点，且B＝，∠D＝∠EB， 那么△BD 与△E 全等吗？为什么？ 【答】△BD≌△E（S）；原因见解析 【解析】 【分析】 根据S 证明△BD 与△E 全等即可． 【详解】 解：△BD 与△E 全等； ∵∠BD＝180°﹣∠D，∠E＝180°﹣∠EB， 又∵∠D＝∠EB， ∴∠BD＝∠E， ∵在△BD 与△E 中， ， ∴△BD≌△E（S）． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SS、S、S、 L．注意：、SS 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若 有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式训练】 1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知，F，E，在同一直线上， ∥ ， ∠BE=∠DF，F=E．求证：B=D． 【答】见详解 【解析】 【分析】 根据全等三角形证明△BE≌△DF，再根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】 证明：∵B∥D， ∴∠D=∠B， ∵F=E， ∴F+EF=E+EF， 即E=F， 在△BE 和△DF 中， ∴△BE≌△DF（S）． ∴B=D． 【点睛】 此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三 角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些． 2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D 是△B 的边B 上一点，F//B，DF 交于E 点，DE ＝EF． (1)求证：△DE≌△FE； (2)若B＝5，F＝4，求BD 的长． 【答】(1)证明见解析 (2)BD＝1 【解析】 【分析】 （1）利用角角边定理判定即可； （2）利用全等三角形对应边相等可得D 的长，用B﹣D 即可得出结论． (1) 证明：∵F∥B， ∴∠DF＝∠F，∠＝∠EF． 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）． (2) ∵△DE≌△FE， ∴D＝F＝4． ∴BD＝B﹣D＝5﹣4＝1． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 考点八 用L 证明三角形全等 例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，B=D，E⊥B 于E，DF⊥B 于 F，且BF=E． (1)求证E=DF； (2)判定B 和D 的位置关系，并说明理由． 【答】(1)见解析 (2) ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）只需要利用L 证明Rt△BE≌Rt△DF 即可证明结论； （2）根据Rt△BE≌Rt△DF 即可得到∠B=∠，即可证明 ． (1) 解：∵BF=E， ∴BF-EF=E-EF，即BE=F， ∵E⊥B，DF⊥B， ∴∠EB=∠DF=90°， 又∵B=D， ∴Rt△BE≌Rt△DF（L）， ∴E=DF； (2) 解： ，理由如下： ∵Rt△BE≌Rt△DF， ∴∠B=∠， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定 条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，D，B 相交于点，D=B，∠=∠D=90°． (1)求证：△B≌△BD； (2)若∠B=54°，求∠的度数． 【答】(1)见解析 (2)18° 【解析】 【分析】 （1）根据L 证明Rt△B≌Rt△BD； （2）先求出∠B 的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BD 的度数，由此即可得到答． (1) 证明：∵∠D= = ∠90°， ∴△B 和△BD 都是直角三角形， 在Rt△B 和Rt△BD 中， ， ∴Rt△B≌Rt△BD（L）； (2) 解：在Rt△B 中，∠B=54°，∠B=90°， ∴∠B=36°， ∵Rt△B≌Rt△BD， ∴∠B=∠BD=36°， = ∴∠∠B-∠BD=54°-36°=18°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形 的性质与判定条件是解题的关键． 2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△B 中，B=B，∠B=90°，F 为B 延长线上一点，点E 在B 上，且E=F． (1)求证：Rt△BE≌Rt△BF； (2)若∠B=30°，求∠F 的度数． 【答】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由“L”可证Rt△BE≌Rt△BF； （2）由B=B，∠B=90°，即可求得∠B 与∠B 的度数，即可得∠BE 的度数，又由 Rt△BE≌Rt△BF，即可求得∠BF 的度数，则由∠F=∠BF+∠B 即可求得答． (1) ∵∠B=90°， ∴∠BF=∠BE=90°， 在Rt△BE 和Rt△BF 中， ∴Rt△BE≌Rt△BF（L）； (2) ∵B=B，∠B=90°， ∴∠B=∠B=45°， ∴∠BE=∠B-∠E=45°-30°=15°。 ∵Rt BE △ ≌Rt△BF， ∴∠BF=∠BE=15°，